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3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性,单调性的判定法 单调区间求法 曲线的凹凸性 曲线凹凸的判定 曲线的拐点及其求法,一、单调性的判定法,定理,证,应用拉氏定理,得,定理,例1 讨论函数y=x-sinx 的单调性。,解：y=1-cosx 0， y=x-sinx在( ,+ )上单调增加,几何上看：单调区间的分界点是使f (x)=0的点.,注1: 区间内孤立点处导数为零或不存在 , 不影响函数在区间上的单调性.,例2,解,注2:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,例3,解,二、单调区间求法,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,例4,解,单调区间为,还可以用列表的方式讨论,x,+,+,y=f(x),列表：,例5,证,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,利用单调性证明不等式和判断方程根,P130例1,例6 证明当x0时，,证：令, F(x)在(0,+)内单调上升，又F(0)=0，F(x)在x=0处连续，,利用单调性证明不等式和方程根,三、曲线的凹凸性,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位 于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,定义,四、曲线凹凸的判定,定理1,分析,定理1,证,定理1,证,结论（2）可类似得证. 教材上用langrange定理证明!,例7,解,注意到,五、曲线的拐点及其求法,1.定义,注:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,证,2、拐点的求法,二阶导数等于零的点和二阶导数不存在的点，可能是拐点,方法1:,例10,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,例12,解,小 结,1.单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.,2.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,3.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,4.曲线的弯曲方向凹凸性;,5.改变弯曲方向的点拐点;,凹凸性的判定.,拐点的求法.,思考题1,思考题解答,不能断定.,例,但,当 时，,当 时，,注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内， 都不单调递增,思考题2,思考题解答,例,作业： P152：3-（3
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