浙江专版2018年高中数学第三章不等式3.5绝对值不等式学案新人教A版.docx

3.5预习课本，思考并完成以下问题(1)什么是绝对值三角不等式？它的几何意义是什么？(2)怎样求解形如|x|a型、|x|a型、|axb|c型、|axb|c型、|xa|xb|c型、|xa|xb|c型的不等式？(3)怎样利用分类讨论求解含参数的绝对值不等式？1绝对值三角不等式(1)实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离(2)对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A，B，那么|ab|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离，即线段AB的长度(3)定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立几何解释：用向量a，b分别替换a，b.当a与b不共线时，有|ab|a|b|，其几何意义为：三角形的两边之和大于第三边若a，b共线，当a与b同向时，|ab|a|b|，当a与b 反向时，|ab|a.(1)若不等式有解，则实数a的取值范围为_；(2)若不等式的解集为R，则实数a的取值范围为_解析因为|x1|x3|表示数轴上的点P(x)与两定点A(1)，B(3)距离的差，即|x1|x3|PAPB.由绝对值的几何意义知，PAPB的最大值为AB4，最小值为AB4，即4|x1|x3|4.(1)若不等式有解，a只要比|x1|x3|的最大值小即可，故a4.(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，只要a比|x1|x3|的最小值还小，即a4.法二：由|x1|x3|x1(x3)|4，可得4|x1|x3|4.(1)若不等式有解，则a4.(2)若不等式的解集为R，则am的解集是空集，则f(x)m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)f(x)max，f(x)a恒成立af(x)min. 活学活用1若不等式|2a1|对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围为_解析：|x|2，当且仅当|x|1时，min2.要使不等式恒成立，只要|2a1|2即可，则由22a12，得a.答案：2若关于x的不等式|2x|xa|5有解，则实数a的取值范围是 _.解析：由题意得，关于x的不等式|2x|xa|5有解，所以|2x|xa|的最小值小于5，而|2x|xa|表示数轴上的x对应点到a，2对应点的距离之和，它的最小值为|a2|，所以有|a2|5，可得7a3.答案：(7,3)利用绝对值三角不等式证明不等式典例(1)已知实数x，y满足：|xy|，|2xy|，求证：|y|.(2)已知a，bR且a0，求证：.证明(1)因为3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由题设知|xy|，|2xy|，从而3|y|，所以|y|.(2)若|a|b|，左边.，.左边右边若|a|0，右边0，原不等式显然成立若|a|b|，原不等式显然成立综上可知，原不等式成立含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明活学活用若f(x)x2xc(c为常数)，|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1)证明：|f(x)f(a)|(x2xc)(a2ac)|x2xa2a|(xa)(xa1)|xa|xa1|xa1|(xa)(2a1)|xa|2a1|xa|2a|10时，要使|x1|kx恒成立，只需k1.综上可知k0,1故选C.4已知函数f(x)|x1|xa|，若不等式f(x)6的解集为(，24，)，则a的值为( )A7或3 B7或5C3 D3或5解析：选C当x2时，由|21|2a|6，即|a2|5得a3或a7；当a4时，由|41|4a|6，即|4a|1得a5或a3.综上可知a3，故选C.5关于x不等式x|2x3|3的解集是_解析：当x，不等式为3x33x0，当x，不等式为x2x33x6，故不等式的解为x|x6或x0答案：x|x6或x06已知函数f(x)|xa|x2|，f(x)|x4|的解集为A，若1,2A，则实数a的取值范围为_. 解析：由1x2，不等式|xa|x2|x4|可化为|xa|2x4x，即|xa|2，所以a2x2a，即要使1,2A，借助数轴可得解得3a0，因此a的取值范围是3,0答案：3,07已知函数f(x)|x6|mx|(mR)(1)当m3时，求不等式f(x)5的解集；(2)若不等式f(x)7对任意实数x恒成立，求m的取值范围解：(1)当m3时，f(x)5即|x6|x3|5，当x6时，得95，所以x；当6x3时，得x6x35，即x1，所以1x3；当x3时，得95，成立，所以x3.故不等式f(x)5的解集为x|x1(2)因为|x6|mx|x6mx|m6|.由题意得|m6|7，则7m67，解得13m1，故m的取值范围是13,18已知函数f(x)|x1|，g(x)2|x|a.(1)当a1时，解不等式f(x)g(x)；(2)若存在x0R，使得f(x0)g(x0)，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，不等式f(x)g(x)，即|x1|2|x|1，从而即x1，或即1x，或即x2.从而不等式f(x)g(x)的解集为.(2)存在x0R，使得f(x0)g(x0)，即存在x0R，使得|x01|x0|，即存在x0R，使得|x01|x0|.设h(x)|x1|x|则h(x)的最大值为1，因而1，即a2.故实数a的取值范围为(，2 (时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1二次不等式ax2bxc0的解集是全体实数的条件是()A.C. .解析：选D结合二次函数的图象，可知若ax2bxc0表示的区域为直线xy10右上方的区域，故不等式组表示的平面区域为选项D.3已知ab Bab1 Da2b2解析：选D由ab|a|，可知0|b|a|，由不等式的性质可知|b|2b2，故选D.4若4x1，则f(x)()A有最小值1 B有最大值1C有最小值1 D有最大值1解析：选Df(x)，又4x1，x10.f(x)1.当且仅当x1，即x0时等号成立5已知关于x的不等式：|2xm|1的整数解有且仅有一个值为2(其中mN*)，则关于x的不等式：|x1|x3|m的解集为( )A(，0 B4，)C(0,4 D(，04，)解析：选D由不等式|2xm|1，可得x ，不等式的整数解为2，2，解得 3m5.再由不等式仅有一个整数解2，m4.问题转化为解不等式|x1|x3|4，当x1时，不等式为 1x3x4，解得 x0；当1x3时，不等式为 x13x4，解得x.当x3时，不等式为x1x34，解得x4.综上，不等式解为(，04，)故选D.6若关于x的不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是()A(，2)B(2，)C(6，) D(，6)解析：选A令g(x)x24x2，x(1,4)，则不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解等价于ag(x)max，又g(x)maxg(4)2，所以a0，y0，若不等式2log(a1)xay1log(xy)恒成立，则4a的最小值为()A. B.C.2 D.解析：选C由于 2log (a1)xay1log(xy)得log (a1)xaylog (xy)，即log (a1)xaylog，所以(a1)xay，所以a，整理得a，令1t1，则(t1)，所以a，而，所以4a2.故选C.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分把答案填在题中横线上)9已知函数f(x)，aR的定义域为R，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)，aR的定义域为R，所以|x1|xa|2恒成立，|x1|xa|几何意义是数轴上的点到1，a的距离的和，到1，a的距离的和大于或等于2的a满足a3或a1.答案：(，31，)10若一次函数f(x)满足f(f(x)x1，则f(x)_，g(x)(x0)的值域为_解析：试题分析：由已知可设f(x)axb(a0)，则f(f(x)a(axb)ba2xabb，又因为f(f(x)x1，所以有故有f(x)x；从而g(x)x1212，当且仅当x(x0)即x时等号成立故g(x)的值域为2，)答案：x2，)11当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_解析：设f(x)x2mx4，要使x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立则有即解得m5.答案：(，512已知实数x，y满足若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则m的取值范围为_，如果目标函数z2xy的最小值为1，则实数m_.解析：作出可行域如图所示，由解得要使不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则点A(1,1)在直线xym的左下方， 即112.当目标函数z2xy经过点B(1，m1)时，z取得最小值1，即2(m1)1，所以m4.答案：(2，)413若正实数x，y满足xyx2y6，则xy的最大值为_，xy的最小值为_解析：因为6xyx2yxy2，所以()(3)0，即xy2 ，所以xy的最大值为2.由xyx2y6得x，0y5的解集为_解析：先解不等式f(t)5，即或解得t0或0t5的解集为(，2)，所以要求解不等式f(x2x)5的解集，只需求x2x2，解得1x0)与曲线yx2相切，联立x24kx1016k240k，所以1,2，又11，令t1,2，令f(t)t，t1,2，所以可知f(t)在1，)上单调递减；f(t)在 (，2上单调递增；所以f(t)max3，f(t)min2，所以的取值范围为.答案：1,2三、解答题(本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(14分)解下列不等式(组)：(1)(2)62xx23x18.解：(1)原不等式组可化为即0x1，所以原不等式组的解集为x|0x1(2)原不等式等价于即因式分解，得所以所以3x2或3x6.所以不等式的解集为x|3x2或3x0，解关于x的不等式f(x)0.解：(1)当a时， 有不等式f(x)x2x10，(x2)0，x2，即所求不等式的解集为.(2)f(x)(xa)0，a0，且方程(xa)0的两根为x1a，x2，当a，即0a1时，不等式的解集为；当1时，不等式的解集为；当a，即a1时，不等式的解集为119(15分)某公司计划在2017年同时出售变频空调和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润最大已知这两种产品的直接限制因素是资金和劳动力，经调查，得到这两种产品的有关数据如下表：每台产品所需资金(百元)月投入资金(百元)空调洗衣机成本3020300劳动力(工资)510110利润68试问：怎样确定两种产品的月供应量，才能使总利润最大？最大利润是多少？解：设空调、洗衣机的月供应量分别是x台，y台，总利润是z百元，可得即目标函数为z6x8y.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示由z6x8y得yx，由图可得，当直线经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大解方程组得点M的坐标为(4,9)，满足x，yN，所以zmax648996.答：当空调的月供应量为4台，洗衣机的月供应量为9台时，可获得最大利润，最大利润为9 600元20(15分)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对