函数的连续性(fi(1).ppt

1,第五节 函数的连续性,函数的连续性,函数的间断点,闭区间上连续函数的性质,2,1. 连续的定义,定义1.6,(3),三要素:,一、函数的连续性,3,自变量在 点的增量:,函数相应于 的增量:,连续.,定义1.6,则称函数f (x)在x0点,若,极限与连续之间的关系:,f (x)在x0点连续,f (x)在x0点存在极限,4,例,证,证明,处连续.,5,(左、右连续),左连续.,右连续.,左连续,右连续,定义1.7,定理,(连续与左、右连续的关系),6,例,解,但不右连续.,所以,左连续,7,例,解,8,2. 连续函数与连续区间,则称f (x),若f(x)在开区间(a,b)内每一点都连续,且在a点右连续,在b点左连续,称该区间为,连续区间.,在开区间(a,b)内连续,若f(x)在开区间(a,b)内连续,则称f (x)在闭区间a,b上连续.,所有在区间I上连续的函数组成的集合记为C(I).,闭区间a,b上连续函数的全体记为Ca,b.,9,证,类似可证,连续.,例 证明,由夹逼定理,要证,10,例 证明,证,(夹逼定理),必存在正整数n,使得,有,(3),(1),(从某个n开始),11,定理1.15,如,则,由于,在其定义域内连续.,在x0点也连续.,(函数和差积商的连续性),3. 连续函数的运算性质,12,如,结论: 反三角函数在其定义域内皆连续.,定理1.17,故,同理,单调增加,且连续,单调的连续函数,必有单调的连续反函数.,也单调增加且连续.,单调减少且连续.,单调增加且连续.,单调减少且连续.,(反函数的连续性),13,定理1.16,(复合函数的连续性),若函数,即,记,则复合函数,:,:,14,三角函数及反三角函数,(1),(2),(3),单调且连续;,指数函数,对数函数,单调且连续;,(均在其定义域内连续 ),(4),幂函数,连续;,讨论,不同值.,在它们的定义域内连续;,基本初等函数在定义域内是连续的.,4. 初等函数的连续性,15,定理1.18 初等函数在其定义区间内都是连续的.,1. 初等函数在其定义域内不一定连续.,注,2. 初等函数求极限的方法.,代入法.,如,在 x = 0点的邻域内无定义.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,这些孤立点的邻域内没有定义.,16,例,例,解,解,17,例,解,原式=,例,解,同理可得,原式=,18,定义,出现如下三种情形之一:,二、函数的间断点及其分类,无定义;,不存在;,间断点.,存在,初等函数无定义的点是间断点,分段函数的分段点可能是间断点, 需要判定.,19,间断点的分类:,第二类间断点:,第一类间断点:,称 为可去间断点.,称 为跳跃间断点.,若其中有一个为,称 为无穷间断点.,20,例,有定义,故,为f (x)的 间断点,第一类,且是跳跃间断点.,解,21,例,讨论,解,为第一类间断点,且是可去间断点.,连续.,22,可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,注:,例,解,23,例,有定义,不存在,故,为f (x)的 间断点,第二类,且是振荡型间断点.,之间来回无穷次振荡,解,24, 函数的间断点可以有无穷多个.,D(x)在定义域 R 内每一点处都间断, 且都是第二类间断点.,25,解,函数无定义,是函数的间断点.,所以,是函数的第二类间断点,且是无穷型.,所以,是函数的第一类间断点,且是跳跃型.,并指出其类型.,例,26,求 的间断点,并指出其类型.,练习,讨论,为函数的第一类间断点,且是可去间断点.,若有间断点,判断间断点的类型.,练习,求,的间断点,并判别其类型.,思考,是函数的第一类间断点,且是可去型.,是函数的第二类间断点,且是无穷型.,27,解,函数无定义,是函数的间断点.,所以,是函数的第一类间断点,且是可去型.,所以,是函数的第二类间断点,且是无穷型.,求 的间断点,并指出其类型.,练习,28,例,且是跳跃间断点.,左、右极限都存在, 但不相等.,解,若有间断点,判断间断点的类型.,29,定义,设f (x)在区间I上有定义,若存在点,为函数f (x)在区间I上的,最小 值,记为,则称,(大),三、闭区间上连续函数的性质,30,定理中的条件“闭区间”和“连续性”是不可少的.,定理1.19(最大最小值定理),在闭区间上连续的函数一定能取到最大值和最小值.,推论(有界性定理),31,在开区间(0,1),无最大值,如:,(1)函数,无最大值,无最小值.,无最小值.,有间断点,(2)函数,32,定理1.20(零点定理),使得,几何意义:,定义:,33,定理1.21(介值定理),使得,证,由零点定理,C为介于A, B之间的任意数,令,辅助函数,34,几何意义:,与最小值m之间的任何值(不会有任何遗漏).,推论,在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M,至少有一个交点.,35,例,证,由零点定理,闭区间上连续函数的性质常用于:,(1) 判断某些方程根的存在性或实根的范围;,(2) 证明某些等式.,36,例,证,由零点定理,使,37,证,例,证明:,令,由介值定理,使,即得,使得,38,作业,习题 1.5 (64页),1. (1)(3) 2. (1)(4)(6) 3. (1)(2) 4. (2)(3) 6. 8.,39,作业,综合练习题1 (65页),7.(1)(2) 8. 10.,选择题做在书上,40,1. 设,时,提示:,为,连续函数.