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数学文化讲堂(六)将军饮马问题唐朝诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，请问怎样走才能使总的路程最短？这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教这个百思不得其解的问题从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传1. 你能解决上面的问题吗？请画图说明2. 请利用将军饮马问题的模型解决下列问题：(1)几何应用：如图，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PBPE的最小值为_(2)几何拓展：如图，ABC中，AB2，BAC30，若在AC、AB上各取一点M、N，使BMMN的值最小，求这个最小值；(3)代数应用：求代数式(0x4)的最小值第2题图答案1. 解：如解图所示，从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取A关于河岸的对称点A，连接AB，与河岸线相交于C，则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，所走的路程就是最短的如果将军在河边的另外任一点C饮马，所走的路程就是ACCB，但是，ACCBACCBABACCBACCB.可见，在C点外任何一点C饮马，所走的路程都要远一些这有几点需要说明的：(1)由作法可知，河流l相当于线段AA的中垂线，所以ADAD.(2)将军走的路程是ACBC，就等于ACBC，而两点之间线段最短，所以C点为最优第1题解图2. 解：(1)；【解法提示】如解图所示，作点B关于AC对称的对称点B，连接BE交AC于点P，第2题解图此时PBPE的值最小连接AB.在RtACB中，ABAB2.AEAB，BACBAC45，BAB90，PBPE的最小值BE.(2)如解图，作点B关于AC对称的对称点B，过B作BNAB于N，交AC于M.连接BM，AB，此时BMMN的值最小，即BMMNBMMNBN.点B与B关于AC对称，ABAB，又BAC30，BAB60，BAB是等边三角形，BBAB2，BBN60，又BNAB，BNBBsinBBN2；第2题解图(3)构造图形，如解图所示，其中AB4，AC1，DB2，APx，CAAB于点A，DBAB于点B.PCPD，所求的最小值就是求PCPD的最小值作点C关于AB的对称点C
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