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数学文化讲堂(六)将军饮马问题唐朝诗人李颀的诗古从军行开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题如图所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后再到B点宿营,请问怎样走才能使总的路程最短?这个问题早在古罗马时代就有了,传说亚历山大有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教这个百思不得其解的问题从此,这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传1. 你能解决上面的问题吗?请画图说明2. 请利用将军饮马问题的模型解决下列问题:(1)几何应用:如图,等腰直角三角形ABC的直角边长为2,E是斜边AB的中点,P是AC边上的一动点,则PBPE的最小值为_(2)几何拓展:如图,ABC中,AB2,BAC30,若在AC、AB上各取一点M、N,使BMMN的值最小,求这个最小值;(3)代数应用:求代数式(0x4)的最小值第2题图答案1. 解:如解图所示,从A出发向河岸引垂线,垂足为D,在AD的延长线上,取A关于河岸的对称点A,连接AB,与河岸线相交于C,则C点就是饮马的地方,将军只要从A出发,沿直线走到C,饮马之后,再由C沿直线走到B,所走的路程就是最短的如果将军在河边的另外任一点C饮马,所走的路程就是ACCB,但是,ACCBACCBABACCBACCB.可见,在C点外任何一点C饮马,所走的路程都要远一些这有几点需要说明的:(1)由作法可知,河流l相当于线段AA的中垂线,所以ADAD.(2)将军走的路程是ACBC,就等于ACBC,而两点之间线段最短,所以C点为最优第1题解图2. 解:(1);【解法提示】如解图所示,作点B关于AC对称的对称点B,连接BE交AC于点P,第2题解图此时PBPE的值最小连接AB.在RtACB中,ABAB2.AEAB,BACBAC45,BAB90,PBPE的最小值BE.(2)如解图,作点B关于AC对称的对称点B,过B作BNAB于N,交AC于M.连接BM,AB,此时BMMN的值最小,即BMMNBMMNBN.点B与B关于AC对称,ABAB,又BAC30,BAB60,BAB是等边三角形,BBAB2,BBN60,又BNAB,BNBBsinBBN2;第2题解图(3)构造图形,如解图所示,其中AB4,AC1,DB2,APx,CAAB于点A,DBAB于点B.PCPD,所求的最小值就是求PCPD的最小值作点C关于AB的对称点C
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