函数连续与连续函数的运算.ppt

,二、 函数的间断点,一、 函数连续性的定义,第七节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的连续性与连续函数的运算,第一章,三、 连续函数的运算,分析基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,连续函数是微积分研究的主要对象。,连续现象、连续性是自然界、人类社会 大量呈现的基本现象。,有关连续的相关概念,自变量的改变量（增量）,函数的改变量 （增量）,说明: 1）函数,在点,一、 函数连续性（ Continuous ）的定义,定义:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 函数在一点的连续性,2）对自变量的增量,有函数的增量,当,时, 有,则函数,在点,连续有下列等价命题:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,左连续,2.左连续与右连续,右连续, 在 点连续,在 点既左连续又右连续.,3.在区间上的连续性,f (x)在(a, b)内连续,f 在开区间(a, b)内的每一点都连续.,在a, b上连续,f 在开区间(a, b)内连续,且在a点处右连续，在b点处左连续.,或 f 在(a, b)内连续,若 f 在a, b上连续,则记作,continue,若,在某区间上每一点都连续 ,则称它在该区间上,连续 ,或称它为该区间上的连续函数 .,例如,在,上连续 .,(多项式函数),又如, 有理分式函数,在其定义域内连续.,注意：只有在定义域上连续的函数才是连续函数,只要,都有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 连续函数,例1. 证明函数,在,内连续 .,证:,即,这表明：,在,内连续 .,同理可证: 函数,在,内连续 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.设,讨论,在,处的连续性.,解:,处连续,需有,即,故,例3.,设函数,在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 设 f (x) 定义在区间,上 ,若 f (x) 在,连续,证: 由,且对任意实数,证明 f (x) 对一切 x 都连续 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再由 f (x) 在x =0连续 ，有,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在,在,二、 函数的间断点,(1) 函数,(2) 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 :,设,在点,的某去心邻域内有定义 ,则下列情形,这样的点,之一函数 f (x) 在点,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为间断点 .,在,无定义 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡 ,称,若其中有一个为,为可去间断点 .,为跳跃间断点 .,为无穷间断点 .,为振荡间断点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,各类间断点图示,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例5.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,判断下列函数在指定间断点的类型,显然,为其可去间断点 .,(4),(5),为其跳跃间断点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 求函数,的间断点并判断其类型.,解: 间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,求,的间断点, 并判别其类型.,解:,x = 1 为第一类可去间断点,x = 1 为第二类无穷间断点,x = 0 为第一类跳跃间断点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有无穷间断点,及可去间断点,解:,为无穷间断点,所以,为可去间断点 ,极限存在,例8. 设函数,试确定常数 a 及 b .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2. 连续的单调递增 函数的反函数,在其定义域内连续,三、函数连续性的运算法则,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,(证明略),在 1 , 1 上也连续单调递增.,递增,(递减),也连续单调,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3. 连续函数的复合函数是连续的.,在,上连续 单调 递增,其反函数,在,上也连续单调递增.,即若 函数,则,即复合函数,又如,且,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续 .,复合而成 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,1）复合函数连续性定理可以写成下面两种形式,(1)式表示,在定理的条件下,函数符号和极限号可交换.,(2)式表示,在定理的条件下,可通过代换化复合函数为,简单函数.,2）由于连续是由极限定义的,因此计算涉,及连续函数的极限时,实际是如下计算的：,1.,2.,3）关于连续函数运算法则,有如下结果:,(1)函数 f (x) 在 x0 处连续,g (x) 在 x0 处间断,则F(x)= f (x) + g (x)在 x0 处必间断.,(2)函数 f (x)与g (x)在 x0 处都间断,则F(x) = f (x) g (x)在 x0 处可能连续也可能间断.,(3)函数 f (x)在 x0 处连续,g (x)在 x0 处间断,则F(x) = f (x) g (x)在 x0 处可能连续也可能间断.,(4)函数 u=(x) 在 x0 处间断,u0=(x0) ,y = f(u) 在 u0 处连续,则y = f (x) 在 x0 处可能连续也可能间断.,二、初等函数的连续性,基本初等函数在定义域内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,则连续区间为,(端点为单侧连续)，,的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1 .,设,均在,上连续,证明函数,也在,上连续.,证:,根据连续函数运算法则 ,可知,也在,上,连续 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、例题分析,例2. 求,解:,原式,例3. 求,解: 令,则,原式,说明: 当,时, 有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求,解:,原式,说明: 若,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 设,解:,讨论复合函数,的连续性 .,故此时连续;,而,故,x = 1为第一类间断点 .,在点 x = 1 不连续 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,机动 目录 上页 下页 返回 结束,基本初等函数在定义域内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.初等函数的连续性,思考