2019版高考数学复习第十六章曲线与方程16.1曲线与方程讲义.docx

16.1曲线与方程考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.求曲线方程求曲线的轨迹方程及方程的应用A解答题2.抛物线标准方程及其几何性质求抛物线方程及抛物线方程的综合运用B22题10分解答题分析解读求动点的轨迹方程及其应用江苏高考近5年没有考查,是命题的冷点,主要考查求抛物线方程以及方程的运用,难度中等.命题探究(1)抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为p2,0,由点p2,0在直线l:x-y-2=0上,得p2-0-2=0,即p=4.所以抛物线C的方程为y2=8x.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.由y2=2px,y=-x+b消去x得y2+2py-2pb=0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1y2,从而=(2p)2-4(-2pb)0,化简得p+2b0.方程(*)的两根为y1,2=-pp2+2pb,从而y0=y1+y22=-p.因为M(x0,y0)在直线l上,所以x0=2-p.因此,线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b上,所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由知p+2b0,于是p+2(2-2p)0,所以pb0)的左焦点为F(-c,0),离心率为33,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=b24截得的线段的长为c,|FM|=433.(1)求直线FM的斜率;(2)求椭圆的方程;(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于2,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.解析(1)由已知有c2a2=13,又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.设直线FM的斜率为k(k0),则直线FM的方程为y=k(x+c).由已知,有kck2+12+c22=b22,解得k=33.(2)由(1)得椭圆方程为x23c2+=1,直线FM的方程为y=33(x+c),两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-53c或x=c.因为点M在第一象限,可得M的坐标为c,233c.由|FM|=(c+c)2+233c-02=433,解得c=1,所以椭圆的方程为x23+y22=1.(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,得t=yx+1,即y=t(x+1)(x-1),与椭圆方程联立得y=t(x+1),x23+y22=1,消去y,整理得2x2+3t2(x+1)2=6.又由已知,得t=6-2x23(x+1)22,解得-32x-1,或-1x0.设直线OP的斜率为m,得m=yx,即y=mx(x0),与椭圆方程联立,整理可得m2=2x2-23.当x-32,-1时,有y=t(x+1)0,于是m=2x2-23,得m23,233.当x(-1,0)时,有y=t(x+1)0,因此m14时,SOPQ=84k2+14k2-1=81+24k2-18;当0k214时,SOPQ=84k2+11-4k2=8-1+21-4k2.因0k214,则0b0)的一个焦点为(5,0),离心率为53.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.解析(1)由题意知c=5,e=ca=53,a=3,b2=a2-c2=4,故椭圆C的标准方程为x29+y24=1.(2)设两切线为l1,l2,当l1x轴或l1x轴时,l2x轴或l2x轴,可知P(3,2).当l1与x轴不垂直且不平行时,x03,设l1的斜率为k,且k0,则l2的斜率为-1k,l1的方程为y-y0=k(x-x0),与x29+y24=1联立,整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,直线l1与椭圆相切,=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0,(x02-9)k2-2x0y0k+y02-4=0,k是方程(x02-9)x2-2x0y0x+y02-4=0的一个根,同理,-1k是方程(x02-9)x2-2x0y0x+y02-4=0的另一个根,k-1k=y02-4x02-9,整理得x02+=13,其中x03,点P的轨迹方程为x2+y2=13(x3).检验P(3,2)满足上式.综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13.6.(2014湖北,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解析(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即(x-1)2+y2=|x|+1,化简整理得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x0),依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组y-1=k(x+2),y2=4x,可得ky2-4y+4(2k+1)=0.当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=14.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点14,1.当k0时,方程的判别式为=-16(2k2+k-1).设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-2k+1k.(i)若螖0,x00,由解得k12.即当k(-,-1)时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.(ii)若螖=0,x00或则由解得k-1,12或-12k0,x00,则由解得-1k-12或0kb0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为e1;双曲线C2:x2a2-y2b2=1的左、右焦点分别为F3、F4,离心率为e2,已知e1e2=32,且|F2F4|=3-1.(1)求C1,C2的方程;(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.解析(1)因为e1e2=32,所以a2-b2aa2+b2a=32,即a4-b4=34a4,因此a2=2b2,从而F2(b,0),F4(3b,0),于是3b-b=|F2F4|=3-1,所以b=1,所以a2=2.故C1,C2的方程分别为x22+y2=1,x22-y2=1.(2)因为AB不垂直于y轴,且过点F1(-1,0),故可设直线AB的方程为x=my-1.由x=my-1,x22+y2=1得(m2+2)y2-2my-1=0,易知此方程的判别式大于0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是上述方程的两个实根,所以y1+y2=2mm2+2,y1y2=-1m2+2.因此x1+x2=m(y1+y2)-2=-4m2+2,于是AB的中点M的坐标为-2m2+2,mm2+2.故直线PQ的斜率为-m2,则PQ的方程为y=-m2x,即mx+2y=0.由y=-m2x,x22-y2=1得(2-m2)x2=4,所以2-m20,且x2=42-m2,y2=m22-m2,从而|PQ|=2x2+y2=2m2+42-m2.设点A到直线PQ的距离为d,则点B到直线PQ的距离也为d,所以2d=|mx1+2y1|+|mx2+2y2|m2+4,因为点A,B在直线mx+2y=0的异侧,所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)0,于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|,从而2d=(m2+2)|y1-y2|m2+4.又因为|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=221+m2m2+2,所以2d=22 1+m2m2+4.故四边形APBQ的面积S=12|PQ|2d=221+m22-m2=22 .而02-m20.由根与系数的关系得,x1+x2=8-2bkk2,x1x2=b2k2,因为x轴是PBQ的角平分线,所以y1x1+1=-y2x2+1,即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,将,代入得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,k=-b,此时0,直线l的方程为y=k(x-1),即直线l过定点(1,0).三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点求曲线方程1.(苏教选21,二,6,6,变式)设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且PA=1,则动点P的轨迹方程是.答案(x-1)2+y2=22.(2016广东佛山六校联考,15)已知A(3,2)、B(1,0),P(x,y)满足=x1+x2(O是坐标原点),若x1+x2=1,则P的坐标满足的方程是.答案x-y-1=03.(2017江苏东海中学期末模拟)已知动点P(x,y)与两定点M(-1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数(0).(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)试根据的取值情况讨论轨迹C的形状;(3)当=-2时,过点F(0,1)的直线l与轨迹C交于A,B两点,求OAB面积的最大值.解析(1)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零,且kPMkPN=yx+1yx-1=,整理得x2-=1(0,x1).(2)当0时,轨迹C为中心在原点,焦点在x轴上的双曲线(除去顶点);当-10时,轨迹C为中心在原点,焦点在x轴上的椭圆(除去长轴两个端点);当=-1时,轨迹C是以原点为圆心,1为半径的圆(除去点(-1,0),(1,0);当0,因为AB=2,所以a2+b2=4,即(1+t)2x2+1+tt2y2=4,所以点P的轨迹方程为x24(1+t)2+y24t2(1+t)2=1.(2)t=2时,C的方程为9x24+916y2=1,设M(x1,y1),则N(-x1,-y1),MN=2x12+y12,易知直线MN的方程为y=y1x1x(x10),则点Q到直线MN的距离d=32y1-3x1x12+y12,所以SMNQ=122x12+y1232y1-3x1x12+y12=32y1-3x1,又9x124+9y1216=1,所以9x12+9y124=4.所以=4-9x1y1,而1=9x124+9y1216-23x123y14=-9x1y14,所以-9x1y14,当且仅当3x12=-3y14,即x1=-12y1时,取等号.所以SMNQ的最大值为22.方法2轨迹方程及应用2.(2017江苏如东高级中学第二次学情调研)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,1),P是动点,POA的三边所在直线的斜率满足kOP+kOA=kPA.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)若Q是轨迹C上异于点P的一点,且=,直线OP与QA交于点M,请问:是否存在点P,使得PQA和PAM的面积满足SPQA=2SPAM?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解析(1)设点P的坐标为(x,y),由kOP+kOA=kPA,得yx-1=y-1x+1,整理得轨迹C的方程为y=x2(x0且x-1).(2)存在.由(1)可设P(x1,x12),Q(x2,x22),由=,可知直线PQOA