2019版高考数学复习鸭部分坐标系与参数方程学案理.docx

坐标系与参数方程第1课坐标系过双基1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系(2)极坐标极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为.极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为.极坐标：有序数对(，)叫做点M的极坐标，记作M(，)3极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则它们之间的关系为：4常见曲线的极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程r(02)圆心为，半径为r的圆的极坐标方程2rsin (0)过极点，倾斜角为的直线的极坐标方程(R)或(R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程cos a过点，与极轴平行的直线的极坐标方程sin a(01，所以点P在圆外，所以|AP|的最小值为dr211.答案：14(2017天津高考)在极坐标系中，直线4cos10与圆2sin 的公共点的个数为_解析：依题意，得410，即2cos 2sin 10，所以直线的直角坐标方程为2x2y10.由2sin ，得22sin ，所以圆的直角坐标方程为x2y22y，即x2(y1)21，其圆心(0,1)到直线2x2y10的距离d1，则直线与圆相交，故直线与圆的公共点的个数是2.答案：25在极坐标系中，过点A引圆8sin 的一条切线，则切线长为_解析：点A的极坐标化为直角坐标为A(0，1)，圆8sin 的直角坐标方程为x2y28y0，圆的标准方程为x2(y4)216，点A与圆心C(0,4)的距离为|AC|5，所以切线长为3.答案：3清易错1极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件2在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视注意极坐标(，)(，2k)(kZ)，(，2k)(kZ)表示同一点的坐标1若圆C的极坐标方程为24cos10，若以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系xOy，则在直角坐标系中，圆心C的直角坐标是_解析：因为24cos10，所以22cos 2sin 10，即x2y22x2y10，因此圆心坐标为(1，)答案：(1，)2圆5cos 5sin 的圆心的极坐标为_解析：将方程 5cos 5sin 两边都乘以得：25cos 5sin ，化成直角坐标方程为x2y25x5y0.圆心的坐标为，化成极坐标为.答案：(答案不唯一)平面直角坐标系下图形的伸缩变换典例(1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换：求点A经过变换所得的点A的坐标(2)求直线l：y6x经过：变换后所得到的直线l的方程解(1)设A(x，y)，由伸缩变换：得到由于点A的坐标为，于是x31，y(2)1，A(1，1)为所求(2)设直线l上任意一点P(x，y)，由上述可知，将代入y6x得2y6，yx，即yx为所求方法技巧伸缩变换的解题方法平面上的曲线yf(x)在变换：的作用下得到的方程的求法是将代入yf(x)，得f，整理之后得到yh(x)，即为所求变换之后的方程即时演练1求椭圆y21，经过伸缩变换后的曲线方程解：由得将代入y21，得y21，即x2y21.因此椭圆y21经伸缩变换后得到的曲线方程是x2y21.2若函数yf(x)的图象在伸缩变换：的作用下得到曲线的方程为y3sin，求函数yf(x)的最小正周期解：由题意，把变换公式代入曲线y3sin得3y3sin，整理得ysin，故f(x)sin.所以yf(x)的最小正周期为.极坐标与直角坐标的互化典例在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系直线l的极坐标方程为sin，直线与曲线C：sin28cos 相交于不同的两点A，B，求|AB|的值解l：sincos sin xy10，C的直角坐标方程是y28x.由可得x210x10，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x210，x1x21，所以AB的长为8.方法技巧1极坐标与直角坐标互化公式的3个前提条件(1)取直角坐标系的原点为极点(2)以x轴的非负半轴为极轴(3)两种坐标系规定相同的长度单位2直角坐标化为极坐标的注意点(1)根据终边相同的角的意义，角的表示方法具有周期性，故点M的极坐标(，)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个当限定0，0,2)时，除极点外，点M的极坐标是唯一的(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角应注意判断点M所在的象限(即角的终边的位置)，以便正确地求出角0,2)的值即时演练在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为cos1(00)，直线l：cos，C与l有且只有一个公共点(1)求a的值；(2)若原点O为极点，A，B为曲线C上两点，且AOB，求|OA|OB|的最大值解：(1)由已知在直角坐标系中，C：x2y22ax0(xa)2y2a2(a0)；l：xy30.因为C与l只有一个公共点，所以l与C相切，即a，则a1.(2)设A(1，)，则B，|OA|OB|122cos 2cos3cos sin 2cos.所以，当时，(|OA|OB|)max2.6在平面直角坐标系xOy中，直线C1：xy40，曲线C2：x2(y1)21，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若曲线C3的极坐标方程为，且曲线C3分别交C1，C2于点A，B，求的最大值解：(1)xcos ，ysin ，C1：cos sin 40，C2：2sin .(2)曲线C3为，设A(1，)，B(2，)，1，22sin ，则2sin (cos sin )2sin21，当时，max.7平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y21，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4sin，射线OM的极坐标方程为0(0)(1)写出曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)若射线OM平分曲线C2，且与曲线C1交于点A，曲线C1上的点满足AOB，求|AB|.解：(1)曲线C1的极坐标方程为2，曲线C2的直角坐标方程为(x)2(y1)24.(2)曲线C2是圆心为(，1)，半径为2的圆，射线OM的极坐标方程为(0)，代入2，可得2.又AOB，|AB|.8已知在一个极坐标系中点C的极坐标为.(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形；(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程解：(1)作出图形如图所示，设圆C上任意一点A(，)，则AOC或.由余弦定理得，424cos4，圆C的极坐标方程为4cos.(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，)，可设圆C上任意一点P(12cos ，2sin )，设M(x，y)，由Q(5，)，M是线段PQ的中点，得点M的轨迹的参数方程为(为参数)，即(为参数)，点M的轨迹的普通方程为(x3)2y21.第2课参数方程过双基1参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x，y是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程2直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(为参数)(3)椭圆1(ab0)的参数方程为(为参数)1参数方程(t为参数)与极坐标方程sin 所表示的图形分别是_解析：将参数方程消去参数t，得2xy50，对应图形为直线由sin ，得2sin ，即x2y2y，即x22，对应图形为圆答案：直线、圆2曲线(为参数)与直线yx2的交点坐标为_解析：曲线的直角坐标方程为yx2.将其与直线方程联立得x2x20，x1或x2.由xsin 知，x2不合题意x1，y1，交点坐标为(1,1)答案：(1,1)3设曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的方程为x3y20，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为_解析：曲线C的参数方程为(为参数)，(x2)2(y1)29，圆心(2，1)到直线l的距离d.又3，有2个点答案：24参数方程(t为参数)化为普通方程为_解析：x，y4343x.又x20,2)，x0,2)，所求的普通方程为3xy40(x0,2)答案：3xy40(x0,2)清易错1在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则不等价2直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|t|.1直线yx1上的点到曲线上的点的最近距离是_解析：由得(x2)2(y1)21，圆心坐标为(2,1)，故圆心到直线xy10的距离d2，直线上的点到圆上的点的最近距离是dr21.答案：212直线(t为参数)与圆(为参数)相切，则切线的倾斜角为_解析：直线的普通方程为bxay4b0，圆的普通方程为(x2)2y23，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为，从而有 ，即3a23b24b2，所以ba，而直线的倾斜角的正切值tan ，所以tan ，因此切线的倾斜角或.答案：或参数方程与普通方程的互化典例已知椭圆C：1，直线l：(t为参数)(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；(2)设A(1,0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标解(1)椭圆C：(为参数)，直线l：xy90.(2)设P(2cos ，sin )，则|AP| 2cos ，点P到直线l的距离d.由|AP|d，得3sin 4cos 5，又sin2cos21，得sin ，cos .故P.方法技巧将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2cos21等(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解即时演练将下列参数方程化为普通方程(1)(k为参数)；(2)(为参数)解：(1)两式相除，得k，将其代入x，得x，化简得所求的普通方程是4x2y26y0(y6)(2)由(sin cos )21sin 22(1sin 2)，得y22x.又x1sin 20,2，故所求的普通方程为y22x，x0,2参数方程典例在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度已知曲线C：sin22acos (a0)，过点P(2，4)的直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C分别交于M，N，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值解曲线C的直角坐标方程为y22ax(a0)，将直线l的参数方程化为(t为参数)，代入曲线C的方程得：t2(4a)t164a0，则0，即a0或a4.设交点M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1t22(4a)，t1t22(164a)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，则|t1t2|2|t1t2|，解得a1或a4(舍去)，所以满足条件的a1.方法技巧(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题(2)对于形如(t为参数)当a2b21时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题即时演练已知直线l：xy10与抛物线yx2相交于A，B两点，求线段AB的长度和点M(1,2)到A，B两点的距离之积解：因为直线l过定点M，且l的倾斜角为，所以它的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)，把它代入抛物线的方程，得t2t20，由根与系数的关系得t1t2，t1t22，由参数t的几何意义可知|AB|t1t2|，|MA|MB|t1t2|2.极坐标、参数方程的综合应用典例(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos sin )0，M为l3与C的交点，求M的极径解(1)消去参数t得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y(x2)设P(x，y)，由题设得消去k得x2y24(y0)所以C的普通方程为x2y24(y0)(2)C的极坐标方程为2(cos2sin2)4(02，)联立得cos sin 2(cos sin )故tan ，从而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4得25，所以交点M的极径为.方法技巧处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用和的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的即时演练在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：，直线的参数方程是(为参数，0)(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线与曲线C交于两点A，B，且线段AB的中点为M(2，2)，求.解：(1)曲线C：，即sin24cos ，于是有2sin24cos ，化为直角坐标方程为y24x. (2)法一： 把x2tcos ，y2tsin 代入y24x，得(2tsin )24(2tcos )，即t2sin2(4sin 4cos )t40.由AB的中点为M(2,2)得t1t20，有4sin 4cos 0，所以ktan 1.由0，得.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(y1y2)(y1y2)4(x1x2)y1y24，k1tan 1，由00，t20，所以|PA|t1，|PB|t2，所以|PA|PB|t1t2|.5已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(为参数)(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l距离的最小值解：(1)由已知得l的普通方程为y(x1)，C1的普通方程为x2y21，联立方程解得l与C1的交点为A(1,0)，B，则|AB|1.(2)由题意，得C2的参数方程为(为参数)，故点P的坐标为，从而点P到直线l的距离是dsin2，当sin1时，d取得最小值，且最小值为.6在直角坐标系x