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第八节 函数的连续性 与间断点,一、函数的连续性 二、函数的间断点,一、函数的连续性,1. 函数的增量,-变量u的增量,-自变量的增量,-函数的增量,2. 函数连续的定义,定义,连续的等价定义,极限值等于函数值,说明：,左连续：,右连续：,左连续,右连续,等价命题:,3. 连续区间与连续函数,区间上连续：,指函数在区间a, b上的每一内点都连续，,且在a右连续，在 b左连续.,连续函数：,连续区间,说明：,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如：,多项式函数,又如： 有理分式函数,在其定义域内连续.,例2,证明,例3,证明,同理可证,由夹逼定理,三角函数和 差化积公式,右连续但不左连续 ,例3,解,二、函数的间断点,1. 间断点的定义,定义,2. 间断点的分类,第一类间断点:,第二类间断点:,若其中有一个为振荡,可去间断点 .,跳跃间断点 .,无穷间断点 .,振荡间断点 .,例1,求下列函数的间断点,解,说明：,可去间断点只要改变或者补充间断处函数的,的定义, 则可使其变为连续点.,解,解,解,解,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,例2,解,例3,解,无穷小,有界,评注：,(1) 函数无定义的点一定是间断点,(2) 判别间断点的类型主要方法是讨论极限,分界点可能是间断点；,分段函数的,右极限.,左、,小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,作业：,P65 习题1-8 2.(2) 3.(1)(2)(4),三角函数和差化积公式,返回,连续与间断,特点:,极限计算转化为函数值计算,函数值表示转化为极限表示,在x0有定义,1.在x0附近定义; 2.极限存在,间断=不连续,1.在x0 及其附近有定义; 2.极限存在； 3.极限值等于函数值.,连续,间断,间断的演示,间断的演示,间断的演示,注意到： 这种间断点称为可去间断点.,G,返回,间断的演示,注意到： 这种间断点称为可去间断点.,G,返回,间断的演示,注意到： 这种间断点称为可去间断点.,G,返回,间断的演示,注意到： 这种间断点称为可去间断点.,G,返回,间断的演示,注意到： 这种间断点称为跳跃间断点.,G,返回,间断的演示,哎，小红点，你跑哪去了？,快救救我，我要跑到未知世界去了！,这种间断点称为无穷间断点,G,返回,间断的演示,：Hi, 小红点，你能不能停住？我怎么也停不住，那可怎么连
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