2019版高考数学复习三角函数解三角形第21讲两角和与差的正弦余弦和正切公式学案.docx

第21讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式考纲要求考情分析命题趋势1会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.2017江苏卷，52016全国卷，92016全国卷，52016四川卷，11三角恒等变换是三角变换的工具.主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值.可单独考查，也可与三角函数的知识综合考查.分值：512分1两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()！sin cos cos sin #；cos()！cos cos sin sin #；tan ()！#.2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2！2sin cos #；cos 2！cos2sin2#！2cos21#！12sin2#；tan 2！#.3有关公式的逆用、变形(1)tan tan tan ()(1tan tan )；(2)cos2！#，sin2！#；(3)1sin 2(sin cos )2,1sin 2 (sin cos )2，sin cos sin；(4)asin bcos sin()cos().1思维辨析(在括号内打“”或“”).(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的.()(2)存在实数，使等式sin()sin sin 成立.()(3)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立.()(4)存在实数，使tan 22tan .()解析(1)正确.对于任意的实数，两角和与差的正弦、余弦公式都成立.(2)正确.取0，因为sin 00，所以sin (0)sin sin sin 0.(3)错误.变形可以，但不是对任意角，都成立.，k，kZ.(4)正确.当k(kZ)时，tan 22tan .2若sin ，则cos (C)ABCD解析因为sin ，所以cos 12sin2122.3sin 34sin 26cos 34cos 26的值是(C)ABCD解析sin 34sin 26cos 34cos 26(cos 34cos 26sin 34sin 26)cos (3426)cos 60.4(2017江苏卷)若tan，则tan ！#.解析tan tan.5tan 20tan 40tan 20tan 40！#.解析tan (2040)，tan 20tan 40tan 20tan 40，即tan 20tan 40tan 20tan 40.一三角函数的化简、求值三角函数式化简、求值的常用方法(1)善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分、整合，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数.(2)统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一.【例1】 (1)化简：(0)；(2)求值：sin 50(1tan 10).解析(1)由(0，)，得00，2cos .又(1sin cos )2cos 2cos cos ，故原式cos .(2)sin 50(1tan 10)sin 50(1tan 60tan 10)sin 50sin 501二三角函数的条件求值三角函数求值问题的解答步骤(1)给值求值问题化简条件式子或待求式子；从函数名称及角入手，观察已知条件与所求式子之间的联系；将已知条件代入所求式子，化简求值.(2)给值求角问题先求角的某一个三角函数值；确定角的范围；根据角的范围写出所求的角.【例2】 (1)(2017安徽合肥联考)已知，为锐角，cos ，sin()，则cos ！#.(2)已知tan 2，求值：tan；.解析(1)为锐角，sin .，0.又sin()，cos().cos cos ()cos ()cos sin ()sin .(2)tan3.1【例3】 (1)设，为钝角，且sin ，cos ，则的值为(C)ABCD或(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值为！#.解析(1)，为钝角，sin ，cos ，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin 0.又(，2)，.(2)tan tan()0，00，02，tan(2)1tan 0，20，2.三三角函数的综合变换三角函数的综合变换主要是将三角恒等变换与三角函数的性质相结合，通过变换，将复杂的函数式子化为yAsin(x)b的形式再研究性质.在研究性质时注意利用整体思想解决相关问题.【例4】 已知函数f(x)2cos2x12sin xcos x(01)，直线x是函数f(x)的图象的一条对称轴.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数yg(x)的图象是由yf(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g，求sin 的值.解析(1)f(x)cos 2xsin 2x2sin，由于直线x是函数f(x)2sin的图象的一条对称轴，所以sin1，因此k(kZ)，解得k(kZ)，又01，所以，所以f(x)2sin.由2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)，所以函数f(x)的单调递增区间为(kZ).(2)由题意可得g(x)2sin，即g(x)2cos ，由g2cos2cos，得cos，又，故0)，则A！#，b！1#.解析2cos 2xsin 2x1sin 2xcos 2xsin1，故A，b14(2016江苏卷)，在ABC中，AC6，cos B，C.(1)求AB的长；(2)求cos的值.解析(1)因为cos B，0B，所以sin B，由正弦定理知，所以AB5.(2)在ABC中，ABC，所以A(BC)，于是cos Acos(BC)coscos Bcos sin Bsin ，又cos B，sin B，故cos A.因为0A，所以sin A.因此，coscos Acos sin Asin .易错点不能正确地对角进行拆分和整合错因分析：注意已知角和所求角之间的和、差、倍、半、互余、互补关系.【例1】 已知cos，求cossin2的值.解析cossin2cossin2cos.【跟踪训练1】 (2018广东珠海六校联考)已知tan()，tan ，则tan的值为！#.解析tan()，tan ，tan tan ()，tan.课时达标第21讲解密考纲三角恒等变换是三角函数变形的工具.主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，可单独考查，也可与三角函数的知识综合考查.一、选择题1已知sin 2，则cos2(D)ABCD解析cos2，cos2.2若，且3cos 2sin，则sin 2的值为(D)ABCD解析cos 2sinsin2sincos，代入原式，得6sincossin，sin0，tan 0，tan tan()，即(tan )max.三、解答题10已知函数f(x)cos2xsin xcos x，xR.(1)求f的值；(2)若sin ，且，求f.解析(1)fcos2sin cos 2.(2)因为f(x)cos2xsin xcos xsin 2x(sin 2xcos 2x)sin，所以fsinsin.又因为sin ，且，所以cos ，所以f.11已知0，cos，sin().(1)求sin 2的值；(2)求cos的值.解析(1)sin 2cos2cos21.(2)0，0，cos()0，m0)的最小值为2，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和m