2019版高考数学复习三角函数解三角形第23讲解三角形应用举例学案.docx

第23讲解三角形应用举例考纲要求考情分析命题趋势能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.2015湖北卷，132014四川卷，13解三角形是三角函数的知识在三角形中的应用，高考中可单独考查，也可以与三角函数、不等式、向量等综合考查.分值：5分1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线！上方#的角叫仰角，在水平线！下方#的角叫俯角(如图).2方位角从指北方向！顺时针#转到目标方向线的水平角叫方位角，如B点的方位角为(如图).3方向角相对于某一正方向的水平角(如图)(1)北偏东，即由指北方向！顺时针#旋转到达目标方向.(2)北偏西，即由指北方向！逆时针#旋转到达目标方向.(3)南偏西等其他方向角类似.4坡度(比)坡角：坡面与水平面所成的！二面角#的度数(如图，角为坡角).坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度(比).5解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系.(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型.(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位、近似计算的要求等.1思维辨析(在括号内打“”或“”).(1)公式Sbcsin Aacsin Babsin C适用于任意三角形.()(2)东北方向就是北偏东45的方向.()(3)俯角是铅垂线与视线所成的角.()(4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是.()解析(1)正确.三角形的面积公式对任意三角形都成立.(2)正确.数学中的东北方向就是北偏东45或东偏北45的方向.(3)错误.俯角是视线与水平线所构成的角.(4)正确.方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，故大小的范围为0,2)，而方向角大小的范围由定义可知为.2若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的(B)A北偏东15B北偏西15C北偏东10D北偏西10解析如图所示，ACB90.又ACBC，CBA45，而30，90453015.点A在点B的北偏西15.3如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105，则A，B两点的距离为(A)A50 mB50 mC25 mD m解析由正弦定理得AB50(m).4在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离为！#千米.解析如图所示，由题意知C45，由正弦定理得，AC.5一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上.继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60，另一灯塔在船的南偏东75，则这艘船每小时航行！8#海里.解析如图，由题意知在ABC中，ACB756015，B15，ACAB8.在RtAOC中，OCACsin 304.这艘船每小时航行8(海里).一距离问题求解距离问题的一般步骤(1)选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化为三角形问题.(2)明确要求的距离所在的三角形有哪几个已知元素.(3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形.【例1】 要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距 km的点C，点D，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，则点A，B之间的距离为！#km.解析如图，在ACD中，ACD120，CADADC30，ACCD(km).在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60.BC.在ABC中，由余弦定理，得AB2()222cos 75325，AB(km)，即A，B之间的距离为 km.二高度问题高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合.【例2】 要测量电视塔AB的高度，在点C测得塔顶A 的仰角是45，在点D测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为！40#m.解析设电视塔AB高为x m，则在RtABC中，由ACB45，得BCx.在RtADB中，由ADB30，得BDx.在BDC中，由余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcos 120，即(x)2x24022x40cos 120，解得x40，所以电视塔高为40 m.三角度问题解决角度问题的注意点(1)首先应明确方位角或方向角的含义.(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用.【例3】 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，红方侦察艇以每小时14 n mile的速度沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值.解析如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC14x，BC10x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28，BC20.根据正弦定理得，解得sin .所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角的正弦值为.1如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援，则cos (B)ABCD解析如题图所示，在ABC中，AB40海里，AC20海里，BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，故BC20(海里).由正弦定理，得sin ACBsin BAC，由BAC120，知ACB为锐角，故cos ACB.故cos cos (ACB30)cos ACBcos 30sin ACBsin 30.第1题图第2题图2如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD(B)A30B45C60D75解析依题意可得AD20 m，AC30 m，又CD50 m，所以在ACD中，由余弦定理得cos CAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.3如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡A处测得DAC15，沿山坡前进50 m到达B处，又测得DBC45，根据以上数据可得cos ！1#.解析由DAC15，DBC45，可得BDA30，DBA135，BDC90(15)3045，由内角和定理可得DCB180(45)4590，根据正弦定理可得，即DB100sin 15100sin (4530)25(1)，又，即，得到cos 14如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD！100#m.解析依题意有AB600，CAB30，CBA18075105，DBC30，DCCB.ACB45，在ABC中，由，得，有CB300，在RtBCD中，CDCBtan 30100，则此山的高度CD100 m.易错点不注意实际问题中变量的取值范围错因分析：三角形中的最值问题，可利用正弦、余弦定理建立函数模型(或三角函数模型)，转化为函数最值问题.求最值时要注意自变量的范围，要考虑问题的实际意义.【例1】 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度 的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.解析(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S.故当t时，Smin10，v30.即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.(2)设小艇与轮船在B处相遇.则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900.0v30，900900，即0，解得t.又t时，v30，故v30时，t取得最小值，且最小值等于.此时，在OAB中，有OAOBAB20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时.【跟踪训练1】 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解析(1)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin (AC)sin (AC)sin Acos Ccos Asin C.由，得ABsin C1 040(m).所以索道AB的长为1 040 m.(2)设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d m，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，因0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙距离最短.(3)由，得BCsin A500(m).乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内.课时达标第23讲解密考纲本考点考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形，解决实际应用问题.题型一般为填空题或解答题，题目难度中等偏难.一、选择题1两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的(B)A北偏东10B北偏西10C南偏东10D南偏西10解析依题意作出图形可知，A在B北偏西10的地方.2有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20，现要将倾斜角改为10，则斜坡长为(C)A1千米B2sin 10 千米C2cos 10 千米Dcos 20 千米解析由题意知DCBC1，BCD160，BD2DC2CB22DCCBcos 16011211cos(18020)22cos 204cos210，BD2cos 10.3一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是(A)A10 海里B10 海里C20 海里D20 海里解析如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)，故选A4要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120，甲、乙两地相距500米，则电视塔的高度是(D)A100 mB400 mC200 mD500 m解析由题意画出示意图，设塔高ABh m，在RtABC中，由已知得BCh m，在RtABD中，由已知得BDh m，在BCD中，由余弦定理BD2BC2CD22BCCDcosBCD，得3h2h25002h500，解得h500(m).5长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C 14 m的地面上，另一端B在离堤足C处的2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值tan (A)ABCD解析由题意，可得在ABC中，AB3.5 m，AC14 m，BC2.8 m，且ACB.由余弦定理，可得AB2AC2BC22ACBCcosACB，即3.521422.822142.8cos()，解得cos ，所以sin ，所以tan .6(2018四川成都模拟)如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为(A)A(3030) mB(3015) mC(1530) mD(1515) m解析设建筑物高度为h，则60，即(1)h60，所以建筑物的高度为h(3030)m.二、填空题7一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距8 n mile，此船的航速是！32#n mile/h.解析设航速为v n mile/h，在ABS中，ABv，BS8 n mile，BSA45，由正弦定理，得，v32 n mile/h.8某人在地上画了一个角BDA60，他从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为！16米#.解析如图，设DNx米，则142102x2210xcos 60，x210x960.(x16)(x6)0.x16.N与D之间的距离为16米.9如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75.从C点测得MCA60，已知山高BC100 m，则山高MN！150#m.解析在ABC中，AC100，在MAC中，解得MA100，在MNA中，sin 60，故MN150，即山高MN为150 m.三、解答题10已知岛A南偏西38方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇，岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？解析如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC0.5x，AC5海里，依题意，BAC1803822120，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos 120，所以BC249，BC0.5x7，解得x14.又由正弦定理得sin ABC，所以ABC38，又BAD38，所以BCAD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.11(2018广东广州模拟)如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察