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文档简介
5 可降阶的高阶微分方程,定义 称二阶及二阶以上的微分方程为高阶微分方程,方程 y (n) = f (x),1. y(n) = f (x)型的微分方程,右端仅含有自变量x，容易看出，只要令y (n1) = p 则p=f(x);则原方程可以看成是一阶微分方程，两边 积分就得到一个n1阶的微分方程：,同理可得：,这样经过n次积分，即得到原方程的通解。,例1. 解方程,解: 连续积分两次，得：,例2. 解方程,解: 连续积分三次，得：,2. 不显含y型:,解法:,令 y=p, 则,则,设其通解为,p= (x, C1),则,故得,例3 解方程 y+ y=x2 的通解,解:,则,利用一阶非齐次线性微分方程求解方法，得通解为：,又,解得通解为：,令y=p, 则,（一阶线性方程）,例4 解方程(1+x2)y/2xy/=0满足初始条件,解：令y=p, 则,（可分离变量）,由y/|x=0=3 可得C1=3，则y/=3(x2+1),两边积分得： y=x3+3x+C2,通解为：,由y|x=0=1 可得C2=1，则y=x3+3x+1,3. 不显含x型：,解法： 令y=p, 有,代入方程得,y=f (y, y),这是一个关于p，y的一阶微分方程，,设其通解 p= (y, C1),则,分离变量并积分得,例5 解方程 2yy+y2=0,解：设y=p, 则,分离变量有,积分得,故,即,再分离变量,或,即,练习：,解
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