2019版高考数学复习椭圆双曲线抛物线高考达标检测四十二圆锥曲线的综合问题__最值范围证明问题理.docx

高考达标检测（四十二） 圆锥曲线的综合问题最值、范围、证明问题1已知A，B分别是椭圆C：1(ab0)的长轴与短轴的一个端点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，D是椭圆上的一点，DF1F2的周长为6，|AB|. (1)求椭圆C的方程； (2)若P是圆x2y27上任一点，过点P作椭圆C的切线，切点分别为M，N，求证：PMPN.解：(1)由DF1F2的周长为6，得2a2c6，由|AB|，得a2b27，又b2c2a2，a2，b，c1. 故椭圆C的方程为1.(2)证明：当切线PM的斜率不存在或为零时，此时取P(2，)，显然直线PN：y与直线PM：x2恰是椭圆的两条切线由圆及椭圆的对称性，可知PMPN.当切线PM，PN斜率存在且不为零时，设切线PM的方程为yk1xm，PN的方程为yk2xt，P(x0，y0)(x02)，由消去y，得(4k3)x28k1mx4(m23)0，PM与椭圆C相切，64km216(4k3)(m23)0，m24k3.y0k1x0m，my0k1x0，(y0k1x0)24k3.即(x4)k2x0y0k1y30；同理(x4)k2x0y0k2y30，k1，k2是方程(x4)k22x0y0ky30的两个根，又点P在圆上，xy7，y7x，k1k21，PMPN.综上所述，PMPN.2已知椭圆C：1(ab0)的短轴长为2，且椭圆C的顶点在圆M：x2 2上 (1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求|AB|CD|的最小值解：(1)由题意可知2b2，b1.又椭圆C的顶点在圆M上，则a，故椭圆C的方程为x21.(2)当直线AB的斜率不存在或为零时，|AB|CD|3；当直线AB的斜率存在，且不为零时，设直线AB的方程为ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2), 联立消去y，整理得(k22)x22kx10，则x1x2，x1x2，故|AB|.同理可得：|CD|， |AB|CD|.令tk21，则t1,01，|AB|CD|，当0b0)的上、下焦点分别为F1，F2，离心率为，P为C上的动点，且满足 (0)，|1|，QF1F2面积的最大值为4.(1)求点Q的轨迹E的方程和椭圆C的方程；(2)直线ykxm(m0)与椭圆C相切且与曲线E交于M，N两点，求SF1MN的取值范围解：(1)由椭圆定义得：|F2Q|F2P|PQ|F2P|PF1|2a， 所以点Q的轨迹是以F2为圆心，2a为半径的圆当QF2F1F2时，QF1F2面积最大，所以2c2a4，即ac2.又，可得a2，c1.所以点Q的轨迹E的方程为x2(y1)216，椭圆C的方程1.(2)由消去y，整理得(3k24)x26kmx3m2120，则36k2m24(3k24)(3m212)0，化简得3k2m240，即k2.由k20及m0，得m2.设圆心F2(0，1)到直线MN的距离为d，则d ， 所以弦长|MN|22 .设点F1(0,1)到直线MN的距离为h，则h ，所以SF1MN|MN|h .由m2，得 ，)，所以SF1MN的取值范围为，)4.如图，椭圆E的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，|AB|4，|F1F2|2. (1)求椭圆E的方程；(2)直线ykxm(k0)交椭圆于C，D两点，与线段F1F2及椭圆短轴分别交于M，N两点(M，N不重合)，且|CN|DM|，求k的值； (3)在(2)的条件下，若m0，设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求的取值范围解：(1)设椭圆E的方程为1(ab0)，由|AB|4，|F1F2|2，可知a2，c，则b1，所以椭圆E的方程为y21.(2)设D(x1，y1)，C(x2，y2)，易知N(0，m)，M，由消去y，整理得(14k2)x28kmx4m240，由0，得4k2m210，即m24k21，且x1x2，x1x2.又|CM|DN|，即，可得x1x2，即，解得k.(3)2.由题知，点M，F1的横坐标xMxF1，有2m，则m，满足m22.即1，则(1,74，所以的取值范围为(1,9756已知椭圆C：1(ab0)的右准线l的方程为x，短轴长为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过定点B(1,0)作直线l与椭圆C相交于P，Q(异于A1，A2)两点，设直线PA1与直线QA2相交于点M(2x0，y0)试用x0，y0表示点P，Q的坐标；求证：点M始终在一条定直线上解：(1)由解得或 故椭圆C的方程为y21或y21.(2)不妨取椭圆C的方程为y21，A1(2,0)，A2(2，0), 则MA1的方程为：y(x2)，即xy2，代入y21, 得2y21，即y2y0.yP，则xP22.即P.同理：MA2的方程为y(x2)，即xy2，代入y21, 得2y21，即y2y0.yQ.则xQ22.即Q. 证明：设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，P，Q，B三点共线，kPBkQB，即.， 即.由题意知，y00，