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1.3.3 全称命题与特称命题的否定A.基础达标1设xZ,集合A是奇数集,集合B是偶数集,若命题“对任意的xA,2xB”,则该命题的否定是()A对任意xA,2xBB对任意xA,2xBC存在xA,2xBD存在xA,2xB解析:选D.因为对任意都满足的否定是存在不满足的2下列四个命题中,真命题是()A对任意的xR,x2B存在xR,x2C存在xR,|x1|0解析:选B.对于A:当x1时,x22,排除A;对任意xR,|x1|0,排除C和D,故选B.3命题“原函数与反函数的图像关于yx对称”的否定是()A原函数与反函数的图像关于yx对称B原函数不与反函数的图像关于yx对称C存在一个函数,其原函数与反函数的图像不关于yx对称D存在原函数与反函数的图像关于yx对称解析:选C.命题“任意xM,p(x)”的否定是“存在xM,p(x)不成立”4已知命题p:“对任意的xR,存在mR,使4x2xm10”若命题p的否定是假命题,则实数m的取值范围是()A2m2Bm2Cm2 Dm2或m2解析:选C.由p的否定为假命题可知p为真命题,由4x2xm10得m(2x2x),对任意的xR,2x2x22,故2x2x2,由题意可得m2.5已知函数f(x)|x2|x3|,命题p:存在xR,f(x)a.则“命题p是假命题”是“a5”的()A充要条件B既不充分也不必要条件C充分不必要条件D必要不充分条件解析:选D.因为命题“存在xR,|x2|x3|a”为假命题,所以它的否定:“对任意的xR,|x2|x3|a”为真命题,对于对任意的xR,|x2|x3|(x2)(x3)|5,所以a5.所以“命题p是假命题”是“a5”的必要不充分条件6命题“存在x,y0,x2y22xy”的否定为_解析:这是一个特称命题,其否定为:对任意的x,y0,都有x2y22xy.答案:对任意的x,y0,x2y22xy恒成立7命题“同位角相等”的否定为_,否命题为_解析:这是一个全称命题,其否定为:有的同位角不相等,否命题是对原命题的条件和结论都否定,其否命题为:若两个角不是同位角,则它们不相等答案:有的同位角不相等若两个角不是同位角,则它们不相等8若命题:“存在xR,使得x2(1a)x10,解得a3.答案:(,1)(3,)9写出下列全称命题或特称命题的否定(1)存在,Z,使sin()sin sin ;(2)对任意的xR,都有x2x0;(3)每条直线在y轴上都有一个截距解:(1)特称命题的否定为:对任意的、Z,使sin()sin sin .(2)全称命题的否定为:存在xR,使x2x0.(3)全称命题的否定为:存在一条直线在y轴上没有截距10写出下列命题的否定,并判断其真假(1)p:无论m取何实数,方程x2xm0必有实数根;(2)q:存在一个实数x,使得x2x10;(3)r:等圆的面积相等,周长相等;(4)s:对任意角,都有sin2cos21.解:(1)这一命题可以表述为p:“对所有的实数m,方程x2xm0有实数根”,其否定为:“存在实数m,使得x2xm0没有实数根”当14m0,即m0.利用配方法可以验证q的否定是一个真命题(3)这一命题的否定是:存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等,由平面几何知识知r的否定是一个假命题(4)这一命题的否定是存在R,使sin2cos21.由于命题s是真命题,所以s的否定是假命题B.能力提升1若“任意x0,sin xcos xm”为假命题,则实数m的取值范围为()Am1 Bm1Cm2 D1m2解析:选C.令f(x)sin xcos x2sin(x),x0,可知f(x)在0,上为增函数,在(,上为减函数,由于f(0),f()2,f()1,所以1f(x)2,由于“任意x0,sin xcos xm”为假命题,则其否定“存在x0,sin xcos xm”为真命题,所以mf(x)max2.2已知函数f(x)2x2(4m)x4m,g(x)mx,若对于任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则实数m的取值范围是()A4,4 B(4,4)C(,4) D(,4)解析:选C.显然f(x)0恒成立,满足条件时(4m)28(4m)0,解得4m0,则x2y0”的否定是_解析:已知命题是一个全称命题,其否定为特称命题,先将“任意”换成“存在”再否定结论,即命题的否定是:存在xR,若y0,则x2y0.答案:存在xR,若y0,则x2y04定义在R上的运算:xyx(1y),对任意xR,不等式(xa)(xa)1恒成立,则a的取值范围是_解析:由已知,(xa)1(xa)1对任意的xR恒成立,即对任意xR,x2xa2a10恒成立时,求参数a的范围由14(a2a1)0,解得a.答案:(,)5已知两个命题:r(x):sin xcos xm,s(x):x2mx10,如果对任意xR,r(x)与s(x)有且仅有一个为真命题,求实数m的取值范围解:因为sin xcos xsin,所以当r(x)是真命题时,m.又因为对任意xR,s(x)是真命题时,即x2mx10恒成立,有m240,所以2m2.所以当r(x)为真命题,s(x)为假命题时,m,同时m2或m2,即m2;当r(x)为假命题,s(x)为真命题时,m,且2m2,即m2.综上,m的取值范围是m|m2或m26(选做题)已知f(x)ax2bxc的图像过点(1,0),是否存在常数a、b、c,使不等式xf(x)对一切实数x均成立?解:假设存在常数a、b、c,使题设命题成立因为f(x)的图像过点(1,0),所以abc0.因为
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