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8.4.1、奇函数与偶函数的傅里叶级数,8.4.3 函数 f(x) 在 0 , 上展开为正 弦级数与余弦级数,8.4 正弦级数与余弦级数,展开式中只含有正弦函数的傅里叶级数，,称为 正弦函数，,只含有余弦函数包括常数项的称为余弦 级数.,假设以 2 为周期的周期函数 f(x),在 , 内 是奇函数，,那么傅里叶级数一定是正弦级数.,即,此时傅氏系数,8.4.1、奇函数与偶函数的傅里叶级数,于是在区间 ( ) 内 f(x)cosnx 为奇函数 ，,而奇函数在对称区间上的积分为零 ，,所以,又因 f(x)sinnx 在区间 () 内是偶函数 ，,故有,同理可以推出，当函数 f(x) 是偶函数时， 其展开式为余弦级数，,即,此时傅里叶系数为,试将其展开成傅里叶级数 .,解 函数 f (x) 的图形如图所示 ，,因此我们应 根据(12.6.6) 式计算傅里叶系数.,由图形的对称性可知 f(x) 是偶函数，,即,故所求的傅里叶级数收敛 于 f(x)，,又因为 f(x) 处处连续 ，, (x) 称为f(x) 的周期延拓函数.,且以 2 为 周期的函数，,如果 (x) 满足收敛定理的条件，,我们设想有一 个函数 (x)，,设函数 f(x) 定义在 0 , 上，,它是定义在 ( ) 上,而在 0 , 上，, (x) = f(x).,那么 (x) 在 ( ) 上就可展开为傅里叶级数，,取其 0 , 上一段，,即为 f(x) 在 0 , 上的傅里叶级数，,8.4.3 函数 f(x) 在 0 , 上展开 为正弦级数与余弦级数,在理论上或实际工作中，,下面的周期延拓是 最为常用:,将 f(x) 先延拓到 ( , 0) ，,使延拓后 的函数成为奇函数 ，,然后再延拓为以 2 为周期 的函数 .,这种延拓称为周期奇延拓;,这种延拓称为周期偶延拓.,将 f(x) 先延拓到( , 0)，,使延拓后的函数为偶函数，,然后再延拓为以 2 为周期的函数，,显然，周期奇延拓的结果为正弦级数，,其傅 里叶系数按公式 (12.6.5) 计算.,即,( 因在 0 , 上， (x) = f(x) ).,周期偶延拓的结果为余弦级数，,其傅里叶系 数公式为,例 5 试将,解 按式 (12.6.8) 计算傅里叶级数，,且延拓的函数在 x = 0， 处连续，,因此,(0 x ) .,展开成正弦级数
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