常微分方程的符号解.ppt

常微分方程的符号解,华东师范大学 李志斌,参考文献 Differential Equations and Computer Algebra M.F. Singer, editor, Academic Press, 1991. 计算机代数与微分方程会议论文集，意大利，1990.5,微分方程与计算机代数,一阶常微分方程,设 为一函数域，对于 中给定的函数 ， 一阶常微分方程,的解为,问题: 如何设计算法获得闭形式的解？,多项式系数情形,设 为多项式，考虑一阶常微分方程,假设,希望求出此方程的多项式解，如何设计算法？,多项式系数情形,基本思想 根据方程本身确定多项式解的次数。将次数确定的多项式解带入方程，利用待定系数方法得到一个线性代数方程组，通过解代数方程组获得原微分方程的多项式解。利用这个算法可以求得多项式解，或证明没有这样的解。,有理式系数情形,设 为有理式，R.H.Risch 于1969年提出了一个计算一阶常微分方程,有理函数解的算法。其基本思想是：由 的分母计算出 的分母，进而将问题转化为多项式系数的一阶常微分方程。利用 Risch 算法可以计算出有理函数解，或证明没有这样的解。,有理式系数情形,Risch 思想 当 给定后，分别对其分母,作无平方因子分解 其中 两两互素，则可计算未知函数 分母因子的重数 ，使得,将 的上述形式代入原方程，得,两端同乘 其中 ， 则可将原方程化作多项式系数的一阶常微分方程。,有理式系数情形,Risch 思想,一个简单例子,考虑一阶常微分方程,此时 的分母的无平方因子的 分解为,一个简单例子,设 依照算法可计算得,于是 的分母为 . 记 的分子为 ,代入原方程得,一个简单例子,去分母得,一个简单例子,设 应用计算多项式解 次数的算法,于是 为待定常数。,一个简单例子,代入方程，得线性方程组,由此解得 于是原方程的解为 前者为齐次方程的通解，后者为非齐次方程的特解。,练习,利用 Risch 算法可计算常微分方程,的通解为,程序演示,勘误,P212 L11 P212 L-3 P213 L2 P213 L9，12，17 P214 L13 P216 L11 P216 L13,Michael F. Singer,Professor Department of Mathematics North Carolina State University Raleigh, NC 27695-8205,多项式解次数的确定,设 考虑两种情形,1. 即,故,多项式解次数的确定,2. 即,若 若,则 则,D2: 求 的次数 ,且令 D3: 若 ,且 为整数,则令,D1: 令 ,并设 的首项系数为,计算多项式解次数算法,多项式解次数的确定,有理解分母因子重数的确定,设 为 分母中无平方部分的某个不可约因子。于是,假定 为有理函数，又设 也是 的分母的因子，期望确定 使得 可以表示成,将 的上述形式代入原方程，得,注意 为无平方因子，它与上式中其余各个部分互素，因此与下式也互素,有理解分母因子重数的确定,由此可以证明,当 当 当,时， 时， 时，或,或,其中 如下定义,有理解分母因子重数的确定,M1: 令 M