2019版高考数学复习选4系列12.3绝对值不等式学案文.docx

12.3绝对值不等式知识梳理1绝对值不等式(1)定理如果a，b是实数，那么|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立(2)如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|.当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立，即b落在a，c之间(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式|a1a2an|a1|a2|an|.|a|b|ab|a|b|.2绝对值不等式的解法(1)形如|axb|cxd|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解(2)绝对值不等式|x|a与|x|0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc(c0)，|axb|caxbc或axbc(c0)诊断自测1概念思辨(1)不等式|x1|x2|c的解集为R，则c0.()(3)|axb|c(c0)的解集，等价于caxbc.()(4)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(选修A45P19T5)解不等式|2x1|x2|4.解当x时，原不等式可化为2x12x4，所以x1，此时x1；当x4，所以x1，此时1x4，所以x，此时x2.综上，原不等式的解集为(，1)(1，)(2)(选修A45P20T9)设函数f(x)|x4|x3|.解不等式f(x)3；若f(x)a对一切xR恒成立，求实数a的取值范围解当x3时，原不等式可化为4x3x3，即x2，所以x2；当3x4时，原不等式可化为4xx33，即13，无解；当x4时，原不等式可化为x4x33，即x5，所以x5.综上，原不等式的解集为x|x2或x5f(x)a对一切xR恒成立的充要条件是af(x)min.因为f(x)|x4|x3|(x4)(x3)|1，即f(x)的最小值为1，所以a1.即实数a的取值范围是(，13小题热身(1)(2015山东高考)不等式|x1|x5|2的解集是()A(，4) B(，1) C(1,4) D(1,5)答案A解析当x1时，原不等式等价于1x(5x)2，即42，x1.当1x5时，原不等式等价于x1(5x)2，即x4，1x5时，原不等式等价于x1(x5)2，即42，无解综合知x1的解集 (1)去绝对值符号转化为分段函数；(2)根据(1)作出的图象，采用数形结合方法求解解(1)f(x)yf(x)的图象如图所示(2)由f(x)的表达式及图象，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5，故f(x)1的解集为x|1x3；f(x)1的解集为.方法技巧解|xa|xb|c或|xa|xb|c的一般步骤1用“零点分段法”(1)令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；(2)将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间；(3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集；(4)取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集2利用|xa|xb|的几何意义数轴上到点x1a和x2b的距离之和大于c的全体，|xa|xb|xa(xb)|ab|.3图象法：作出函数y1|xa|xb|和y2c的图象，结合图象求解见典例提醒：易出现解集不全的错误对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏冲关针对训练(2017全国卷)已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范围解(1)f(x)当x1时，f(x)1无解；当1x2时，由f(x)1，得2x11，解得1x2；当x2时，由f(x)1，解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1(2)由f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2，且当x时，|x1|x2|x2x，故m的取值范围为.题型2绝对值不等式性质的应用 (2016全国卷)已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时，求不等式f(x)6的解集；(2)设函数g(x)|2x1|.当xR时，f(x)g(x)3，求a的取值范围 (1)将不等式化为|xa|c的形式求解(2)利用绝对值不等式性质消去a.解(1)当a2时，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26，得1x3.因此f(x)6的解集为x|1x3(2)当xR时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a，当x时等号成立，所以当xR时，f(x)g(x)3等价于|1a|a3.当a1时，等价于1aa3，无解当a1时，等价于a1a3，解得a2.所以a的取值范围是2，)条件探究将典例(1)中条件“a2时”变为“g(x)|2x1|，若g(x)5时，恒有f(x)6”，试求a的最大值解g(x)5|2x1|552x152x3；f(x)6|2xa|6aa62xa6aa3x3.依题意有a32，a1.故a的最大值为1.方法技巧绝对值不等式性质的应用利用不等式|ab|a|b|(a，bR)和|ab|ac|cb|(a，bR)，通过确定适当的a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以(1)求最值，(2)证明不等式见典例冲关针对训练(2018福建漳州模拟)已知函数f(x)|2xa|2x3|，g(x)|x1|2.若对任意x1R，都存在x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围解因为对任意x1R，都存在x2R，使得f(x1)g(x2)成立，所以y|yf(x)y|yg(x)，又f(x)|2xa|2x3|(2xa)(2x3)|a3|，g(x)|x1|22，所以|a3|2，解得a1或a5，所以实数a的取值范围为1，)(，51(2017河西区三模)若存在实数x，使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是()A2,1 B2,2 C2,3 D2,4答案D解析由|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，不等式|xa|x1|3有解，可得|a1|3，即3a13，求得2a4.故选D.2(2017潍坊一模)若关于x的不等式|x1|x2|m70的解集为R，则实数m的取值范围为()A(4，) B4，)C(，4) D(，4答案A解析不等式|x1|x2|m70，移项：|x1|x2|7m，根据绝对值不等式的几何意义，可知：|x1|x2|的最小值是3，解集为R，只需要37m恒成立即可，解得m4.故选A.3(2017北仑区期中)关于x的不等式|x1|x3|a23a的解集为非空数集，则实数a的取值范围是()A1a2 B.aCa2 Da1或a2答案B解析关于x的不等式|x1|x3|a23a的解集为非空数集，则a23a(|x1|x3|)max即可，而|x1|x3|的最大值是2，只需a23a20，解得：a0)(1)当a4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a的取值范围解(1)当a4时，不等式为|2x1|x1|2.当x时，x22，解得4x1时，x0，此时x不存在，原不等式的解集为.(2)令f(x)|2x1|x1|，则f(x)故f(x)，即f(x)的最小值为.若f(x)log2a有解，则log2a，解得a，即a的取值范围是.2(2017广东潮州二模)设函数f(x)|2x3|x1|.(1)解不等式f(x)4；(2)若x，不等式a14或或x2或01.不等式f(x)4的解集为(，2)(0，)(2)由(1)知，当x时，f(x)3x2，当x，a1，即a.实数a的取值范围为.3(2017湖北黄冈调研)已知函数f(x)|2xa|2x1|(aR)(1)当a1时，求f(x)2的解集；(2)若f(x)|2x1|的解集包含集合，求实数a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|2x1|2x1|，f(x)21，上述不等式的几何意义为数轴上点x到两点，距离之和小于或等于1，则x，即原不等式的解集为.(2)f(x)|2x1|的解集包含，当x时，不等式f(x)|2x1|恒成立，当x时，|2xa|2x12x1恒成立，2x2a2x2在x上恒成立，(2x2)maxa(2x2)min，0a3.故实数a的取值范围是0,34(2018山西八校联考)设函数f(x)|x1|xa|.(1)若f(x)5对于xR恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a1时，函数f(x)的最小值为t，且正实数m，n满足mnt，求证：2.解(1)|x1|xa|表示数轴上的动点x到两定点1，a的距离之和，故当a4或a6时，|x1|xa|5对于xR恒成立，即实数a的取值范围为(，64，)(2)证明：因为|x1|x1|x11x|2，所以f(x)min2，即t2，故mn2，又m，n为正实数，所以(22)2，当且仅当mn1时取等号5(2017沈阳模拟)设f(x)|ax1|.(1)若f(x)2的解集为6,2，求实数a的值；(2)当a2时，若存在xR，使得不等式f(2x1)f(x1)73m成立，求实数m的取值范围解(1)显然a0，当a0时，解集为，则6，2，无解；当a0时，解集为，令2，6，得a.综上所述，a.(2)当a2时，令h(x)f(2x1)f(x1)|4x1|2x3|由此可知h(x)在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，则当x时，h(x)取到最小