A不同特征值所对应的特征向量线性无关.ppt

1,A不同特征值所对应的特征向量线性无关.,若A有n个互异特征值,则一定有n个线性无关的特征向量.,属于不同特征值的线性无关的特征向量仍线性无关.,复习上讲主要内容,实对称阵不同特征值的实特征向量必正交.,实对称阵的ri重特征值i一定有ri个线性无关的实特征向量.,2,本节主要内容,相似矩阵的概念 方阵相似对角化的条件与方法 几何重数与代数重数 实对称矩阵正交相似对角化的方法,7.2 相似矩阵,3,设A,B是两个n阶方阵,如果存在 可逆矩阵T, 使,T-1AT =B,则称A与B相似, 记作AB. 从A到B 的这种变换称为相似变换, T为相似变换矩阵.,7.2.1 相似矩阵的概念,1 定义,例如,T-1ET =E,4,即相似关系满足:,(1) 自反性:AA; (2) 对称性:若AB, 则BA; (3) 传递性:若AB,BC,则AC.,矩阵的相似关系是 上的一种等价关系,所以彼此相似的矩阵构成一个等价类, 最简单的代表元就是对角阵.,5,2 相似矩阵的特征多项式,定理7.2 若A与B相似, 则特征多项式同, 即,证,因A与B相似, 所以存在可逆矩阵T, 使,T-1AT =B,6,推论,若n阶方阵A与对角阵,相似,结论成立.,7,3 相似矩阵有5同,(4) 迹同:,(1) 特征多项式同:,(2) 特征值同:,(3) 行列式同:,(5) 秩同:,如果A, B是两个n阶方阵, AB.则有,但逆命题不成立即 特征值同但不相似,阵,(2)的反例如下:,8,(1) 相似矩阵有相同的可逆性, 当A可逆时, 若AB,则A-1B-1, B*A*,B*=T-1A*T . (2) 若AB, 则Am Bm, 其中m是正整数. (3) 若AB, 设 f(x) 是一个一元多项式, 则 f (A)f (B),4 相似矩阵的性质,(5) 若AB,则对常数t有,(4) 若AB,则AT BT .,9,与,相似,解,由|5E A|=5-5x=0,x = 1,tr(A) = tr(),y = -1.,例1,求 x , y .,两矩阵相似,等价,5 矩阵的相似与等价的关系,显然A有特征值 5,-5.,10,7.2.2 相似对角化的条件及方法,1 定义,若A与对角阵相似,称A可以相似 对角化.,2 相似对角化的条件,A有n个线性无关的特征向量.,A的n个线性无关的特征向量,且的主对角线上元素是与其对应的特征值.,11,证,设A与对角阵相似,则可逆阵T, 使,所以有 AT = T,用T1, T2, Tn表示T 的n个列向量, 即,T=(T1, T2, Tn),(注意:证明过程给出相似对角化的方法),12,即 A(T1, Tn)=(AT1, ATn)=,等式两边的列向量应当对应相等, 所以:,由T可逆知, T1, Tn线性无关,故是A的,n个线性无关的特征向量.,13,设T1,T2,Tn是n个线性无关的列向量, 满足: ATi =iTi, i=1,2,n 如果令 T=(T1,T2,Tn) AT =A(T1,T2,Tn) =(AT1,AT2,ATn) =(1T1, 2T2, nTn) =(T1,T2,Tn) diag(1,2, , n) =Tdiag(1, 2, , n),T-1AT,14,A可相似对角化.,若A有n个互异特征值,例如, n阶单位阵E 可对角化, 但是它的 互异特征值只有1个( n重 ).,属于A的不同特征值的特征向量线性无关,问题：若A可相似对角化, 那么A一定有n个 互异特征值?,推论1,15,7.2.3 几何重数与代数重数,几何重数:矩阵A的每个特征值i的特征子 空间 Vi的维数为i的几何重数. (即 (iE-A)X=0基础解系含向量的个数). 代数重数:(i在特征方程中的重根数).,A的特征值的几何重数代数重数.,定理7.4,注 复矩阵A的所有特征值的代数重数之和,每个特征值几何重数=代数重数时.,复矩阵A可相似对角化,=n,所以有,16,解,x = y.,R(E A)=1,可相似对角化,求x , y 满足的条件.,例2,R(3E A)=2,特征值为1，1，3.,17,设三阶方阵A 的特征值为1,-1,-1,依次是对应的特征向量,求A与A9 .,解 设,则,经验证T1,T2 , T3线性无关, A可相似对角化.,例3,18,7.3 实对称阵的的正交相似对角化,19,7.3.1 实对称阵的特征值与特征向量,实对称阵的性质:,性质1 实对称阵的特征值都是实数.,性质2 实对称阵对应于不同特征值的实 特征向量必正交.,证,设A是n阶实对称矩阵, 是A的的特征值,且,A= , A2= 2 2,往证1T2= 0.,11T2 = (11 ) T 2= (A1 )T2 =1TAT2 =1T(A2) = T(2 2)= 21T 2 (1 -2)1T2 = 0 1T 2 = 0.,20,7.3.2 实对称阵的正交相似对角化,实对称矩阵可以正交相似对角化.,其中 是A的特征值.,证 A为n阶实对称阵, 有,定理7.6,即:若A为n阶实对称阵, 则正交阵P, 使得,(证明过程给出方法),21,不同特征值 1 2 s,代数重数 r1 r2 rs,几何重数 r1 r2 rs,无关特征向量 X11 X1r1 X21X2r2 Xs1Xs rs,标准正交化,标准正交 特征向量,则,为正交阵,令,22,推论 实对称阵的任一特征值的 代数重数=几何重数.,即方程组,的基础解系恰好含有ri个向量.,23,设三阶实对称阵A 的特征值为-1,1,1, -1所对应的特征向量为(0,1,1)T . 求1对应的特征向量.,例1,X= k(1,0,0)T +l (0,-1,1)T,解,设 X =(x1,x2,x3 ) T,k ,l是不全为零的任意常数.,24,解,例2,设三阶实对称阵A 的特征值为1,2,2,2对应的特征向量为(1,1,0)T (0,1,1)T . 求A的属于1的实单位特征向量.,设 X =(x1,x2,x3 ) T,25,或,所以得,例3 设,求正交阵 使 为对角阵 .,解,特征值为,得基础解系,正交化,单位化,28,得基础解系,单位化,故,为正交阵,diag(2, 2, -7),29,已知矩阵A是三阶实对称阵, 它的特征 值分别是 1, 1, 2, 且属于2 的特征向量 是 ( 1, 0, 1, )T, 求A=?,解 A是三阶实对称阵, 正交相似于对角阵 diag(1, 1, 2), 属于特征值1的特征向量与 属于2的特征向量 ( 1, 0, 1, )T正交, 由此得 到属于1的特征向量为(0,1,0)T, (1,0,-1)T, 单位化得到相应的正交矩阵:,例4,30,由PTAP=diag(1,1,2)可以得到A.,31,例5,设n阶实对称矩阵A的特征值都,大于零, 试证,证,因为A是实对称阵,所以存在正交阵P ,使,32,预 习 习 题 六,(-) Bye!,33,3. A可对角化,A每个特征值的几何重数,=代数重数.,总 结(A为方阵),4.实矩阵在实数域内对角化,首先特征值都 是实数,且每个特征值的几何重数=代数重数.,5.实对称阵一定可以正交相似对角化,34,(1) 特征多项式, (2) 特征值,(1) A的k次幂, (2),(4)已知特征值,特征向量, 反求矩阵A.,(3) 判断矩阵相似,(若A ,B ,则AB.),(A可相似对角化).,2.可以简化方阵A的某些计算如求,A相似与对角阵的应用：,1.有5同,所以易求,(3)行列式, (4) 迹, (5) 秩.,35,设,求正交阵P,使得PTAP成对角阵.,解 (1),例6,36,求得基础解系:,37,先将其正交化: