梁的挠曲线方程与积分解法.ppt

第十三讲 梁的挠曲线方程与积分解法 湖南理工学院曾纪杰,梁的挠度和转角,1、度量弯曲变形的两个量： （1）挠度：梁轴线上的点在垂直于梁轴线方向的所发生的线位移称为挠度。（工程上的一般忽略水平线位移） （2）转角：梁变形后的横截面相对于原来横截面绕中性轴所转过的角位移称为转角。,一 弯曲变形的量度及符号规定,梁的挠度和转角,（2）挠度的符号规定：向上为正，向下为负。,2、符号规定： （1）坐标系的建立： 坐标原点一般设在梁的左端，并规定：以变形前的梁轴线为x轴，向右为正；以y轴代表曲线的纵坐标（挠度），向上为正。,（3）转角的符号规定：逆时针转向的转角为正； 顺时针转向的转角为负。,W（-）,（-）,1、挠曲线： 在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线在弯曲平面内成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。,M,弯曲后梁的轴线 （挠曲线）,力学公式,数学公式,横力弯曲 （ lh5）,2、挠曲线的近似微分方程,(1)曲率与弯矩、抗弯刚度的关系,小挠度情形下,此即弹性曲线的小挠度微分方程,1,max（0.010.001）l ；,2,(2)挠曲线近似微分方程符号及近似解释,近似解释： （1）忽略了剪力的影响； （2）由于小变形，略去 了曲线方程中的高次项。,2,2,(3)选用不同坐标系下的挠曲线近似微分方程,1、积分法基本方法 利用积分法求梁变形的一般步骤： （1）建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座反力，分段列弯矩方程； 分段的原则:,凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；,凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；,中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间 的相互作用力，故应作为分段点；,二 计算弯曲变形的两种方法,(2)分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分 两次 对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程： 再积分一次，得挠曲线方程：,(3)利用边界条件、连续条件确定积分常数 积分常数的数目取决于的分段数 M (x) n 段 积分常数2n个 举例：,分2段，则积分常数2x2=4个,积分常数的确定边界条件和连续条件： 边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界条件。 连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。,边界条件 积分常数2n个=2n个 连续条件,边界条件：,连续条件：,列出图示结构的边界条件和连续条件。,列出图示结构的边界条件和连续条件。,解：边界条件：,连续条件：,积分常数的物理意义和几何意义,物理意义：将x=0代入转角方程和挠曲线方程，得 即坐标原点处梁的转角，它的EI倍就是积分常数C； 即坐标原点处梁的挠度的EI倍就是积分常数D。 几何意义：C转角 D挠度 (4)建立转角方程和挠曲线方程； (5)计算指定截面的转角和挠度值，特别注意 和 及其 所在截面。,例题1: 悬臂梁受力如图所示。求 和 。,取参考坐标系Axy。,解：,1、列出梁的弯矩方程,2、,积分一次：,积分二次：,（1）,（2）,3、确定常数C、D.,由边界条件：,代入（1）得：,代入（2）得：,代入（1）（2）得：,（与C比较知： ）,（与D比较知： ）,常数C表示起始截面的转角刚度(EI),因此,常数D表示起始截面的挠度刚度(EI),例题2: 一简支梁受力如图所示。试求 和 。,解：,1、求支座反力,2、分段列出梁的弯矩方程,BC段,AC段,B,BC段,AC段,3、确定常数,由边界条件：,（1）,（2）,由光滑连续条件：,（3）,（4）,可解得：,则简支梁的转角方程和挠度方程为,BC段,AC段,4、求转角,代入得：,代入得：,5、求 。,求得 的位置值x。,则由,解得：,