分类计数原理和分步计数原理

,10.1 分类计数原理和分步计数原理,请同学们回答下面的问题 :,何时用分类计数原理、分步计数原理呢?,答:完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完成这件事情的方法总数用加法原理。 完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事,则计算完成这件事的方法总数用乘法原理。,2.如图,一条电路在从A处到B处接通时，可以有多少条不同的线路？,A,B,解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类, 第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 22 = 4, 条 所以, 根据加法原理, 从A到B共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 条不同的线路可通电。,当然,也可以把并联的4个看成一类,这样也可分2类求解。,.,A,B,A,B,m1,m1,m2,m2,mn,mn,点评: 我们可以把加法原理看成“并联电路”;乘法原理看成“串联电路”。如图:,分类计数原理、分步计数原理,例1 五名旅客在三家旅店投宿的方法有多少种？,解：完成这件事，可分成五个步骤：第一步安排旅客A，有3种投宿方法，同理第二步，第三步，第四步，第五步都各自有3种方法，根据分步计数原理，得到五名旅客在三家旅店投宿的方法有 N3333335243 答：五名旅客在三家旅店投宿的方法有243种。,例2 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同 (1)从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ (2)从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？,解：(1)从两个口袋内任取1个小球，有两类办法：第一类办法是从第一个口袋内任取1个小球，可以从5个小球中任取1个，有5种方法；第二类办法是从第二个口袋内取小球，可以从4个小球中任取1个，有4种方法，根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是Nm1m2549 答： 从两个口袋内任取1个小球，有9种不同的取法 (2)从两个口袋内各取1个小球，可以分成两个步骤来完成：第一步从第一个口袋内取1个小球，有5种方法；第二步从第二个口袋内取1个小球，有4种方法，根据分步计数原理，得到不同的取法的种数是Nm1m25420 答： 从两个口袋内各取1个小球，有20种不同的取法,例3 现有高一学生8名，高二学生12名，高三学生10名组成课外活动小组： (1)选其中一人为组长，有多少种不同选法？ (2)每一年级选一名组长，有多少种不同选法？,解：（1）选一人作组长，有三类方法：第一类从高一选一名学生，有8种方法；第二类从高二选一名学生，有12种方法；第三类从高三选一名学生，有10种方法，选一人作组长的方法总数为 8+12+10=30 答：选一人作组长的方法总数为30。 （2）每年级选一人作组长，可分三步来完成：第一步从高一选一名学生，有8种方法；第二步从高二选一名学生，有12种方法；第三步从高三选一名学生，有10种方法，即各选一人作组长的方法总数为 81210=960 答：各选一人作组长的方法总数为 960。,例4. 5名同学报名参加4个课外活动小组(每人限报1个)，共有多少种不同报名方法？,例5. 5名同学争夺4项竞赛冠军获得者共有多少种可能？,解：五名学生依次报名，可分五步来完成每名学生在四个项目中可任报一项，即每一步都有四种可能根据分步计数原理，不同的报名方法共有 N44444451024(种) 答:不同的报名方法共有 1024种,解：确定四项冠军人选可分四步来完成：第一步确定第一项冠军人选，有m15(种)可能；第二步确定第二项冠军人选的方法种数,直至第四步都与第一步相同，根据分步计数原理，冠军获得者共有 N555554625(种)可能 答:确定四项冠军人选的方法种数共有625种.,例5 75600有多少个正约数？有多少个正奇约数？,解：(1)75600的每个正约数都可以写成 2i3j5k7l(其中i、j、k、l为整数)的形式，其中 0i4，0j3， 0k2， 0l1于是，要确定 75600的一个正约数，可分四步完成，即分别对i、j、k、l在各自的范围内任取一个数字，这样，i有5种选法，j有4种选法，k有3种选法，l有两种选法，根据分步计数原理，75600的正约数个数是： N5432120 (2)正奇数中不含有2的因数，所以要确定75600的一个正奇数只需要分三步，即分别对j、k、l在各自的范围内任取一个数字根据分步计数原理，75600的正奇约数的个数是 N43224 答：75600有120个正约数，24个正奇约数,练习:1. 某同学有若干本课外参考书，其中外语5本，数学6本，物理2本，化学3本，他欲带参考书到图书馆看书 (1)若从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？ (2)若外语、数学、物理和化学参考书各带一本，有多少种不同的带法？ (3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？,2. 有A、B、C三组人，A组有6个人，B组有5个人，C组有4个人现根