概率论与数理统计第5章.ppt

设随机变量X有期望E(X)和方差 ,则对于任给0,1.切比雪夫不等式,第5章 大数定律与中心极限定理,证明:(就连续型),设随机变量X的密度函数为:f(x),由切比雪夫不等式可以看出，2越小，则事件|X-E(X)|的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.,当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它的期望的偏差不小于的概率的估计式 .,如取,对于离散型随机变量，只要将上述积分号换为求和号即可得证，留作课后练习,概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来. 即:要从随机现象中去寻求必然的法则,应该研究大量随机现象.,研究大量随机现象,常采用极限形式,由此导致研究极限定理. .极限定理内容广泛，其中最重要的有两种:,大量的随机现象中平均结果的稳定性,大数定律的客观背景,大量抛掷硬币 正面出现频率,字母使用频率,生产过程中的 废品率,几个常见的大数定律,定理1（切比雪夫大数定律）,设 X1,X2, 是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi) K，i=1,2, ，,切比雪夫,则对任意的0，,注：书上th1 要求同方差、同期望,证明：,k/n,由已知：,由切比雪夫不等式：,故：,设Y1，Y2，Yn是随机变量序列，a为常数，若对于任意正数有：,则称序列Y1，Y2，Yn依概率收敛于a.,记为：Yn a,P,依概率收敛有以下性质：,设：Xn a,P,Yn b,P,g(x,y)在(a,b)处,连续，则：g(x,y),P,g(a,b).,切比雪夫大数定律给出了 平均值稳定性的科学描述,作为切比雪夫大数定律的特殊情况:,定理2. (独立同分布下的大数定律),设X1,X2, 是独立同分布的随机变量 序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2, 则对任给 0,下面的贝努里大数定律，是定理2的特例.,设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，,引入,i=1,2,n,则,是事件A发生的频率,于是有下面的定理：,设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的次数， p是事件A发生的概率，则对任给的 0，,定理3（贝努里大数定律）,贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率Sn/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.,或：,下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.,定理4：设随机变量序列X1,X2, 独立同分布，具有有限的数学期E(Xi)=, i=1,2,， 则对任给 0 ，,(辛钦大数定律),辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.,我们介绍均值法，步骤是,1) 产生在(0,1)上均匀分布的随机数rn,2) 计算g(rn)， n=1,2,N,n=1,2,N,即,3) 用平均值近似积分值,因此，当n充分大时，,原理:,设XU(0, 1),由大数定律,2. 中心极限定理的客观背景,实际问题中,常需考虑许多随机因素产生总影响.,例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.,空气阻力所产生的误差，,对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.,如瞄准时的误差，,炮弹或炮身结构所引起的误差等等.,观察表明,若一个量受大量相互独立的随机因素的影响所,而每个因素在总影响中所起的作用又不大. 则这个量一般服从或近似服从正态分布.,定理5： (独立同分布下的中心极限定理),它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差 的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布.,设X1,X2, 是独立同分布的随机 变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,，则,定理6(棣莫佛拉普拉斯定理）,定理表明，当n很大，0p1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变量 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p).,设随机变量Yn 服从参数n, p(0p1)的二项分布，则对任意x，有,例1. (供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦.,问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?,用X表示在某时刻工作着的车床数，,解：对每台车床的观察作为一次试验，,每次试验观察该台车床在某时刻是否工作， 工作的概率为0.6，共进行200次试验.,依题意，,XB(200,0.6),则求使：,解：设某时刻恰有N台车床工作，,（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N台工作所需电力即N千瓦.）,由德莫佛-拉普拉斯极限定理,近似N(0,1),于是 P(0XN),这里 np=120, np(1-p)=48,查正态分布函数表得,由 0.999，,从中解得N141.5,即所求N=142.,也就是说, 应供应142 千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.,例2：在人寿保险公司有3千个同龄人参加人寿保险，在一年内此年龄人死亡的概率为0.1. 投保人在一年的第一天付10元保险费，死后家属可从保险公司领取2千元。,求：1).保险公司一年获利不少于1万的概率。,2).保险公司亏本的概率。,解：,设： X为一年内投保人死亡总数。,则： XB(3000,0.001),由德莫佛-拉普拉斯极限定理,近似N(0,1),P3万一年获利1万,P3万3000102000X 1万,P0 X10,=0.958,np=3；np(1-p)=2.997,=0.0418,P保险公司亏本,=P3000102000X0,=PX15,=1P0X15,例3： 1992年美国总统大选，民意测验中心在ABCNEWS上发表民意测验数据如下： 克林顿：42；布什：39；Perot: 17； (预测误差3),1992年11月4日，CNN电台公布选举结果： 克林顿：43；布什：38；Perot: 19；,问题：对于给定的精度如何调查可使预测结果满足精度要求且具有要求达到的可信度1(0) 。,解: (仅以预测克林顿当选为例),假设：,1.以相同概率抽查每一个人，且被调查者均真实说明自己选举意愿。,2.抽查n个人，才能使预测结果满足精度要求的可信度达到1。 3.克林顿当选的概率为p。 4.被调查的n个人当中k人选克林顿。,以 估计克林顿当选概率p的值；,并要求,因为： KB(n, p),其中n、p均未知,由德莫佛-拉普拉斯极限定理,当n充分大时：,近似N(0,1),因p未知，因而想办法消除,其中为z/2标准正态分布的上/2分位点,所以只要：,若令:=0.05=0.03则:,即：对1067人做调查，以,估计p，其误差不超过0.03的可信度为95%，错判概率为5%，错判多发生在突变，或抽样不合理的情况。,证明：,由已知：E(Xk)=0, E( )=a2,故D(Xk)=a2,由切比雪夫不等式,所以结论成立。,用切比雪夫不等式估计：P18Y3022 用中心极限定理估计：P18Y3022,解：,因为：E(Xi)=0, D(Xi)=0.04;,所以: E(Y30)=22, D(Y30)=1.2;,P18Y3022=,=2(1.826)-1=0.932,例6：银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金，已知此批债券共发放500张，每张须付本息1000元，设持券人(一人一券)到期日到银行领取本息的概率为0.4。问：银行应准备多少现金才能以99.9%的可能满足客户的兑换？,解：设为X到期日到银行领取本息的总人数。,则：XB(500,0.4),E(