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文档简介

第六节,行列式按行(列)展开,引入,可见，三级行列式可通过二级行列式来表示,一 余子式、代数余子式,定义,在 n 级行列式 中将元素 所在的,第 i 行与第 j 列划去，剩下 个元素按原位置,次序构成一个 级的行列式，,称之为元素 的余子式,记作 ,令,称 之为元素 的代数余子式,注：, 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式,和代数余子式,无关，只与该元素的在行列式中的位置有关, 元素 的余子式和代数余子式与 的大小,元素除 外都为 0，则,1.引理,二 行列式按行(列)展开法则,若n 级行列式 D = 的 中第 i 行所有,证：,先证 的情形，即,由行列式的定义，有,结论成立。,一般情形：,结论成立。,2.定理,行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素与其,对应的代数余子式乘积之和，即,或,行列式按行（列）展开法则,证：,例如.计算行列式,解：,例如.证明范德蒙行列式,证：用数学归纳法.,时，,假设对于 级范德蒙行列式结论成立即,结论成立,把 从第 n 行开始，后面一行减去前面一行的,倍，得,下证对于 n 级范德蒙行列式 结论也成立.,范德蒙行列式 中至少两个相等,注：,3.推论,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的,对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证, 当 时,同理可证,综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：,例如.设 求,解：,和,例如.证明：,三 总结,1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式
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