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1.一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,三、线性方程,例如,线性的;,非线性的.,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),2. 线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,作变换,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解:这是一阶线性微分方程,例1,例2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .,两边求导得,解,解此微分方程,所求曲线为,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,2、伯努利方程,解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.,求出通解后，将 代入即得,代入上式,解,例 3,例4 用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,解,分离变量法得,所求通解为,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,小结,1.齐次方程,2.线性非齐次方程,3.伯努利方程,思考题,求微分方程 的通解.,思考题解答,练 习 题,练习题答案,四.全微分方程及其求法,1.定义:,则,若有全微分形式,例如,称为 全微分方程 或恰当方程,所以是全微分方程.,2.解法:,应用曲线积分与路径无关.,通解为,全微分方程,解,是全微分方程,原方程的通解为,例1,解,是全微分方程,将左端重新组合,原方程的通解为,例2, 用直接凑全微分的方法.,解,将方程左端重新组合,有,例3 求微分方程,原方程的通解为,2、积分因子法,定义:,问题: 如何求方程的积分因子?,1.公式法:,求解不容易,特殊地:,2.观察法:,凭观察凑微分得到,常见的全微分表达式,可选用的积分因子有,解,例4,则原方程为,原方程的通解为,(公式法),可积组合法,解,将方程左端重新组合,有,原方程的通解为,可积组合法,例5 求微分方程,三、一阶微分方程小结,解1,整理得,A 常数变易法:,B 公式法
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