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第三节 相似矩阵与矩阵 对角化的条件,一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、方阵可对角化的条件,一、相似矩阵与相似变换的概念,记作AB.,1. 等价关系,二、相似矩阵与相似变换的性质,5. 若AB,则 |A| = |B|.,6. 若AB,则A与B同时可逆或同时不可逆;当可逆时,有 A-1B-1.,证明,注意: 该定理的逆定理不成立,即有相同特征多项式 的矩阵不一定相似. 例如:,推论 若 阶方阵A与对角阵,利用对角矩阵计算矩阵多项式,利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 .,定理,证明,证明,三、方阵可对角化的条件,命题得证.,说明,如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化,例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？,解,解之得基础解系,求得基础解系,解之得基础解系,故 不能化为对角矩阵.,解,解之得基础解系,所以 可对角化.,你能求A100吗?,注意,即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应,练习题,问
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