高中数学第三单元导数及其应用3_3_2利用导数研究函数的极值二课件新人教b版选修1_1

第三章 3.3 导数的应用,3.3.2 利用导数研究函数的极值(二),1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系. 2.会求某闭区间上函数的最值.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点 函数的最值,思考1,观察a，b上函数yf(x)的图象，试找出它的极大值、极小值.,如图为yf(x)，xa，b的图象.,极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).,答案,思考2,结合图象判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？,答案,存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3).,思考3,怎样确定函数f(x)在a，b上的最小值和最大值？,答案,比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值.,梳理 (1)函数的最大(小)值的存在性 假设函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是一条 的曲线，该函数在a，b一定能够取得最大值与最小值. (2)求可导函数yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤如下： 求f(x)在开区间(a，b)内所有 ； 计算函数f(x)在 和 处的函数值，其中最大的一个为 ，最小的一个为 .,连续不断,极值点,极值点,端点,最大值,最小值,题型探究,类型一 求函数的最值,命题角度1 不含参数的函数最值问题 例1 求下列函数的最值： (1)f(x)2x312x，x2,3；,解答,f(x)2x312x，,当x3时，f(x)取得最大值18.,解答,所以当x0时，f(x)有最小值f(0)0； 当x2时，f(x)有最大值f(2).,求解函数在闭区间上的最值，需注意以下几点： (1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值. (3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值.,反思与感悟,跟踪训练1 求函数f(x)ex(3x2)，x2,5的最值.,f(x)3exexx2， f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3) ex(x3)(x1). 在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)0， 函数f(x)在区间2,5上单调递减， 当x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2； 当x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5.,解答,命题角度2 含参数的函数最值问题 例2 已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数. 设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值.,解答,f(x)ex2axb，则g(x)ex2axb， g(x)ex2a，x0,1，,g(x)在0,1上单调递增，故g(x)ming(0)1b； 当g(x)ming(0)12a0，,当x(x(0,1)变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：,g(x)ming(ln 2a)eln 2a2aln 2ab 2a2aln 2ab；,g(x)在0,1上单调递减， g(x)ming(1)e2ab.,对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.,反思与感悟,跟踪训练2 已知a是实数，函数f(x)x2(xa). (1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；,f(x)3x22ax. 因为f(1)32a3， 所以a0.又当a0时，f(1)1，f(1)3， 所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 3xy20.,解答,(2)求f(x)在区间0,2上的最大值.,解答,令f(x)0，即3x22ax0，,从而f(x)maxf(2)84a.,从而f(x)maxf(0)0.,类型二 由函数的最值求参数,例3 已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值.,解答,由题设知a0，否则f(x)b为常函数，与题设矛盾. 求导得f(x)3ax212ax3ax(x4)， 令f(x)0，得x10，x24(舍去). 当a0时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在1,2上的最大值，f(0)b3.,又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)， f(2)16a293，解得a2. 综上可得，a2，b3或a2，b29.,反思与感悟,已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.,解答,f(x)x2x2a，,当x(，x1)，(x2，)时，f(x)0， 所以f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增. 当0a2时，有x11x24， 所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2).,类型三 与最值有关的恒成立问题,例4 设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x). (1)求g(x)的单调区间和最小值；,解答,由题设知f(x)的定义域为(0，)，,令g(x)0，得x1， 当x(0,1)时，g(x)0，故(1，)是g(x)的单调递增区间. 因此x1是g(x)在(0，)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.,解答,即ln a0成立. 由(1)知，g(x)的最小值为1， 所以ln a1，解得0ae. 即a的取值范围为(0，e).,反思与感悟,分离参数求解不等式恒成立问题的步骤,跟踪训练4 已知函数f(x)(x1)ln xx1. 若xf(x)x2ax1恒成立，求a的取值范围.,解答,所以xf(x)xln x1， 所以xf(x)x2ax1(x0)等价于ln xxa.,当0x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0， 所以x1是g(x)的极大值点也为最大值点， 所以g(x)g(1)1. 所以ag(x)max1.,当堂训练,1,2,3,4,5,1.函数f(x)x33x(|x|1) A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值 C.无最大值，但有最小值 D.既无最大值，也无最小值,答案,解析,f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，f(x)0，所以f(x)在(1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.,1,2,3,4,5,所以y的最大值为ymaxsin ，故选C.,解析,答案,1,2,3,4,5,f(x)3ax2，f(1)3a6，a2. 当x1,2时，f(x)6x20，即f(x)在1,2上是增函数， f(x)在1,2上的最大值为f(2)223c20， c4.,3.已知函数f(x)ax3c，f(1)6，且函数f(x)在1,2上的最大值为20，则c_.,答案,解析,4,1,2,3,4,5,f(x)3x23a，令f(x)0，可得ax2， a0， 又函数在(0,1)上有最小值，,答案,解析,1,2,3,4,5,e，),答案,