2012届总复习-走向清华北大--39圆的方程.ppt

第三十九讲 圆的方程点直线圆的位置关系,回归课本 1.圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中圆心为(a,b),半径为r. 2.圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),其中圆心为 半径 若D2+E2-4F=0,则表示点 若D2+E2-4F0,则不表示任何曲线.,3.点与圆的位置关系及判断 (1)设点P到圆心的距离为d,圆半径为r,点P在圆外dr;点P在圆上d=r;点P在圆内dr2时,点P在圆外;当(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点P在圆上;当(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点P在圆内.,(3)设P(x0,y0),圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,则P在圆外x20+y20+Dx0+Ey0+F0;P在圆上x20+y20+Dx0+Ey0+F=0;P在圆内x20+y20+Dx0+Ey0+F0.,4.直线与圆的三种位置关系及公共点个数,5.直线:Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)的位置关系的判断方法有: (1)几何方法 圆心(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离 dr直线与圆相离.,(2)代数方法 由 消元,得到一元二次方程其判别式为,则 0直线与圆相交; =0直线与圆相切; 0直线与圆相离.,6.圆与圆的位置关系有五种,分别为相离外切相交内切内含. 7.两圆位置关系的判断方法: 两圆(x-a1)2+(y-b1)2=r21(r10)与(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r20)的圆心距为d,则 dr1+r2两圆相离; d=r1+r2两圆外切; |r1-r2|dr1+r2两圆相交; d=|r1-r2|两圆内切; 0d|r1-r2|两圆内含.(d=0,且r1r2时为同心圆),考点陪练 1.(改编题)当a取不同值时,由方程x2+y2+2ax+2ay-1=0可以得到不同的圆.则( ) A.这些圆的圆心都在直线y=x上 B.这些圆的圆心都在直线y=-x上 C.这些圆的圆心都在直线y=x或y=-x上 D.这些圆的圆心不在同一条直线上 答案:A,答案:D,3.以线段AB:x+y-2=0(0x2)为直径的圆的标准方程为 ( ) A.(x+1)2+(y+1)2=2 B.(x-1)2+(y-1)2=2 C.(x+1)2+(y+1)2=8 D.(x-1)2+(y-1)2=8 解析:易得AB两端点分别为(0,2),(2,0),故圆心(1,1),半径 所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2. 答案:B,解析:数形结合的方法. 如图所示,CAB=BAD=30, 直线l的倾斜角的取值范围为0,30150,180). 直线l的斜率的取值范围为 答案:C,5.已知ab0且a=2c,方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)( ) A.必在圆x2+y2=2内 B.必在圆x2+y2=2上 C.必在圆x2+y2=2外 D.以上三种情况都有可能,答案:A,评析:本题综合考查了韦达定理以及点与圆的位置关系.,类型一 求圆的方程 解题准备:无论是圆的标准方程还是圆的一般方程,都有三个待定系数,因此求圆的方程,应用三个条件来求.一般地,已知圆心或半径的条件,选用圆的标准式,否则选用一般式.另外,还有几何法可以用来求圆的方程.要充分利用圆的有关几何性质,如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”“半径,弦心距,弦长的一半构成直角三角形”等.,【典例1】求过两点A(1,4)B(3,2)且圆心在直线y=0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系. 分析欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标和圆的半径的大小,而要判断点P与圆的位置关系,只需看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系;若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内.,解解法一:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 圆心在y=0上,故b=0. 圆的方程为(x-a)2+y2=r2. 又该圆过A(1,4)、B(3,2)两点. 所以所求圆的方程为(x+1)2+y2=20.,反思感悟(1)本题解法一与解法二都使用了待定系数法,其中解法一设了圆的标准方程,解法二设了圆的一般方程,都是结合条件来求所设方程中的待定系数;解法三则应用了平面几何知识:圆心与弦的中点的连线与弦垂直.一般而言,在解析几何问题中,能用上平面几何知识,会使解题变得相对简单. (2)无论哪种解法,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量,然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系.,类型二 直线与圆的位置关系 解题准备:1.直线与圆位置关系的判定方法: (1)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小判断. 当dr时,直线与圆相离.,(2)代数法:通过直线方程与圆的方程所组成的方程组,根据解的个数来研究. 若有两组不同的实数解,即0,则直线与圆相交; 若有两组相同的实数解,即=0,则直线与圆相切; 若无实数解,即0,则直线与圆相离.,2.若直线与圆相交,则直线被圆截得的弦长 3.以圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)为切点的切线方程为x0x+y0y=r2.,【典例2】已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR). (1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交; (2)求直线l被圆C截得弦长最短长度及此时l的直线方程.,解析(1)直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不论m为任何实数,它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.两方程联立,解得交点为(3,1),又有(3-1)2+(1-2)2=525,点(3,1)在圆内部.不论m为何实数,直线l与圆恒相交.,类型三 圆与圆的位置关系 解题准备:判断圆与圆的位置关系常用几何法:设两圆圆心分别为O1O2,半径为r1、r2,则|O1O2|r1+r2相离;|O1O2|=r1+r2外切;|r1-r2|O1O2|r1+r2相交;|O1O2|=|r1-r2|内切;0|O1O2|r1-r2|内含.,【典例3】已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,试就m的取值讨论两圆的位置关系. 分析求两圆的圆心距d,判断d与R+r,R-r的关系.,(3)当r1-r2r1+r2,即m2时,两圆外离; (5)当|C1C2|r1-r2,即-2m-1时,两圆内含.,反思感悟不根据圆心距与两圆半径的和、差关系,确定两圆位置关系,或用代数法求解,造成计算繁琐. 在讨论两圆的位置关系时,一般用几何法而不用代数法,关于两圆的位置关系的讨论,应明确圆心距和两圆半径之间的和差关系.,错源一 忽视特殊情形 【典例1】已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线a过点P(2,3)且与圆M交于A,B两点,且 求直线a的方程.,错解设直线a的方程为y-3=k(x-2), 即kx-y+3-2k=0. 作示意图如图,作MCAB于C. 在直角三角形MBC中, 由点到直线的距离公式得 解得 所以直线a的方程为3x-4y+6=0.,剖析忽视了直线a的斜率不存在情形.,错源二 以偏概全 【典例2】求与圆C:(x-2)2+(y-1)2=4和直线y=0都相切且半径为1的圆的方程. 错解因为所求的圆与圆C和直线y=0都相切且半径为1,所以设其圆心为(a,1),则 整理得a2-4a-5=0,解得a=5或a=-1. 所以所求的圆的方程为(x-5)2+(y-1)2=1或(x+1)2+(y-1)2=1.,剖析错解中共有两处错误:1.所求的圆与圆C和直线y=0都相切,圆不一定在y=0的上方,也有可能在下方,所以设圆心为(a,1)是错误的;2.两圆相切不一定是外切,也有可能是内切,所以 是错误的,没有考虑内切的情形.,四种方法确定圆的方程 技法一 当圆内接一个三角形时如何确定圆的方程 【典例1】已知ABC的三个顶点坐标分别是A(4,1),B(6,-3),C(-3,0),求ABC外接圆的方程.,解题切入点这道题可从两个角度来思考:(1)待定系数法,这是一种常用的方法.也就是设出圆的一般式方程,然后确定其中未知系数,但这种方法较机械且计算量较大;(2)可以利用ABC外接圆的圆心处在三条边的垂直平分线上,所以可以先求其中两条边的垂直平分线方程,求得的交点坐标就是圆心坐标.,方法与技巧相比较而言,应当特别重视解法二的解题思路.这是一种程序化的解题过程,记住一题,则可通过这一方法解决所有类似问题.,技法二 当圆心在直线上,且已知圆上两点时如何确定圆的方程 【典例2】已知一圆经过点A(2,-3)和点B(-2,-5),且圆心C在直线l:x-2y-3=0上,求此圆的标准方程. 解题切入点圆的任何一条弦的垂直平分线都经过圆心,于是弦AB的垂直平分线必和直线l:x-2y-3=0相交于圆心.,方法与技巧当圆心在直线上时,一般可阐述如下问题:(1)该直线与任何一条弦的垂直平分线都相交于圆心;(2)该直线将圆平分为面积相等的两部分;(3)该直线与圆产生的相交弦的弦长的一半为圆半径.,技法三 当圆心在直线上,且已知圆的一条切线时如何确定圆的方程 【典例3】求经过点A(2,-1)和直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x