概率论与数理统计统计课后习题答案总主编邹庭荣主编程述汉舒兴明.pdf

1 第一章第一章第一章第一章习题习题习题习题解答解答解答解答 1解： （1） =0，1，10 ； （2） =i n i |0，1，100n ，其中n为小班人数； （3） =, , ,其中表示击中，表示未击中； （4） = （yx,）| 22 yx +的泊松分布. 若去图书馆的读者中 每个人借书的概率为(01)pp= =+=+ ， 由 421 183932 abab +=+=得， 7 1.5,. 4 ab= = 16. 服从柯西分布的随机变量的分布函数是F(x)=A+Bxarctan, 求常数A, B; 1P X = = 1 10 2 5 0 1 1 5e dx e = = 所以Y的分布为 5 5 (1) kkk P YkC pp = 225 5( ) (1),(0,1,2,3,4,5) kkk Ceek =； （2） 0202 5 5 1101() (1)0.5167P YP YCee = = =. 21. 设随机变量)4, 5( NX，求使： （1）903. 0=XP. 15 解：由)4, 5( NX得 5 (0,1) 2 X N （1） 555 ()0.903 222 X P XP XP得，50.99PX= = = 24. 测量某一目标的距离时，产生的随机误差(cm)X服从正态分布)400, 0(N，求在3 次测量中至少有1次误差的绝对值不超过30 cm的概率. 解：由(0,400)XN?得(0,1) 20 X N? 设Y在3次测量中误差的绝对值不超过30 cm的次数，则(3, )YBp? 其中30 3030 1.51.5pP XPXPX=，即00.1P Y= 00 0.59870.40130.1 n n C，解之得，3n 必须进行 3 次测量，才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10 mm的概率大于 0. 9. 26. 参加某项综合测试的 380 名学生均有机会获得该测试的满分 500 分. 设学生的得分 )( 2 ，NX，某教授根据得分X将学生分成五个等级：A级：得分)(+X；B 级：)(+ + = 0, 0 0, ) 1( 2 )( 2 x x x xf 求XYln=的密度函数. 解：由于 y=lnx 是一个单调函数，其反函数为 y ex =， .)(),00(max ,)(),00(min +=+= =+= ff ff 利用公式得 Y=lnX 的密度函数为 )()()(= yy XY eepyp ).( , 1 2 2 + = 其它 求常数C及边缘分布密度函数. 解：考查二维随机变量密度函数的性质及密度函数与边缘密度函数的关系 由()d d1f xyx y + = ，得： (1) 00 d d1 x y Cxex y + + = 所以 C=1 边缘密度公式：( )()d Y fyf xyx + =， ( )()dy X fxf xy + =， 带入得： = 0,0 0, )( x xe xf x X , + = 0,0 0, ) 1( 1 )( 2 y y y yfY 13. 设二维随机变量（X，Y）的密度函数为 , 0 20, 10 , 3 1 ),( 2 + = 其它 yxxyx yxf （1） 求X和Y的边缘密度，并判断X和Y是否独立； （2）求1+YXP 解： （1）与上题类似，判断是否独立，看( )( )( , ) xY fx fyf x y=是否成立。 （2） 求区域上的概率。即高等数学上求二重积分。 1+YXP= 12 2 01 1 (+xy)dydx 3 x x =65/72 14. 独立投掷一枚均匀的骰子两次，记B、C为两次中各出现的点数，求一 元二次方程0 2 =+CBxx有实根的概率和有重根的概率. 解： 方程有实根即 22 404BCBC， 参看选择第二题， 样本点数为19， 故P=19/36. 23 方程有重根即 22 404BCBC=，样本点为 2 个，P=2/36. 15. 证明二维正态随机变量),(YX相互独立的充要条件是0=. 证明：参见教材 61 页例 3. 16. 设G是由直线0=y，8=+ yx及0=x所围成的三角形区域，二维随机 变量),(YX在G上服从均匀分布，求： (1) ),(YX的联合概率密度； （2）,X Y的边缘分布密度函数; (3) 条件密度 | ( | ) Y X fy x和 | ( | ) X Y fx y . 解： （1）由均匀分布的定义（64页例6） ，D 为平面上面积为 A 的有界区域. = 其它， ， ， 0 )( 1 )( Dyx A yxf 求区域的面积A=32，所以() = 其他0 80, 80 32 1 , xyx yxf （2）边缘密度公式：( )()d Y fyf xyx + =， ( )()dy X fxf xy + =，将密 度函数带入得 ( ) = e,0 ( ) 0,0 y Y y fy y = 式中的， 1 L与 2 L的连接方式为（1）串联； （2）并联； （3）留 2 L备用. 若系 统L的寿命为Z，试求Z的分布密度，若2 . 0,1 . 0=，试求10P Z . 解：(1) 串联的情况。 由于当L1和L2中有一个损坏时，系统L就停止工作，所以这时L的寿命为 Z = min(X, Y) 不难求得 X与分布函数分别为 1 e,0 ( ) 0,0 x X x Fx x = 1 e,0 ( ) 0,0 y Y y Fy y = 于是Z = min(X, Y)的分布函数 ( )min(, )1min(, ) Z FzP ZzPX YzPX Yz= 25 1,1 P Xz YzP Xz P Yz= = ()()11( ) 1( ) XY FzF z= () 1 e,0 0,0 z z z + = Z = min(X, Y)的密度函数 () ()e,0 ( ) 0,0 z Z z fz z + + = (2) 并联的情况。 由于当且仅当 L1和 L2都损坏时，系统 L 才停止工作，所以这时 L 的寿命为 Z = max(X, Y) 其分布函数 ( )max(, ) Z FzP ZzPX YzP Xz P Yz= ( )( ) XY Fz F z= (1 e)(1 e),0 0,0 zz z z = 于是 Z = max(X, Y)的密度函数 () ee()e,0 ( ) 0,0 zz Z z fz z + + = (3)备用的情况。 由于当 L1损坏时才启用 L2，因此系统 L 的寿命是 L1和 L2两者寿命之和， 即有 Z = X + Y 于是，当 z0 时 Z 的密度函数为 () 0 ( )()( ) z z yy ZXY fzfzy fy dyeedy + = () 0 () z zyzz eedyee = + 当0z 时( )0 Z fz =，所以 (),0 ( ) 0,0 zz Z eez fz z += 第四章习题解答 1设随机变量XB（30， 6 1 ） ，则E（X）( D ). 26 A. 6 1 ； B. 6 5 ； C. 6 25 ； D.5. 1 ()305 6 E Xnp= 2已知随机变量 X 和 Y 相互独立，且它们分别在区间-1，3和2，4上服 从均匀分布，则 E(XY)=（ A ）. A. 3； B. 6； C. 10； D. 12. ()1( )3E XE Y= 因为随机变量X和Y相互独立所以()() ( )3E XYE X E Y= 3设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为 0.4，则X2的数学期望E(X 2)_18.4_ (10,0.4)()4()2.4XBE XD X=? 22 ()( ()()18.4E XE XD X=+= 4某射手有3发子弹，射一次命中的概率为 3 2 ，如果命中了就停止射击， 否则一直射到子弹用尽设表示X耗用的子弹数求E（X）. 解： X 1 2 3 P 2/3 2/9 1/9 22113 ()23 3999 E X=+ = 5设X的概率密度函数为 ,01 ( )2,12 0, xx f xxx = = = = = 设发电量为Y，依题意 2000.95PXY= 即 9000 9000 200 0.95 900900 Y X P = 32 9000 200 ()0.95 900 9000 200 1.65 900 1809900 Y Y Y = = 4. 某车间有 150 台同类型的机器，每台机器出现故障的概率都是 002，设各台机器的 工作是相互独立的，求机器出现故障的台数不少于 2 的概率 解：设X表示机器出故障的台数，则(150,0.02)XB? 2102 03323 1 2.942.942.94 10.5832 (0.5832) 0.7201 P XPX X P P X = = = 只要 25 1 0.9250n n 中心极限定理 0.10.9 0.10.9 0.10.1 0.1 0.1 2() 10.9 0.1 1.6568 X Pp n P Xnp nXnpn P XnpP npqnpqnpq n npq n n npq 8. 某螺丝钉厂的废品率为 0.01，今取 500 个装成一盒问废品不超过 5 个的概率是多 少？ 解：设X表示废品数，则(500,0.01)XB? 0.01,5,4.95pnpnpq= 05555 05 4.954.954.95 (0)( 2.25)0.4878 X PXP = = = 习 题 七 34 1.解：因为0, XU?，() 2 E X =， 由于 11 mA=，即 2 X =，解之得，的矩估计量为$2X=. 2.解：正态分布的密度函数为 2 2 () 2 1 ( ) 2 x f xe = 似然函数： 2 2 2 2 1 () () 2 22 2 1 1 ( )(2) 2 n i i i n x x n i Lee = = = 所以， 2 2 2 1 () ln ( )ln(2) 22 n i i nx L = = 似然方程组： 2 1 2 224 1 ln1 ()0 ln11 ()0 22 n i i n i i L x Ln x = = = = += 解之得，所以和 2 的极大似然估计分别是 22 2 1 1 ,() n i i XxXB n = = () Xtt P XtP 似然函数: 1 1 11 ( ) n i ii x x n n i Lee = = = ， 所以， 1 ln ( )ln n i i x Ln = = ， 似然方程： 1 2 ln ( ) 0 n i i x Ln = = += ， 解之得，的极大似然估计为$ 1 1 n i i xx n = = . (2) 1 (),0, ( ) 0,0 x xex f x x = 已知 似然函数： 1 11 11 ( )()() () n i ii nnx xn ii ii Lxexe = = = ， 所以， 11 ln ( )lnln(1)ln() nn ii ii Lnnxx = =+ ， 似然方程： 1 ln ( ) n i i Ln x = = 解之得，的极大似然估计为$ 1 n i i n x = = . （3） 1 (1),1,2,. x P Xxx =L 似然函数： 1 1 1 ( )(1)(1) n i ii nxn xn i L = = = ， 所以， 1 ln ( )ln()ln(1) n i i Lnxn = =+ ， 36 似然方程： 1 ln ( ) 0 1 n i i xn Ln = = ， 解之得，的极大似然估计为$ 1 11 n i i X x = = . 5.解：由于( )XP，所以(),() ii E XD X=，且 1, , n XXL之间相互独立， 从而 2 ( ),()E xE s=， 对于任意0,1， 22 (1)( )(1) ()(1)ExsE xE s +=+=+=， 所以 2 (1)xs+也是的无偏估计. 6.解：因为总体均值为()E X=，总体方差为 2 ()D X=， 由于样本均值是总体均值的无偏估计，样本方差是总体方差的无偏估计， 所以 12 ()()E xE x=， 222 12 ()()E sE s=， 1122112212 121212 ( )() ( )() n xn xn E xn E xnn E xE nnnnnn + = + 222222 22 1122112212 121212 (1)(1)(1) ()(1) ()(1)(1) ()() 222 w nsnsnE snE snn E sE nnnnnn + = + 因此， 2 , w x s分别是总体均值，总体方差 2 的无偏估计量. 7.解：由已知， 2 ( ),( ) ii E xD x=，且 1, , n xxL之间相互独立， 所以， 2222 ()( )( ), iii E xD xE x=+=+ 2 11 ()( ) (), iiii E x xE x E x + = 11111 22222 11111 11111 () )(2)( (2) nnnnn iiiiiiiiii iiiii E CxxE CxxxxE Cxxxx + = =+=+ 111 2222222 11 111 ()2()()(1)()2(1)(1)() nnn iiii iii CE xE xxE xC nnn + = =+=+ 22 2(1)2 (1)CnC n=， 若使 1 2 1 1 () n ii i Cxx + = 为 2 的无偏估计，只要 22 2 (1)C n=，即 1 2(1) C n = . 37 8.解： （1）由于 16 1 1 1.1531,0.01,16,0.05 16 i i xxn = = ， (0,1) / X uN n = 对于给定的0.05，查附表可确定 0.05/2 u，使 0.05/2 ()1 0.050.95P uu= =，即 0.05/20.05/2 0.95P XuXu nn += ， 因此的 0.95 置信区间是 () 0.05/2 0.01 /(1.15311.96)(1.1483,1.1581) 4 xun=. （2） 16 22 1 1 ()0.000133,0.0115 15 i i sxxs = = ， 取 (1) / x tt n sn =， 对于给定的0.05，查附表可确定 0.05/2 t，使 0.05/2 ()1 0.050.95P tt= =，即 0.05/20.05/2 0.95 ss P XttXt nn += ， 因此的 0.95 置信区间是 () 0.05/2 0.0115 /(1.15312.1314)(1.1470,1.1592) 4 xtSn=. 9. 由于 1010 22 11 11 457.5,()1212.5,34.82,10,0.05 109 ii ii xxsxxsn = = ， 取 (1) / x tt n sn =， 对于给定的0.05，查附表可确定 0.05/2 t，使 0.05/2 ()1 0.050.95P tt= =，即 0.05/20.05/2 0.95 ss P XttXt nn += ， 因此的 0.95 置信区间是 () 0.05/2 34.82 /(457.52.2622)(431.24,483.76) 3 xtSn=. 10. 由于7.77,1.85,2500,0.05xsn=， 38 取 (1) / x tt n sn =， 对于给定的0.05，查附表可确定 0.05/2 t，使 0.05/2 ()1 0.050.95P tt= =，即 0.05/20.05/2 0.95 ss P XttXt nn += ， 因此的 0.95 置信区间是( ) 0.05/20.025 1.85 /(7.77(2499) 50 xtSnt=. 11. 由于11,9,0.05sn=， 2 2 ) 1( Sn ) 1( 2 n 由 2 22 1/2/2 2 (1) (1)(1)1 nS Pnn = ， 因而 2 的 0.95 置信区间为 2222 22 00250.975 (1)(1)8 118 11 ,(55.2055,444.0978) (8)(8)17.5345 2.1797 nSnS = ， 从而的 0.95 置信区间为( 55.2055,