概率论与数理统计修订版复旦大学出版社第4章习题详解.pdf

1 习题四习题四 1.设随机变量 X 的分布律为 X 1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求 E（X） ，E（X2） ，E（2X+3）. 【解】【解】(1) 11111 ()( 1)012; 82842 E X (2) 22222 11115 ()( 1)012; 82844 E X (3) 1 (23)2 ()3234 2 EXE X 2.已知 100 个产品中有 10 个次品，求任意取出的 5 个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】【解】设任取出的 5 个产品中的次品数为 X，则 X 的分布律为 X 0 1 2 3 4 5 P 5 90 5 100 C 0.583 C 14 1090 5 100 C C 0.340 C 23 1090 5 100 C C 0.070 C 32 1090 5 100 C C 0.007 C 41 1090 5 100 C C 0 C 5 10 5 100 C 0 C 故 ()0.58300.34010.07020.00730405E X 0.501, 5 2 0 ()() ii i D XxE XP 222 (00.501)0.583(1 0.501)0.340(50.501)0 0.432. 3.设随机变量 X 的分布律为 X 1 0 1 P p1 p2 p3 且已知 E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求 P1，P2，P3. 【解】【解】因 123 1PPP, 又 12331 ()( 1)010.1E XPPPPP , 2222 12313 ()( 1)010.9E XPPPPP 由联立解得 123 0.4,0.1,0.5.PPP 4.袋中有 N 只球，其中的白球数 X 为一随机变量，已知 E（X）=n，问从袋中任取 1 球为白 球的概率是多少？ 【解】记 A=从袋中任取 1 球为白球，则 2 0 ( ) | N k P AP A Xk P Xk 全概率公式 00 1 1 (). NN kk k P XkkP Xk NN n E X NN 5.设随机变量 X 的概率密度为 f（x）= ., 0 , 21,2 , 10, 其他 xx xx 求 E（X） ，D（X）. 【解】【解】 12 2 01 ()( )dd(2)dE Xxf xxxxxxx 2 1 3 32 0 1 1 1. 33 x xx 12 2232 01 7 ()( )dd(2)d 6 E Xx f xxxxxxx 故 22 1 ()() (). 6 D XE XE X 6.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量 的数学期望. （1） U=2X+3Y+1； （2） V=YZ4X. 【解】【解】(1) (231)2 ()3 ( ) 1E UEXYE XE Y 2 5 3 11 144. (2) 4 4 ()E VE YZXE YZE X ,( )( )4 ()Y ZE Y E ZE X因独立 11 84 568. 7.设随机变量 X， Y 相互独立，且 E（X） =E （Y） =3， D（X） =12，D（Y） =16， 求 E （3X2Y） ， D（2X3Y）. 【解】【解】(1) (32 )3 ()2 ( )3 3 2 33.EXYE XE Y (2) 22 (23 )2()( 3)4 129 16192.DXYD XDY 8.设随机变量（X，Y）的概率密度为 3 f（x，y）= ., 0 ,0, 10, 其他 xyxk 试确定常数 k，并求 E（XY）. 【解】【解】因 1 00 1 ( , )d ddd1, 2 x f x yx yxk yk 故 k=2 1 00 ()( , )d dd2 d0.25 x E XYxyf x yx yx xy y . 9.设 X，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 fX（x）= ;, 0 , 10,2 其他 xx fY（y）= (5) e,5, 0,. y y 其他 求 E（XY）. 【解】【解】方法一：先求 X 与 Y 的均值 1 0 2 ()2 d, 3 E Xxx x 5 (5 ) 500 ()ed5eded516. z y yzz E Yyyzzz 令 由 X 与 Y 的独立性，得 2 ()()( )64. 3 E XYE XE Y 方法二：利用随机变量函数的均值公式.因 X 与 Y 独立，故联合密度为 (5) 2 e,01,5, ( , )( )( ) 0, y XY xxy f x yfxfy 其他 于是 11 (5)2(5) 5005 2 ()2 ed d2ded64. 3 yy E XYxyxx yxxyy 10.设随机变量 X，Y 的概率密度分别为 fX（x）= ; 0, 0 , 0,2 2 x x x e fY（y）= . 0, 0 , 0,4 4 y y y e 求（1） E（X+Y）;（2） E（2X3Y2）. 【解】【解】 22-2 0 00 ()( )d2edee d xxx X Xxfxxxxxx 2 0 1 ed. 2 x x 4 0 1 ()() d4 ed y. 4 y Y E Yyfyyy 2224 2 0 21 ()( )d4ed. 48 y Y E Yy fyyyy 从而(1) 113 ()()( ). 244 E XYE XE Y 4 (2) 22 115 (23)2 ()3 ()23 288 EXYE XE Y 11.设随机变量 X 的概率密度为 f（x）= . 0, 0 , 0, 22 x xcx xk e 求（1） 系数 c;（2） E（X）;（3） D（X）. 【解】【解】(1) 由 2 2 2 0 ( )ded1 2 k x c f xxcxx k 得 2 2ck. (2) 2 2 2 0 ()( )d( )2ed k x E Xxf xxxk xx 2 2 22 0 2ed. 2 k x kxx k (3) 2 2 2222 2 0 1 ()( )d( )2e. k x E Xx f xxxk x k 故 2 22 22 14 ()() (). 24 D XE XE X kkk 12.袋中有 12 个零件，其中 9 个合格品，3 个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取 出后不放回） ，设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量 X，求 E（X）和 D（X）. 【解】【解】设随机变量 X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则 X 的可能取值为 0，1，2， 3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知 9 00 . 7 5 0, 12 P X 39 10.204, 1211 P X 329 20 . 0 4 1, 1 21 11 0 P X 3219 30.005. 1211 109 P X 于是，得到 X 的概率分布表如下： X 0 1 2 3 P 0.750 0.204 0.041 0.005 由此可得()0 0.750 1 0.2042 0.041 3 0.0050.301.E X 22222 222 ()0750 10.20420.041 30.0050.413 ()() ()0.413(0.301)0.322. E X D XE XE X 13.一工厂生产某种设备的寿命 X（以年计）服从指数分布，概率密度为 f（x）= . 0, 0 , 0, 4 1 4 x x x e 为确保消费者的利益， 工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备， 工厂获利 100 元，而调换一台则损失 200 元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】【解】厂方出售一台设备净盈利 Y 只有两个值：100 元和200 元 5 / 41 / 4 1 1 1 0 01ede 4 x P YP Xx 1 / 4 20011e.P YP X 故 1/41/41/4 ( )100 e( 200) (1 e)300e20033.64E Y (元). 14.设 X1，X2，Xn是相互独立的随机变量，且有 E（Xi）=，D（Xi）=2，i=1，2， n，记 n i i SX n X 1 2 , 1 ，S2= n i i XX n 1 2 )( 1 1 . （1） 验证)(XE=，)(XD = n 2 ； （2） 验证 S2=)( 1 1 1 2 2 n i i XnX n ； （3） 验证 E（S2）=2. 【证】【证】(1) 111 1111 ()()(). nnn iii iii E XEXEXE Xnuu nnnn 22 111 111 ()() nnn iiii iii D XDXDX XDX nnn 之间相互独立 2 2 2 1 .n nn (2) 因 22 222 1111 ()(2)2 nnnn iiiii iiii XXXXXXXnXXX 22 22 11 2 nn ii ii XnXX nXXnX 故 2 22 1 1 () 1 n i i SXnX n . (3) 因 2 (),() ii E Xu D X,故 2222 ()()(). iii E XD XEXu 同理因 2 (),()E Xu D X n ,故 2 2 2 ()E Xu n . 从而 6 22 222 11 11 ()() ()() 11 nn ii ii E sEXnXEXnE X nn 2 2 1 2 2222 1 ()() 1 1 (). 1 n i i E XnE X n nunu nn 15.对随机变量 X 和 Y，已知 D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=1, 计算：Cov（3X2Y+1，X+4Y3）. 【解】【解】Cov(321,43)3 () 10Cov(, ) 8 ( )XYXYD XX YD Y 3 2 10 ( 1) 8 328 (因常数与任一随机变量独立，故 Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= 22 1 ,1, 0,. xy 其他 试验证 X 和 Y 是不相关的，但 X 和 Y 不是相互独立的. 【解】【解】设 22 ( , )|1Dx yxy. 22 1 1 ()( , )d dd d xy E Xxf x yx yx x y 21 00 1 =cosd d0. rr r 同理 E(Y)=0. 而 Cov (,)( ) ()( ,) d dX YxE xyE Yfx yx y 22 21 2 00 1 11 d dsincosd d0 xy xy x yrr r , 由此得0 XY ,故 X 与 Y 不相关. 下面讨论独立性，当|x|1 时， 2 2 1 2 11 12 ( )d1. x X x fxyx 当|y|1 时， 2 2 1 2 11 12 ( )d1 y Y y fyxy . 显然( )( )( , ). XY fxfyf x y 7 故 X 和 Y 不是相互独立的. 17.设随机变量（X，Y）的分布律为 1 0 1 1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 验证 X 和 Y 是不相关的，但 X 和 Y 不是相互独立的. 【解】【解】联合分布表中含有零元素，X 与 Y 显然不独立，由联合分布律易求得 X，Y 及 XY 的 分布律，其分布律如下表 X 1 0 1 P 3 8 2 8 3 8 Y 1 0 1 P 3 8 2 8 3 8 XY 1 0 1 P 2 8 4 8 2 8 由期望定义易得 E（X）=E（Y）=E（XY）=0. 从而 E(XY)=E(X) E(Y),再由相关系数性质知 XY=0, 即 X 与 Y 的相关系数为 0，从而 X 和 Y 是不相关的. 又 331 111,1 888 P XP YP XY 从而 X 与 Y 不是相互独立的. 18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0） ， （0，1） ， （1，0）为顶点的三角形区域上服从均 匀分布，求 Cov（X，Y） ，XY. 【解】【解】如图，SD= 1 2 ，故（X，Y）的概率密度为 题 18 图 2,( , ), ( , ) 0, x yD f x y 其他. X Y 8 ()( , )d d D E Xxf x yx y 11 00 1 d2d 3 x xxy 22 ()( , )d d D E Xx f x yx y 11 2 00 1 d2d 6 x xxy 从而 2 22 111 ()() (). 6318 D XE XE X 同理 11 ( ),( ). 318 E YD Y 而 11 00 1 ()( , )d d2d dd2d. 12 x DD E XYxyf x yx yxy x yxxy y 所以 1111 Cov(, )()()( ) 123336 X YE XYE XE Y . 从而 1 Cov(, )1 36 2()( )11 1818 XY X Y D XD Y 19.设（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= 1 sin(),0,0, 222 0. xyxy , 其他 求协方差 Cov（X，Y）和相关系数 XY. 【解】【解】 /2/2 00 1 ()( , )d ddsin()d. 24 E Xxf x yx yxxxyy 2 22 22 00 1 ()dsin()d2. 282 E Xxxxyy 从而 2 22 ()() ()2. 162 D XE XE X 同理 2 ( ),( )2. 4162 E YD Y 又 /2/2 00 ()dsin()d d1, 2 E XYxxyxyx y 故 2 4 C o v (,)()()()1. 2444 X YE X YE XE Y 9 2 22 222 4 Cov(, )(4)8 164 . 832832()( ) 2 162 XY X Y D XD Y 20.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为 41 11 ，试求 Z1=X2Y 和 Z2=2XY 的相关 系数. 【解】【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1. 从而 1 2 ()(2 )()4 ( )4Cov(, )1 4 44 1 13, ()(2)4 ()( )4Cov(, )4 1 44 14, D ZD XYD XD YX Y D ZDXYD XD YX Y 12 Cov(,)Cov(2 ,2)Z ZXYXY 2Cov(,)4Cov( ,)Cov(, )2Cov( , ) 2 ()5Cov(, )2 ( )2 1 5 1 2 45. X XY XX YY Y D XX YD Y 故 12 12 12 Cov(,)55 13. 26()()134 Z Z Z Z D ZD Z 21.对于两个随机变量 V，W，若 E（V2） ，E（W2）存在，证明： E（VW） 2E（V2）E（W2）. 这一不等式称为柯西许瓦兹（CouchySchwarz）不等式. 【证】【证】令 2 ( ) ,.g tE VtWtR 显然 2222 0( )() 2g tE VtWE VtVWt W 222 2,.E Vt E VWtE WtR 可见此关于 t 的二次式非负，故其判别式 0， 即 222 02 ()4 ()()E VWE WE V 222 4 ()()().E VWE VE W 故 222 ()()().E VWE VE W 22.假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从参数 =1/5 的指数分布.设备定时开机，出现 故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便关机.试求该设备每次开机无故障 工作的时间 Y 的分布函数 F（y）. 【解】【解】设 Y 表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间 10 XE(),E(X)= 1 =5. 依题意 Y=min(X,2). 对于 y1=P=0, PX=1,Y=1=PU1,U1 1 1 d1 11 44 x PU 2 1 d1 1,11,11 44 x P XYP UUP U . 故得 X 与 Y 的联合概率分布为 ( 1, 1)( 1,1)(1, 1)(1,1) (, ) 111 0 424 X Y . (2) 因 22 ()() ()D XYE XYE XY,而 X+Y 及（X+Y）2的概率分布相应 为 202 111 424 XY , 2 04 () 11 22 XY . 从而 11 ()( 2)20, 44 E XY 2 11 () 042, 22 E XY 所以 22 ()() ()2.D XYE XYE XY 31.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= x e 2 1 ， （x+） (1) 求 E（X）及 D（X） ； （2） 求 Cov(X,|X|),并问 X 与|X|是否不相关？ （3） 问 X 与|X|是否相互独立，为什么？ 【解】(1) | | 1 ()ed0. 2 x E Xxx 2| |2 0 1 ()(0)ed0e d2. 2 xx D Xxxxx (2) Cov(,|)(|)()(|)(|)XXE XXE XE XE XX | | 1 |ed0, 2 x x xx 所以 X 与|X|互不相关. (3) 为判断|X|与 X 的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域 x+中的子区间（0,+）上给出任意点 x0，则有 0000 |.xXxXxXx 所以 00 0| 1.PXxP Xx 15 故由 00000 ,|P XxXxPXxPXxP Xx 得出 X 与|X|不相互独立. 32.已知随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N（1，32）和 N（0，42） ，且 X 与 Y 的相关系数 XY=1/2，设 Z= 23 YX . （1） 求 Z 的数学期望 E（Z）和方差 D（Z） ； （2） 求 X 与 Z 的相关系数 XZ； （3） 问 X 与 Z 是否相互独立，为什么？ 【解】【解】(1) 1 ( ). 323 XY E ZE ( )2Cov, 3232 XYX Y D ZDD 1111 9162Cov(, ), 9432 X Y 而 1 Cov(, )()( )3 46 2 XY X YD XD Y 所以 1 ( )1 463. 3 D Z (2) 因 11 Cov(, )Cov,Cov,Cov, 3232 XY X ZXX XX Y 119 ()( 6)3=0, 323 D X - 所以 Cov(, ) 0. ()( ) XZ X Z D XD Z (3) 由0 XZ ，得 X 与 Z 不相关.又因 1 ,3 ,(1,9) 3 ZNXN ，所以 X 与 Z 也 相互独立. 33.将一枚硬币重复掷 n 次， 以 X 和 Y 表示正面向上和反面向上的次数.试求 X 和 Y 的相关系 数 XY . 【解】由条件知 X+Y=n，则有 D（X+Y）=D（n）=0. 再由 XB(n,p),YB(n,q)，且 p=q= 1 2 , 从而有 ()( ) 4 n D XnpqD Y 16 所以 0()()( )2()( ) XY D XYD XD YD XD Y 2, 24 XY nn 故 XY =1. 34.设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 1 0 1 0 1 0.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.20 试求 X 和 Y 的相关系数 . 【解】【解】由已知知 E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而 XY 的概率分布为 YX 1 0 1 P 0.08 0.72 0.2 所以 E（XY）=0.08+0.2=0.12 Cov(X,Y)=E(XY)E(X) E(Y)=0.120.6 0.2=0 从而 XY =0 35.对于任意两事件 A 和 B，0P(A)1，0P(B)1,则称 = )()()()( )()( BPAPBPAP BPAPABP 为事件 A 和 B 的相关系数.试证： （1） 事件 A 和 B 独立的充分必要条件是 =0； （2） |1. 【证】【证】 （1）由 的定义知，=0 当且仅当 P(AB)P(A) P(B)=0. 而这恰好是两事件 A、B 独立的定义，即 =0 是 A 和 B 独立的充分必要条件. (2) 引入随机变量 X 与 Y 为