电动力学第一章习题解答.pdf

华中师大 陈义成 - 1 - 第一章 习题解答 第一章 习题解答 11 11 根据算符的微分性质与矢量性质，推导下列公式： （1）()()()()() ? iiiA BBABAABAB= + + （2） 2 1 ()() 2 ? iAAAAA = 解解：以 A ? 表示仅对矢量 ? A微分， ? B 表示仅对矢量 ? B微分。由的微分性质： ()()() ? ? iii BA A BA BA B=+ 由附录（I.28）,根据的矢量性质，有 ()()() ? ? ii BBB A BABAB= + ()()()() ? ? iii AAAA A BB ABABA= + 略去微分算子的下标，得 ()()()()() ? iiiA BBABAABAB= + + 令上式中 ? AB=，得 2 2()() ? iAAAAA = + 即 2 1 ()() 2 ? iAAAAA = 或用矢量性质，并注意只对括号内的一个 ? A求微分，则有 2 11 ()()()() 22 ? ? iiiAAA AAAAAA = 1.2 1.2 设u是空间坐标x、y、z的函数，证明 d ( ) d f f uu u =， d ( ) d ? ? ii A A=uu u ， d ( ) d ? ? A A= uu u 证证：( )( )( )( )f uf uf uf u xyz ? =+ ijk d( ) dd( ) dd( ) d dddddd f uuf uuf uu uxuyuz ? =+ijk 式中 ? i、 ? j、k ? 分别是沿x、y、z方向的单位矢量。此即 d ( )( ) d f uf uu u = 另外 华中师大 陈义成 - 2 - ( )( )( )( ) xyz uA uA uA u xyz ? i =+ A d( ) d( )d( ) ddd y xz A u A uA uuuu uxuyuz =+ d d ? i=u u A 所以 d ( ) d ? ? ii A A=uu u 而 ( ) yy xxzz AA AAAA u yzzxxy ? =+ Aijk dd dddd dddddd yy xxzz AA AAAAuuuuuu uyuzuzuxuxuy ? =+ ijk d d u u ? = A 1.3 1.3 设 222 ()()()rxxyyzz=+ 为源点 x ? 到场点x ? 的距离,r ? 的方向 规定为从源点指向场点 (1)证明下列结果， 井体会对源变数求微商( xyz eee xyz =+ ? ) 与对场变 数求微商() xyz eee xyz =+ ? 的关系 r rr r = = ? ， 3 0 r r = ? ， 33 0 (0) rr r rr = = ? (2)求r ? ,r ? ,其中r ? 为位置矢量 解： 解： xyz rrr r xyz ? =+ eee xyz xxyyzz rrr ? =+eee r ? = r xyz rrr r xyz ? =+ eee xyz xxyyzz rrr ? =eee r ? = r 所以 rr r ? = r 而 3 11 0 rrr ? = = r 华中师大 陈义成 - 3 - 即 3 0 r ? = r 2 3 11 rrr ? ii = = r 在球坐标系中 222 2222 111111 ( 1)0rr rrrr rrrrrr = 同理 2 3 1 0 rr ? i = r ， 33 0 rr ? i i = rr （2）3 xyz r xyz ? i =+= 0 xyz zyxzyx r yzzxxy ? =+= eee 1.4 1.4 已知 2 0 1 2 EEE ? = TI，其中 I为单位张量，试证明 0 ()()EEEE ? ii = T 证明： 证明： 2 0 1 () 2 EEE ? iiiTI = 22 0 11 ()() 22 E EEEEE ? ? iiii =+ II 因为 I是单位张量，有 22 EEi =I，并考虑到0i =I，上式可写成 2 0 1 ()() 2 E EEEE ? ? iiiT =+ 利用矢量分析公式题 1.1(2)的结果： 2 1 ()() 2 ? i =AAAAA 上式右边第二、三项可合写成()EE ? ，于是 0 ()()EEEE ? iiT = 1.5 1.5 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 华中师大 陈义成 - 4 - ( )( , ) d V p tx t x V= ? 利用电荷守恒定律0J t += ? 证明p ? 的变化率为 d ( , )d d V p J x tV t = ? ? ? 证明证明：利用电荷守恒定律，有 dd (, )d(d dd VV p x t xVJ xV tt ? ? ? i= ) 由矢量公式()() ? iii= +fff，有 d (d()d d x VV p J xVx Jx JV t ? iii = ) ddd xx SVV x JSJVJV ?i ? =+= 同理 d d d y y V p JV t = ， d d d z z V p JV t = 所以 d d d V p JV t ? ? = 1.6 1.6 若m ? 是常矢量，证明除0R ? =点外，矢量 3 mR A R ? ? ? =的旋度等于标量 3 m R R ? ?i =的梯度的负值，即A ? =，其中R ? 为坐标原点到场点的距离，方向 由原点指向场点。 证明： 证明： 由公式 ()()()()() ? ? iiii=+ fggfg ffgf g ()()()()() ? ? iii= + +f gfgfggfgf 注意到m ? 是常矢量和0R ? 时， 3 0 R R ? i= 3333 ()() RRRR Ammmm RRRR ? ? ? iii = = 华中师大 陈义成 - 5 - 3333 ()() RRRR mmmm RRRR ? ? iii = += 所以 A ? = 1.7 7 半径为 0 R的均匀带电球，电量为 0 q。试从球内、外电场的表达式计算电场的 散度和旋度，并说明结果的物理意义。 解 解：带电球内： 0 1 3 00 4 q Er R ? ? = 00 1 33 00000 3 44 qq Er RR ? ? ii = 0 1 3 00 0 4 q Er R ? ? = = 带电球外： 0 2 3 0 4 q r E r ? ? = 0 2 3 0 0 4 qr E r ? ? ii = 0 2 3 0 0 4 qr E r ? ? = 从计算结果可看出，无论是球内或者是球外，电场的旋度都为零，这说明静电场是无旋 的，故可引进电势的概念。 球外没有电荷存在，场强散度为零，球内有电荷存在，场强散度不为零，可见电荷 是电场的源。 1.8 1.8 按照库仑定律，静电场 3 0 1() ( )d 4 V x r E xV r ? ? ? ? = ，证明它的散度和旋 度分别为 0 ( )E x ? ? i = ，( )0E x ? ? = 证明： 证明： （1） 3 0 1() ( )d 4 V x r E xV r ? ? ? ? ii = 华中师大 陈义成 - 6 - 3 0 1 ()d 4 V r xV r ? ? i = 2 0 11 ()d 4 V xV r ? = 因为 21 4()xx r ? =，所以 00 1( ) ( )() ()d V x E xxxxV ? ? ? i = （2） 3 0 1() ( )d 4 V x r E xV r ? ? ? ? = 3 0 1 ()d 4 V r xV r ? ? = 因为 3 0 r r ? =，所以( )0E x ? ? =。 1.9 1.9 在无介质的空间中写下麦克斯韦方程组， （a）假如所有源电荷符号同时变化， 问E ? 和B ? 将如何改变？(b)假如系统的空间坐标反号：xxx= ? ，问电荷密度、电 流密度和E ? 、B ? 将如何变化？(c)倘若系统的时间反演一下：ttt= ，问，J ? ， E ? ，B ? 将如何变化？ 解 解 在SI单位制下，麦克斯韦方程组为 0 E = ? i, B E t = ? ? 0B= ? i, 0 2 1E BJ ct =+ ? ? (a) 电 荷 共 轭 变 换 下 ，ee , 但 = ， ttt = 故 = ，JJJ= ? .按厍仑定律和毕奥-萨伐尔定律，在电荷共轭变换下， 电磁场应该反号： ( , )( , )E r tE r t= ? ? ( , )( , )B r tB r t= ? ? 于是 0 E = ? i， B E t = ? ? 华中师大 陈义成 - 7 - 0B= ? i， 0 2 1E BJ ct =+ ? ? (b)空间反射变换为 rrr= ? , = tt , eee= 显然此时有 ( , )( , )r tr t= ? JJJ= ? 由电荷守恒定律，再写出变换后不变形的麦克斯韦方程，仿(a )做法，可证明 ( , )( , )E r tE r t= ? ? ( , )( , )B r tB r t= ? ? (c )时间反演变换下，有 ttt = , = eee= 所以 = ，JJ = ? ，仿前可证明 ( , )( , )E r tE r t= ? ? ,( , )( , )B r tB r t= ? ? 1.10 1.10 一个半径为 0 R，介电常数为的介质球置于均匀外电场 0 E ? 中，证明感应面 电荷密度为: 0 00 0 ( )3cos 2 E = + 假如该球以角速度绕 0 E ? 方向旋转，问是否产生磁场？若不能，说明什么？若能，画 出磁力线 解解：球内电场为 0 0 0 3 2 EE = + ? 因而电介质的极化强度 00 00 0 3() () 2 PEE = + ? 介质球表面的束缚电荷面密度为 00 0 0 3() ( )cos 2 n PE = + ? ?i 华中师大 陈义成 - 8 - 介质球的总电偶极矩 33 00 000 0 4()4 32 pR PR E = + ? ? 即p ? 与 0 E ? 同向，因此介质球绕 0 E ? 方向旋转，不会引起p ? 的变化，从而不会产生极化电 流，故不会激发磁场。 1.111.11 有一内外半径分别为 1 r和 2 r的空心介质球，介质的电容率为使介质内均 匀带静止自由电荷 f ，求 (1)空间各点的电场； (2)极化体电荷和极化面电荷分布 解解：以球心为坐标原点，因介质内自由电荷密度 f 与介质的电容率均为常数， 故电场分布有球对称性。由高斯定理 f dd SV DSV= ? i ? 得 1 1 0 0 D E = ? ? （ 1 rr） 介质的极化强度： 33 01f 202 3 () ()1 3 rr PEr r = ? ? 介质内极化（束缚）电荷体密度为 0 Pf 1 = 介质球外 3 0P = ? ，故球壳外表面极化电荷面密度为 2 33 021 P32f 2 2 ()1 3 r r r rr ePP r = = = ? ? i 华中师大 陈义成 - 9 - 或由 fP032 () r eEE+= ? ? i，而 f 0=，亦可得此结果。球腔内 1 0P = ? ，球壳内表 面极化电荷密度为 1 P21 ()0 r r r ePP = = = ? ? i 读者试将 P 和 P 分别作体积分和面积分，可看到介质球内总的极化体电荷与球面总的 极化电荷等量异号，这是因为极化过程遵从电荷守恒。 1.12 1.12 半径为R的不带电的导电球浮于水面上，其质量为m液体介电常数为， 密度为导体有3 4体积浸没在液体中若要使导体球有一半体积浸没在液体中，求 必须对导体球加多大的电势 0 解解 取球坐标系，坐标原点在球心。0z=的平面为两半球的分界面，如图所示； 本题为作用于球面的静电力、球所受到的浮力以及重力的平衡问题。由本题条件，求得 球的质量为 33 43 34 mRR=i i 因电势可认为是球对称的，电场也应该球对称。因 此由尝试法，容易求得球外上下半空间的电场为 0 3 r ER r = ? ? 上下球面静电场的应力张量分别为 2 100 1 2 EEE = + ? TI 2 2 1 2 E EE = + ? ? TI 按照式（1-8-9）的意义，dS ? iT为面元dS ? 所受到的电磁压力；由对称性，作用于两 半球面的静电力都只有 z 分量 22 0 10 dcos d 22 zz fne SES = = = ? 上 T 22 20 d cos d 22 zz fne SES = = ? 下 T 式中n ? 为球面上的单位法线矢量。于是总静电力 2 00 () 2 z f = 由力的平衡，有 O R z 0 华中师大 陈义成 - 10 - 23 00 2 ()0 23 mgRg += 解得球上的电势为 3 0 0 2 3 R g = 1.13 1.13 内外半径分别为 1 r和 2 r的无穷长中空导体圆柱， 沿轴向流有恒定均匀自由电 流 f J ? ，导体的磁导率为求磁感应强度和磁化电流 【解】以圆柱轴线为z轴，则 ffz JJ e= ? ? 。如图所示 由轴对称性，磁感应强度只与离开z轴的距离r有关，且 沿e ? 方向。于是由安培环路定理 f dd LS HlJS= ? ii ? 即 f 2r HI=i 由图可见， () () 1 22 1f12 f 22 21f2 0, , , rr rrJrrr I rrJrr 于是 () () 11 22 1 2f12 2 22 021 3f2 2 0, , 2 , 2 Brr rr BJr rrr B r rr BJr rr r = ? ? ? ? ? ? 在导体中，由 () 20222 BHMH=+= ? ，得导体内的磁化强度和磁化电流密度 () 22 1 00 22f 2 00 2 rr MHJr r = ? ? M2f 0 1JMJ = = ? 在导体柱外， 3 0M = ? ，故导体柱外表面磁化电流密度为 () () 2 22 21 M32f 02 1 2 r r r rr eMMJ r = = ? ? z r e ? e ? 2 r ? 1 r ? 华中师大 陈义成 - 11 - 导体柱腔内， 1 0M= ? ，故导体柱内表面磁化电流密度为 () 1 M21 0 r r r eMM = = ? ? 1.14 1.14 证明两个闭合的恒定电流之间的相互作用力大小相等，方向相反(但两个电 流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律) 【证】根据安培定律，电流圈 1 L对另一电流圈 2 L中电流元 22 dIl ? 的作用力为 1 01112 1222122 3 12 d ddd 4 L I lr FIlBIl r = ? ? ? ? （1） 其中 1 B ? 是电流圈 1 L在电流元 22 dIl ? 处的磁感强度， 12 r ? 是电流元 11 dI l ? 到电流元 22 dIl ? 的矢径，如图所示。 将式（1）对电流圈 2 L积分，可得电流圈 1 L对电流 圈 2 L的总作用力： () 2121 2112 00 1 21112 1222 33 1212 dd d d 44 LLLL llr I II lr FIl rr = ? ? ? ? ? ? ()() 21 12121212 0 1 2 33 1212 dddd 4 LL ll rrll I I rr = ? ? ii ? ? （2） 由斯托克斯定理，上式右边第一项的积分可化为 () 2112 1212 12 1 33 1212 dd dd LLLS ll r r lS rr = ? ? ? i? i ? ? 由于 12 3 12 0 r r = ? ，所以上述积分值为零。因此式（2）成为 () 21 1212 0 1 2 12 3 12 dd 4 LL rll I I F r = ? ? i? ? ? （3） 同理可得电流圈 2 L对电流圈 1 L的总作用力： () 21 2121 0 1 2 21 3 21 dd 4 LL rll I I F r = ? ? i? ? ? （4） 其中 21 r ? 是电流元 22 dIl ? 到电流元 11 dI l ? 的矢径，因此： 1221 rr= ? ，这样，由（3） 、 （4）两 式，有： 1221 FF= ? 22 dIl ? 11 dI l ? 12 r ? 华中师大 陈义成 - 12 - 但是，对于两个孤立的电流元 11 dI l ? 和 22 dIl ? ，仍按照安培定律，两个电流元的相互 作用力分别为： 01112 1222122 3 12 d ddd 4 I lr FIlBIl r = ? ? ? ()() 12121212 0 1 2 3 12 dddd 4 ll rrll I I r = ? ? ii （5） 02221 2111211 3 21 d ddd 4 Ilr FI lBI l r = ? ? ? ()() 21212112 0 1 2 3 21 dddd 4 ll rrll I I r = ? ? ii （6） 由（5） 、 （6）两式可见，在一般情况下，它们右边的第一项并不等值反向，故而 1221 ddFF ? （7） 究其原因，这是因为，安培定律仅适用于描述呈闭合回路形式的恒定电流之间的相互作 用力，而既孤立又“恒定”的电流元实际上不存在！ 1.15 15 证明： (1)当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的曲折满足 22 11 tan tan = 其中 1 和 2 分别为两种介质的介电常数, 1 和 2 分别为界面两侧电场线与法线的夹角， (2)当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场线曲折满足 22 11 tan tan = 其中 1 和 2 分别为两种介质的电导率 证： 证： （1）由边值关系，和界面上0 f =，得 21 0 nn DD= 22 0 tt EE= 即： 222111 coscosEE= 2211 sinsinEE= 两式相除得 1 2 2 1 1 E ? 2 E ? 华中师大 陈义成 - 13 - 22 11 tan tan = （2）把稳恒电流条件0J ? i=用于界面上，得 12nn JJ= 即 1122nn EE= 111222 coscosEE= 又由 12tt EE=有 1122 sinsinEE= 由（1）和（2）有 22 11 tan tan = 1.16 1.16 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外 的电场线总是垂直于导体表面； 在恒定电流情况下， 导体内电场线总是平行于导体表面 证证：设导体表面自由电荷面密度为 f ，由边值关系 21fnn DD=， 21tt EE=， 令介质 1 为导体，介质 2 为绝缘体，静电导体内 1 0E = ? ， 1 0D = ? ，由上述两式得导体 外表面 2fn D=， 2 0 t E= 若导体外的介质是线性均匀的，即 22 DE= ? ，便有 2f 2n D Ee = ? ? ? 即导体外表面的E ? 线与其表面垂直。电流恒定时，边值关系为 21tt EE=， 21nn JJ=， 仍设介质 1 为导体，介质 2 为绝缘体，即 2 0J = ? ，若导体是线性均匀的，则 11 JE= ? ， 于是导体内表面 11 0 nn JE=， 1 0 n E= 即导体内表面E ? 只有切向分量 t E，E ? 线平行于其表面。 1.171.17 一均匀磁化的铁球半径为R， 通过一根绝缘线悬挂在被抽空的大金属室的顶 板上磁铁球的北极向上南极向下球被充电，它相对于金属室壁的电压为 3000V(a) 这个静系统有没有角动量？(b)电子沿极轴径向射进金属