考研数学]北京航天航空大学线性代数.ppt

第四节 实二次型通过正交变换化为标准形,对于二次型, 我们可以通过满秩线性变换化为标准形或规范形. 但其中满秩线性变换x=Cy在几何上一般不能保证任意两点间的距离不变, 这样在简单的情形下可能会改变曲面、曲线的形状, 为此本节引入更特殊的满秩线性变换-正交变换.,一 预备知识与正交变换,空间解析几何中, 向量,的内积,在此定义下, 两个向量的模、夹角都可用内积表示. 在n维向量空间中, 作以下推广：,定义 设=a1, a2, , an, =b1, b2, , bn,是Rn中任意n维实向量,(1) 两个向量的内积,(2) 向量的长度(模),(3) 两个向量的夹角,若|=1, 称为单位向量, 这时,若,称与正交(垂直).,显然零向量与任何向量正交, 两非零向量正交当且仅当夹角为/2.,目的：找出在n维向量空间中, 什么样的满秩线性变换才能保持长度. 即空间中任意两点间的距离不变.,设a1, a2, , an, b1, b2, , bnRn,对应两个向量,=a1, a2, , an, =b1, b2, , bn,其距离,在n元实二次型化简中, 设两点,x1, x2, , xn, x1, x2, , xnRn,经满秩线性变换x=Cy, 变换到,y1, y2, , yn, y1, y2, , ynRn,希望在变换过程中距离不变, 即,亦即需,成立.,由,若要(1)成立, 将(2)代入(1)左端,若要等于(1)右端, 必须,CC=E.,因此要求C必须是正交矩阵.,当C为正交矩阵时, x=Cy称为正交变换.,解析几何中的坐标旋转公式,问题：是否任何一个实二次型都能找到一个正交变换, 使其化为只含新变量的平方项的标准形.,按照矩阵的观点, 对任意实对称矩阵A, 能否找到正交矩阵Q, 使,对正交矩阵, Q=Q-1, 即QAQ既是合同变换, 又是相似变换.,问题转化为:,能否找到一个正交矩阵Q, 使,已知结论:,实对称矩阵的特征值都是实数.,实对称矩阵的每一特征值的代数重数与几何重数相等.,实对称矩阵总能通过相似变换化为对角形.,新问题: 实对称矩阵化为对角形时的相似变换能否改造成正交变换？,三 用正交变换化实二次型为标准形,定义,n维向量空间Rn中一组非零向量, 如果它们两两正交, 称之为正交向量组.,如果正交向量组中的每个向量都是单位向量, 称为标准正交向量组.,注,根据定义, 正交矩阵中的行向量与列向量组是标准正交向量组.,彼此两两正交的向量组线性无关.,以下考查如何将相似变换中的线性无关的向量组正交化.,1. 当n阶实对称矩阵A的特征值是特征方程的单根.,由实对称矩阵的每一特征值的代数重数与几何重数相等及属于不同特征值的特征向量正交, 将其单位化就可得到标准正交向量组.,若i(i=1, 2, , n)是A的特征值, xi(i=1, 2, , n)是i的特征向量, 则,是正交向量组,取,qi仍是属于i的特征向量, 令,则,2. 当|EA|=0有重根时.,(属于同一特征值的若干个线性无关的特征向量不一定是正交向量组),利用施密特(Schmidt)正交化方法, 可以将它们改造为标准正交向量组, 且仍是A的特征向量.,设t个线性无关的列向量x1, x2, , xt , 通过下面的方法可以得到一组标准正交向量q1, q2, , qt , 使qi是x1, x2, , xt 的线性组合.,第一步 正交化, 求正交向量组.,令p1=x1,构造p2使p2是p1, x2的线性组合且,与p1正交.,设,x2=p2+k1p1,则,p2=x2k1p1,k1待定.,由p2与p1正交,p1p2=p1(x2k1p1)=p1x2k1p1p1=0,x1,k1p1,x2,p2,得,于是,求p3, 使p3与p1, p2正交, 且p3是p1, p2, x3的线性组合.,设x3=p3+k1p1+k2p2,则 p3=x3k1p1k2p2,x3,k2p2,k1p1,p3,由p3与p1, p2正交,p1p3=p1x3k1p1p1k1p1p2 =0,p2p3=p2x3k1p2p1k2p2p2 =0,得,代入得,一直做下去, 若前t1个向量已正交化为p1, p2, , pt-1, 作pt使pt与p1, p2, , pt-1正交, 且pt可以表示为p1, p2, , pt-1, xt的线性组合.,pt=xt k1p1 k2p2 kt-1 pt-1,可得,代入可得pt .,p1, p2, , pt即为所求的正交向量组.,第二步 单位化, 求标准正交向量组.,令,则q1, q2, , qt即为所求的标准正交向量组.,例1 已知x1=(2, 0, 1), x2=(0, 1, 1), x3=(1, 1, 0), 用施密特方法求一组标准正交向量.,解,先正交化,取 p1=x1=(2, 0, 1),再单位化, 得,利用施密特正交化方法求出的标准正交向量组q1, q2, , qt仍是A的特征值特征向量.,而定理4.3与定理4.2说明n阶实对称矩阵恰有n个标准正交的向量组, 以这n个向量作列向量作一正交矩阵Q, 使得,定理4.4 任意一个n阶实对称矩阵A, 必存在一个正交矩阵Q, 使,其中1, 2, , n是A的全部特征值.,二次型语言,任何n元实二次型f(x1, x2, , xn)=xAx可通过正交变换x=Qy化为标准形,其中1, 2, , n是A的n个特征值.,例2 将实二次型,通过正交变换化为标准形.,解,二次型对应的对称矩阵,求特征值,特征值 1= 2=1, 3=10.,对1= 2=1,解方程组,即,一般解,向量形式,取两个线性无关的特征向量,正交化,取,单位化,对3=10，,解方程组,即,一般解,取特征向量,单位化,令,则必有,则二次型通过正交变换,化为标准形,例3 已知三阶实对称矩阵A的特征值为1, 4, 2, 对应=1的特征向量为x=(2, 1, 2), 对应=4的特征向量 y=(2, 2, 1), 求A.,分析: 求出=2对应的特征向量即可.,解,设对应=2的特征向量为 z=(x1, x2, x3),由z与x, y正交, 得方程组,一般解,取,将x, y, z单位化得正交矩阵,有,因此,例4 证明实对称矩阵A正定A的所有特征值全为正数.,证明,由定理4.4