阶行列式的定义(8).ppt

1,第二节 n阶行列式的定义,一、二元线性方程组与二阶行列式,二、三阶行列式,三、 n阶行列式的定义,四、 n阶行列式定义的其他形式,五、小结,2,用加减消元法解二元线性方程组,一、二元线性方程组与二阶行列式,3,原二元线性方程组的解为,完全仅由方程组的四个系数确定.,(3),4,把四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表,定义,即,5,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,其中元素 aij 的第一个下标 i 为行指标，第二个下标 j 为列指标，即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。,6,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,7,8,9,则二元线性方程组的解为,注意：分母都为原方程组的系数行列式。,10,例 1,解,11,考虑三元线性方程组,二、三阶行列式,12,定义,记,（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式。,13,对角线法则,三阶行列式的计算,14,注意：红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号。,说明 1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。,2. 三阶行列式包括3!项，每一项都是位于不同行、不同列的三个元素的乘积，其中三项为正、三项为 负。,15,例 2,解,按对角线法则，有,16,例 3,解,方程左端,17,如果三元线性方程组,的系数行列式,利用三阶行列式求解三元线性方程组,18,得,19,得,20,得,21,则三元线性方程组的解为：,22,2016.8.29 第一次课 讲到这里,助教信息,曹陆玲 Office: 老办公楼西507 Telecom: 153-4322-4527,23,24,例 4 解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式,25,同理可得,故方程组的解为：,26,考虑n元线性方程组,在满足一定条件时的求解公式，问题在于我们 如何定义n阶行列式。,三、n阶行列式的定义,27,我们先研究二阶、三阶行列式的定义,（1）二阶行列式共有 项，三阶行列式共有 项， 为所有不同行不同列的元素乘积的代数和,行指标构成标准排列，列指标分别构成 12、21,行指标构成标准排列，列指标分别构成123、231、312；132、213、321,28,（2）各项的正、负号与列标排列的奇偶性有关当 把行标排成标准排列时,带正号的项的列标排列都是 偶排列，带负号的项的列标排列都是奇排列因此 各项的符号是由它的“列标”排列的奇偶性所决定,从而,将上述结论推广可得 n 阶行列式的定义。,29,定义,30,称为n阶行列式，,31,说明,1. 行列式是一种特定的算式;,4. 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 个元素的乘积;,6.行列式中从 至 的对角线称为主对角线， 从 至 的对角线称为副（次）对角线,3. 阶行列式是 个乘积项的代数和;,5. 的符号为,2. 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;,32,例 5 计算行列式,分析,展开式中一般项是,从而这个项为零，,所以 只能等于 ,同理可得,解,33,即行列式中不为零的项为,例 6 计算上三角行列式,主对角线下方未写出的元素全为零,34,分析,展开式中的一般项,所以不为零的项只有,解,35,例 7,解,36,同理可得下三角行列式,主对角线上方未写出的元素全为零,37,例 8 证明对角行列式,38,证明,第一式是显然的，下面证第二式。,若记,则依行列式定义,39,四、n阶行列式定义的其他形式,定理 1.2 阶行列式也可定义为,证明,按行列式定义，有,40,记,对于D中任意一项,总有且仅有 中的某一项,与之对应并相等;,反之,也总有且仅有D中的某一项,与之对应并相等,中的每一项都可以一一对应并相等,从而,对于 中任意一项,于是D与,要证明,a）一次元素对换：,b）任意次元素对换：,41,定理 1.3 阶行列式也可定义为,42,43,解,下标的逆序数为,所以 是六阶行列式中的项.,下标的逆序数为,所以 不是六阶行列式中的项.,a）,b）,44,例 10 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.,解,又 431265 的逆序数为,所以 前边应带正号.,45,行标排列 341562 的逆序数为,列标排列 234165 的逆序数为,所以 前边应带正号.,46,解,所以只能选取,因此，含,的项为,？,例 11 写出四阶行列式中含 的项,47,例 12 用行列式的定义计算,48,解,若n元线性方程组,的系数行列式,利用行列式求解线性方程组,49,则方程组的解为：,其中,注：这个结论，就是以后要学的克莱姆法则。,50,1. 二元线性方程组,定义系数行列式,五、小结,51,52,二阶行列式的对角线法则,二元线性方程组的解,2. 三元线性方程组,定义系数行列式,53,54,三阶行列式的对角线法则,55,三元线性方程组的解,其中,56,3. 阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列的 个元素的乘积，正负号由下标排列的逆序数决定。,4. 阶行列式的三种定义,若n元线性方程组,的系数行列式,5. 克莱姆法则,57,则方程组的解为：,其中,58,59,作业,P30 5. 6. (1)、(2