随机试验与样本空间).ppt

概率论与数理统计,绪论,一，概率论简史 二，概率论的应用,概率论最早是从赌博(博弈)游戏开始的.,1654年，一个名叫德梅尔（De Mere，法）的赌徒就“两个赌徒约定赌若干局，且谁先赢c局便算赢家，若在一赌徒胜a局（ac），另一赌徒胜b局（bc）时便终止赌博，问应如何分赌本”为题求教于号称“神童”的数学家帕斯卡（Pascal，法，1623-1662）。,【概率论简史】,帕斯卡,1. 栖凤枝稍尚软弱 化龙形状已依稀,帕斯卡对此思考良久, 又将其转给业余数学王子号称“数坛怪杰”的数学家费马(P.Fermat 1601-1665)。关于这一问题的通信讨论.帕斯卡在1654年7月29日给费马的信中给出了这一问题的解.,费马,【概率论简史】,以c = 3 , a = 2 , b = 1 为例来说明他们的解法. 即谁先胜3 局, 则可得到全部赌注, 在甲胜2局,乙胜1局时, 赌局中止了, 问怎样分配赌注才算公平合理.,【概率论简史】,帕斯卡分析认为:甲已胜2局,乙也胜1局,如再赌一局,则或者甲大获全胜,赢得全部赌金,或者乙胜,则甲与乙胜的局数变成相等, 甲、乙应平分赌金.把这两种情况平均一下,甲应得赌金的3/ 4,乙则得赌金的1/ 4. 费马认为:由甲已胜a局,乙已胜b局,要结束这场赌博最多还需要赌( c - a) + ( c - b) - 1 局,在这个例子中,最多还需要玩两局,结果有四种等可能的情况: (甲胜,甲胜), (甲胜,乙胜), (乙胜,甲胜), (乙胜,乙胜). 在前面三种情况下,甲赢得全部赌金,仅第四种情况使乙获得全部赌金.因此甲有权分得赌金的3/ 4, 而乙应分赌金的1/ 4.,费马和帕斯卡虽然没有明确定义概率的概念,但是, 他们定义了使某赌徒取胜的机遇（可能性）, 也就是赢的情况数与所有可能情况数的比, 这实际上就是概率（1.3 古典概型）.,这一问题讨论中,产生了“概率”和“数学期望”等基本概念.帕斯卡的这封信被公认为是概率论的第一篇文献,所以概率的发展被认为是从帕斯卡和费马开始的.,【概率论简史】,当荷兰数学家惠更斯(C.Huygens, 1629 -1695)到巴黎的时候, 听说帕斯卡与费马在研究概率问题,便也参与进来,并于1657年出版了论赌博中的计算一书. 书中给出了第一批概率论概念和定理(如加法定理、乘法定理，1.4节).标志着概率论的诞生。,【概率论简史】,【概率论简史】,2. 江山代有人才出 各领风骚数百年,莱布尼兹(Leibniz, 1646 -1716)于1672-1676年侨居巴黎时读到帕斯卡概率方面的研究成果,深刻地认识到这门“新逻辑学”的重要性,并且进行了认真的研究.,在帕斯卡与费马通信讨论赌博问题的那一年, 雅各伯努利(Jacob Bernoulli, 1654-1705)诞生了. 在1713年出版的其遗著猜度术中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理（后来的大数定律）。,棣莫弗(A.De Moivre, 1667-1754)于1733年和高斯(Gauss, 1777 -1857)于1809年各自独立引进了正态分布; 蒲丰(G.L.L Buffon ,1707-1778)于1777年提出了投针问题的几何概率（1.3节）;泊松于1837年陈述了泊松大数定律等. 特别是拉普拉斯(P.S.Laplace,1749-1827)1812年出版的概率的分析理论以强有力的分析工具处理概率论的基本内容,使以往零散的结果系统化. 拉普拉斯的著作实现了从组合技巧向分析方法的过渡,开辟了概率论发展的新时期. 正是在这部著作中,拉普拉斯给出了概率的古典定义（1.3节）。,【概率论简史】,19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中心课题，是概率论的又一次飞跃，为后来数理统计的产生和应用奠定了基础契比谢夫（Chebyhev，俄，1821-1894）对此做出了重要贡献他建立了关于独立随机变量序列的大数定律（使伯努利定理和泊松大数定理成为其特例），推广了棣莫弗拉普拉斯的极限定理契比谢夫的成果后被其学生马尔可夫（1856-1922）发扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程,【概率论简史】,19世纪末,科学家们发现的一些概率论悖论揭示出古典概率论中基本概念存在的矛盾与含糊之处,其中最著名的是所谓“贝特朗悖论”.1899年由法国学者贝特朗(J .Bertrand)提出:在半径为r的圆内随机选择弦,计算弦长超过圆内接正三角形边长的概率,根据“随机选择”的不同意义,可以得到不同的答案. 这类悖论说明概率的概念是以某种确定的实验为前提的,这种实验有时由问题本身所明确规定,有时则不然.因为贝特朗等悖论的矛头直指概率概念本身,尤其是拉普拉斯的古典概率定义开始受到猛烈批评.,【概率论简史】,【概率论简史】,这样, 到19世纪, 无论是概率论的实际应用还是其自身发展, 都强烈地要求对概率论的逻辑基础作出更加严格的考察. 鉴此,1900年夏,38岁的德国代表希尔伯特(D. Hilbort,1862-1943)在世界数学家大会上提出了建立概率公理系统的问题. 这就是著名的希尔伯特23问题之中的第6个问题. 这就引导一批数学家投入了这方面的工作.,【概率论简史】,3. 忽如一夜春风来 千树万树梨花开,最早对概率论来严格化进行尝试的, 是俄国数学家伯恩斯坦(1880-1968)和奥地利数学家冯米西斯(1883-1953). 他们都提出了一些公理来作为概率论的前提,但他们的公理理论都是不完善的.,作为测度论的奠基人,博雷尔在1905年指出概率论理论如果采用测度论术语来表述将会方便许多,并首先将测度论方法引入概率论重要问题的研究,博雷尔的工作激起了数学家们沿这一崭新方向的一系列探索,其中尤以原苏联数学家科尔莫戈罗夫(1903-1987)的研究最为卓著.,到二十世纪30年代，前苏联的数学家柯尔莫戈洛夫以测度论为基础，给出了概率论的公理化体系，影响颇大。,柯尔莫戈洛夫,【概率论简史】,科尔莫戈罗夫的公理系统逐渐获得了数学家们的普遍承认,由于公理化,概率论成为一门严格的演绎科学, 取得了与其他数学分支同等的地位.,公理化概率论首先使随机过程的研究获得了新的起点,随机过程作为随时间变化的偶然量的数学模型,是现代概率论研究的重要主题.（莱维，维尔，杜布，日本数学家伊藤清）,【概率论简史】,概率论不仅是“数学之树”的一庞大支条, 而且还有若干分支强壮的根( 右图)。,柯尔莫戈洛夫 光辉的一生,A.N.柯尔莫戈洛夫，苏联数学家、教育家, 莫斯科函数论学派领导人鲁金(1883-1950)的学生. 1903年4月25日出生于俄罗斯坦博夫城。 他5、6岁时就归纳出了“l=12，1+3=22,1+3+5=32，1+3+5+7=42,”这一数学规律。 14岁时他就开始自学高等数学. 1920年他高中毕业，进入莫斯科大学，先学习冶金，后来转学数学,并决心以数学为终身职业。大学三年级时就发表了论文，表现出卓越的数学才能，载誉国际。 1925年大学毕业后，当研究生。 1929年研究生毕业后，担任莫斯科大学数学力学研究所助理研究员。, 1931年起他担任莫斯科大学教授，并指导研究生。 1933年担任莫斯科大学数学力学研究所所长， 创建了概率论、数理统计、数理逻辑、概率统计方法等教研室，先后教过数学分析、常微分方程、复变函数论、概率论、数理逻辑和信息论等课程。 1939年当选为苏联科学院院士、主席团委员和数学研究所所长。 1954年担任莫斯科大学数学力学系主任。 1966年当选为苏联教育科学院院士。 1987年10月20日在莫斯科逝世，享年84岁。他热爱学生，对学生严格要求，指导有方，直接指导的学生有67人，他们大多数成为世界级的数学家，其中14人成为前苏联科学院院士。,柯尔莫戈洛夫 光辉的一生,由于他的卓越成就，他在国内外享有极高的声誉。他是美国、法国、民主德国、荷兰、波兰、芬兰等20多个科学院的外国院士，英国皇家学会外国会员，他是法国巴黎大学，波兰华沙大学等多所大学的名誉博士。1963年获国际巴尔桑奖，1975年获匈牙利奖章，1976年获美国气象学会奖章、民主德国赫姆霍兹奖章，1980年获世界最著名的沃尔夫奖。在国内，1941年获国家奖，1951年获苏联科学院车贝雪夫奖，1963年获苏维埃英雄称号，1965年获列宁奖，1940年获劳动红旗勋章，19441979年获7枚列宁勋章、金星奖章及“在伟大的爱国战争中英勇劳动”奖章，1983年获十月革命勋章，1986年获苏联科学院罗巴切夫斯基奖。,柯尔莫戈洛夫 光辉的一生,【概率论简史】,我国的概率论研究起步较晚，从1957年开始，先驱者是许宝騄先生。1957年暑期许老师在北大举办了一个概率统计的讲习班，从此，我国对概率统计的研究有了较大的发展，现在概率与数理统计是数学系各专业的必修课之一，也是工科，经济类学科学生的公共课。,许宝騄先生,王梓坤 院士,陈木法 院士,严加安 院士,彭实戈院士,马志明 院士,【概率论简史】,统计学的英文词 statistics 源出于拉丁文，是由 status（状态、国家）和statista（政治家）衍化而来的,可见起源很早并和国家事务的管理需求有关。,数理统计发源于17世纪的欧洲。以概率论为基础， 以统计推断为主要内容的现代统计，也就是“数理统计”， 到20世纪才逐渐成熟。,在中国，周朝就设有统计官员18名，5个层次，5个级 别，其官职叫“司书”，东北师范大学校长史宁中先生请该 校历史教授考证：司书就是做统计的官员。,关于数理统计,1763年，英国人贝叶斯(T.Bayes)发表论机会学说问题的求解，其中的”贝叶斯定理”可以看成最早的统计推断的程序。,英国生物学家和统计学家K.皮尔逊(Karl Pearson)在现代数理统计的建立上起了重要的作用。被公认为现代统计学之父。,贝叶斯,皮尔逊,现代数理统计作为一门独立学科的奠基人是英国的数学家费希尔(R.A.Fisher),1946年，瑞典数学家克拉默(H.Cramer)发表了统计学的数学方法，系统总结了数理统计的发展，标志着现代数理统计学的成熟。,费希尔,克拉默,数理统计的三种说法：,数理统计是收集和分析数据的科学和艺术。,大英百科全书,数理统计是数学的一个分支，是用有效地方法来收 集和分析带有随机影响的数据并进行研究的一个学科。,陈希孺院士,数理统计是一门应用性很强的学科，是研究如何有效地收集整理和分析受随机因素影响的数据，并对所考虑的问题做出统计推断的学科。,茆诗松教授,什么是数理统计？,概率论与数理统计的应用,德国10马克 高斯。 纸币上印有一个函数表达式、还画一个曲线的，这个函数曲线是正态随机变量的概率密度函数曲线，正态分布又叫“高斯分布”。,在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一名优秀 的数学家的作用超过10个师的兵力。这句话有一个非 同寻常的来历。,1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德国的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额。,军事问题,一名优秀的数学家=10个师,为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后分析，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律性，一定数量的船（为100艘），编队规模越小，编次就越多（为每次20艘，就要5个编次），编次越多，与敌军相遇的概率就越大。,美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定的 海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口。结果奇迹发生了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来 的25%将为1%，大大减少了损失，保证了物资的及时供应。,军事问题,沃尔玛的一个经理通过收集数据发现，每逢周末，一次性尿布的销售量就大幅攀升。于是他就设法挖掘数据后面的信息，结果发现，周末晚上大家要看球，同时喝啤酒，但有孩子拉屎撒尿必须要照顾，太麻烦了，用一次性的尿布很省事，自然看球的时候要多买几个。于是，超市决定把啤酒和尿布放在一起卖，收到了相应的经济效益。,超市的商品摆放是很有讲究的，也要依靠数理统计， 依靠数据挖掘。,商品摆放问题,概率论的应用,概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的数量规律， 概率论的应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、 地震预报、产品的抽样调查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等.,如何学好“概率论与数理统计” ？,1、学习态度；,2、课前花一点点时间预习，课堂认真听讲30分钟，课后做一定量的习题。,3、理解基本概念，掌握基本计算方法与技巧；,“孰能生巧”，“见多识广”。,4、勤思考，多总结，常交流，合作学习。,“梅花香自苦寒来”,相信自己，你会成为河南理工大的一个传说！,古人云：,“书山有路勤为径”。,如何学好“概率论与数理统计” ？,关于成绩的计算,平时成绩*20%+期末成绩*80%,平时成绩包括课堂出勤，作业记录,期末成绩最后的卷面成绩,第1章 概率论基础,1.1 随机试验与样本空间,2.2 随机事件及其概率,3.3 古典概型与几何概型,3.4 条件概率与乘法公式,3.5 全概率公式和贝叶斯公式,3.6 独立性,3.7 Excel数据分析功能简介,概率论是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象（随机现象）规律性的一门数学学科，20世纪以来，广泛应用于工业、国防、国民经济及工程技术等各个领域本章介绍随机事件与概率、古典概型与几何概型、条件概率与乘法公式等概率论中最基本、最重要的概念和概率计算方法,第1章 概率论基础,1.1 随机试验与样本空间 1.1.1 随机试验 客观世界中存在着两类现象: 必然现象 随机现象 在一定条件下必然出现的现象， 称为必然现象； 实例: “太阳从东边升起” “水从高处向低处流” “同性电荷互斥”,第1章 概率论基础,在一定条件下可能出现也可能不出现的现象,称为随机现象.,实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.,结果有可能出现正面也可能出现反面.,必然现象的特征,条件完全决定结果,1.1.1 随机试验,结果有可能为:,1, 2, 3, 4, 5 或 6.,实例3 抛掷一枚骰子,观 察出现的点数.,实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况.,结果: 弹落点会各不相同.,1.1.1 随机试验,实例4 从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品.,其结果可能为:,正品 、次品.,实例5 过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯.,1.1.1 随机试验,随机现象的特征,条件不能完全决定结果,1.1.1 随机试验,(2) 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.,如何来研究随机现象?,说明,(1) 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.,概率论中把满足以下特点的试验称为随机试验： (1) 可以在相同条件下重复进行； (2) 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果； (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 随机试验通常用大写字母E表示,1.1.1 随机试验,随机现象是通过随机试验来研究的.,问题 什么是随机试验?,说明,1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行的 “调查”、“观察”或 “测量” 等.,实例 “抛掷一枚硬币,观 察字面,花面出现的情况”.,分析,(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;,1. 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,2. 从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数.,同理可知下列试验都为随机试验.,(2) 试验的所有可能结果:,字面、花面;,(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,故为随机试验.