北邮数字信号处理第四章附加习题答案.pdf

1 第四章附加题 1. 在冲激响应不变法中，数字滤波器的单位采样相应由对连续时间滤波器的冲 激响应采样组成 as h nhnT 另一种方法是用阶跃响应不变法， 数字滤波器的阶跃响应由对连续时间滤波器阶 跃响应的采样组成。 （1）利用连续时间滤波器原型，用阶跃响应不变法设计一个数字滤波器。 2 2 a sa Hs sab （2）确定设计出来的滤波器是否与用冲激响应不变法设计出来的相同。 解： （1）如果连续时间滤波器的脉冲响应是 a ht，它的阶跃响应为 t aa sthd 阶跃响应的拉普拉斯变换与系统函数 a Hs的关系为 1 aa SsHs s 这样 2 2 1 a sa Ss s sab 用阶跃响应不变法设计数字滤波器时， 我们要先对 a Hs进行部分分式展开 012 a AAA Ss ssajbsajb 其中 012 22 2222 , 22 aajbajb AAA ababab 对 a st采样，即 as s nsnT 我们发现 s n的z变换满足 1 11 1 s aT saez 所以阶跃响应的z变换为 2 221 221 221 1 22212212 11 121 1 1 cossin 11 11 2cos s s s ss ajb T ajb T aT ss aTaT s aajb S z abzabez ajb s abez aabTbbTez a abzabbT ezez 数字滤波器的系统函数为 1 1 1 2222212 1 cossin 1 1 2cos s ss aT ss aTaT s H zzS z aabTbbTez az ababbT ezez （2）用冲激响应不变法，先对 a Hs作部分分式展开， 12 2 2 a AAsa Hs sajbsajb sab 其中 12 1 2 AA 所以系统函数为 11 1 212 11 22 11 1cos 1 2cos ss s ss ajb Tajb T aT s aTaT s H z ezez ebTz bT ezez 虽然 H z的极点与用阶跃响应不变法设计的滤波器的极点相同，但系统函 数不同，所以两种方法不等价。 2.设 a ht表示一模拟滤波器的单位冲激响应， 0.9 ,0 0,0 t a et ht t 用冲激响应不变法，将此模拟滤波器转化成数字滤波器（ h n表示单位取 样响应，即 a h nhnT） 。确定系统函数 H z，并把T作为参数，T为任何值 时， 数字滤波器是稳定的， 并说明数字滤波器近似为低通滤波器还是高通滤波器。 解：模拟滤波器系统函数为 3 0.9 0 1 0.9 tst a Hseedt s a Hs的极点 1 0.9s ，数字滤波器系统函数应为 1 10.91 11 11 s TT H z ezez H z的极点为 0.9 1 T ze， 0.9 1 T ze 所以，0T 时， 1 1z ， H z满足稳定条件。 对1T 和0.5T ， 画出 j H e 曲线如题 6 解图实线和虚线所示。 题 2 解图 由图可见，该数字滤波器近似为低通滤波器。且T越小，滤波器频率混叠越 小，滤波特性越好（即选择性越好） 。反之，T越大，极点 0.9 1 T ze离单位圆越 远，附近衰减越小，而且频率混叠越严重，使数字滤波器频响特性不能模 拟原模拟滤波器的频响特性。 3 3. .用冲激响应不变法将以下变换为,抽样周期为T。 （1） 。 （2） ，n 为任意正整数。 分析分析 （1）冲激响应不变法满足，T为抽样间隔。这种变换法必 须让先用部分分式展开。 （2）第（2）小题要使用拉普拉斯变换公式 ， 4 可求出又,则可递推求解。 解解 （1） 由 推出 由冲激响应不变法可得： ()() ( )() ( ) 2 ajb nTajb nT a T h nTh nTeeu n 11 0 1 122 11 ( )( ) 2 11 1cos() 1 2cos() n aTjbTaTjbT n aT aTaT T H zh n z eezeez ezbT T ezbTez （2） 先引用拉氏变换的结论，可得： 0 1 ( )( ) (1)! s t n a Ae t h tu k n 按Z变换 1 1 ( ) 1 k a u k az ，且 ( ) ( ) dX z kx kz dz 可得 0 0 1 1 11 1 01 1 ( )( )()()() (1)!(1)!1 n nn s Tknk s T kk TATd H zh k zTAkz ez nndzez 可以递推求得 0 0 0 1 1 1 ,1 1 ( ) ,2,3,. (1) S T S Tn S Tn AT n ez H z AT ez n ez 4.若( ) a u t是模拟网络( ) a Hs的阶跃响应，即输入( )( ) a x tu t，则响应( )( ) aa y ts t；( )s n 是数字网络( )H z的阶跃响应，即输入( )( )x nu n，则响应( )( )y ns n。如果已知( ) a Hs 以及( )s t，令( )() a s ns nT这样来设计( )H z就称为阶跃不变法。试用阶跃不变法确定 5 ( )H z与( ) a Hs的关系，并与脉冲不变法比较。 解解：阶跃不变法就是使( )() a s ns nT 因为 1 ( )( )( )( ) t aaaa s thdSsHs s ; 阶跃响应的 变换为 1 1 ( )( ) a t nT S zF LHs s 因为( )( )(1)nu nu n 所以( )( )(1)h ns ns n 对应的z变换为 11 11 ( )(1) ( )( ) a t nT z H zzS zF LHs zs 由此得到已知( ) a Hs以及( ) a u t用阶跃不变法求( )H z的步骤为： (1) 先将( )( )/ aa S sHss部分分式展开； (2) 展开的分式z变换之和为( ) a Sz； 1 ( )( ) a z H zSz z 。 5. 假设某模拟滤波器 a Hs是一个低通滤波器，又知 1 1 az s z H zHs ，数字 滤波器 H z的通带中心位于下面哪种情况？并说明原因。 （1） 0（低通） 。 （2） （高通） 。 （3） 除 0 或以外的某一频率（带通） 。 解： 方法方法 1 按题意可写出 1 1 az s z H zHs 故 c o s 11 2 cot 112 sin 2 j j j z e ze sjjj ze 6 即 c o t 2 原模拟低通滤波器以0为通带中心，由上式可知，0时，对应于 ，故答案为（2） 。 方法方法 2 找出对应于0的数字频率的对应值即可。 令1z ，对应于1 j e ，应有0，则 1 1 1 aza s z HHsH 对应的 不是模拟低通滤波器； 令1z ， 对应1 j e ， 应有， 则 10 a HH， 即0 对应， 将模拟低通中心频率0映射到处，所以答案为（2） 。 方法方法 3 直接根据双线性变换法设计公式及模拟域低通到高通频率变换公式 求解。 双线性变换设计公式为 1 1 2 121 1 1 a zz s TT z z H zHs 当2T 时， 1 1 a z H zH z ，这时，如果 a Hs为低通，则 H z亦为低 通。 如果将 a Hs变换为高通滤波器 1 h aa HsH s 则可将 h a Hs用双线性变换法变成数字高通 11 11 11 1 h hazaza ss zz z HzHsHH sz 这正是题中所给变换关系，所以数字滤波器 1 1 a z H z 通带中心位于， 故答案（2）正确。 6. 用冲激响应不变法设计一个离散时间低通滤波器，连续时间巴特沃斯滤波器 的幅度平方函数为 2 2 1 1/ aN c Hj jj 滤波器的技术指标为 7 110 j pp H e j ss H e 假设没有混叠， 问冲激响应不变法中所用的采样周期值对设计结果是否有影 响，并说明理由。 解：冲激响应不变法是在内由 a Hj到 j H e 的线性映射，该映射 为 s j aT H eHj 若没有混叠，所需的滤波器阶数为 2 2 11 lg 1 2lg p s p s N 其中 ppsp ssss T T 。 很显然，所需的滤波器阶数与 s T无关。 将巴特沃斯滤波器的系统函数进行部分分式展开，就有 1 N k a k k A Hs ss 极点 k s为 1 2 2 0,1,1 Nk j N kc sekN 对于冲激响应不变法，离散时间滤波器的系统函数变成 1 11 k s N k s T k A H z ez 这样 H z的极点位于 1 2 2 1,2,1 c s k s Nk T j s T N zeekN ccs T是低通滤波器在离散时间域的 3dB截止频率，由滤波器的技术指 标确定，所以 H z的极点也不受采样周期 s T的影响。 综上，冲激响应不变法中所用的采样周期值对设计结果没有影响。 8 7. 图示是由RC组成的模拟滤波器，写出其传输函数 a Hs，并选用一种合适的 转换方法，将 a Hs转化成数字滤波器 H z，最后画出网络结构图。 题 5 图 解：模拟RC滤波网络的频率响应函数为 11 a Rj Hj Rj j CRC 显然， a Hj具有高通特性，用脉冲响应不变法必然会产生严重的频率混 叠失真。所以应选用双线性变换法，将 a Hj中的j用s代替，可得到RC滤 波网络的系统函数 用双线性变换法设计公式可得 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 11 1 , 1 2 1112 1 1 1 a z s T z z zT Tz H zHsa a zaRC z a TzRC H z的结构图如题 8 解图所示。 题 5 解图 8. 如果用 a ht、 a st和 a Hs分别表示一个时域连续线性时不变系统的单位冲 击响应、单位阶跃响应和系统函数，用 h n、 s n和 H z分别表示一个时域离 散线性非移变系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应和系统函数，那么， 9 （1）若 a h nhnT，则 n a k s nhkT 是否成立？ （2）若 a s nsnT，则 h nh nT是否成立？ 解： （1） 0m u nu nnnm 根据线性非移变系统的可加性可以得出系统单位阶跃响应 s n为 0 n mk s nh nmh k 如果 a h nhnT，则 n a k s nhkT （2） 1nu nu n 与（1）同理，可得 1h ns ns n 如果 a s nsnT，则 1 aaa h nsnTsnThnT （注： a a dst ht dt ， a at nT dst hnT dt ） 9 9证明uz（旋转变换）是一个低通高通的稳定变换。 证明证明： j uzze ， j ue 是单位圆， j ze 亦为单位圆。 所以 ()jjj uezee ， 即 。 当0时，；时，0， 是低通高通的转换。 令u，zr，则 ()jj uezre ，即u。 当1u时，1zr；1u时，1zr；1u时，1uzr， 是稳定的转换。 10 所以uz是一个低通高通的稳定转换，如图所示。 1010. . 试用双线性变换法设计一低通数字滤波器，并满足技术指标如下： (1) 通带和阻带都是频率的单调下降函数，而且没有起伏； (2) 频率在0.5处的衰减为3.01dB； (3) 频率在0.75处的衰减至少为15dB。 解解 根据题意，显然要先设计一个原型巴特沃什低通滤波器。 (1) 利用1T 对技术要求频率先进行反畸变： 因为 0.5 p 所以 2 tan2tan 0.252.000 2 p p T 因为 0.75 s 所以 2 tan2tan 0.3754.828 2 s s T (2) 根据 s ， p 处的技术要求设计模拟低通滤波器： 满足条件： 1 020lg23.01 a HjdBk 2 20lg408.815 a HjdBk 用式(4-3)求巴特沃什低通滤波器阶次N： 0 0 11 0.3011.5 lg101101 1.941 2lg 2 4.828 N 所以选2N 用式(4-4)求滤波器的截止频率 c 1 4 0.301 2.000 2 101 c 再查表可求得模拟滤波器的系数函数为 22 2 14 1242 2 a ss Hs ssss (3) 利用双线性变换公式将求得的 a Hs变换成 1H ZT 。 1 1 12 1 2 21 1 2 3.4140.586 Z a s Z Y ZZZ H ZHs X ZZ (4) 用差分方程实现低通滤波器 212 3.4140.5861 2Y ZZX ZZZ 所以 0.2932120.1722y nx nx nx ny n 1111 一个线性时不变因果系统由下列差分方程描述 10.51y nx nx ny n (1) 系统函数 H Z，判断系统属于 FIR 和 IIR 中的哪一类以及它的滤波特性。 (2) 若输入 2cos 0.55x nn 0n ，求系统稳态输出的最大幅值。 解解 (1) 根据题意，方程两边求Z变换得 11 0.5Y ZX ZZ X ZZ Y Z 1 1 1 1 0.5 Y ZZ H Z X ZZ 因为从 1 1 1 1 0.5 Z H Z Z 看到，它既有零点，也有极点，所以它是 IIR（FIR 只有零点） 。 12 1 1 0.5 j j j e H e e 可以由上式画出方程的幅频特性 j H e ，判断得这是一个高通滤波器（或者根据公式计 算0， 2 ，三点时的 j H e 基本就可以判断滤波特性了） 。 (2) 根据题意， 2cos 0.55x nn 0n 所以 2 时输出幅值最大 2 2 2 1162 1 0.555 1 0.5 j j j ej H ej j 2 2 10 5 j H e max 24 21010 55 y 12.12.数字滤波器经常以下图描述的方式来处理带限模拟信号。在理想情况下，模数变换器 把模拟信号取样，产生序列 a x nxnT，而数模变换器又将取样 y n变成限带波形 sin a n TtnT yty n TtnT 整个系统等效于一个线性时不变模拟系统。 (1) 如果系统 h n的截止频率是8rad s，110TkHz，等效模拟滤波器的截止频率 是多少？ (2) 设120TkHz，重复(1)。 TT a xt x nh nyt a h n 模-数变换器数-模变换器 周期周期 解解 (1) 根据题意，当8时， 0 j H e ，所以 0 jjj Y eX eH e 在模数变换器中 13 1 j a j Y eX TT 所以 8 ccT 对应于模拟滤波器的截止频率为 1 8 c c TT 110000 625 21616 c c f T 截止频率为625Hz。 (2) 根据题意，当 8 c ，120TkHz时，模拟滤波器的截止频率为 1 8 c c TT 120000 1250 21616 c c f T 截止频率为1250Hz。 1313令 a ht， a st和 a Hs分别表示一个时域连续时不变滤波器的冲激响应、阶跃响应 和系统函数。令 h n， s n和 H Z分别表示一个离散线性时不变数字滤波器的单位取 样响应、阶跃响应和系统函数。 (1) 如果 a h nhnT，是否 a k s nhkT ？ (2) 如果 a s nsnT，是否 a h nhnT？ 解解 (1) 根据第一章的内容 n k u nk 根据叠加原理可以得出该滤波器的阶跃响应 s n为 n k s nh k 如果 a h nhnT，则 14 a k s nhkT (2) 根据第一章的内容 1nu nu n 同样根据叠加原理可以得出该滤波器的单位取样响应 h n为 1h ns ns n 如果 a s nsnT，则 aaa h nsnTsnTThnT 14.设计一个数字巴特沃斯高通滤波器，要求其通带截止频率0.8 p rad，通 带衰减不大于 3dB，阻带截止频率0.5 s rad，阻带衰减不小于18dB，采样 间隔为2s。 解： （1） 确定数字高通滤波器技术指标 0.8,3 0.5,18 pp ss raddB raddB （2） 确定相应模拟高通滤波器技术指标。由于设计的是高通数字滤波器， 所以应选用双线性变换法，所以进行预畸变校正求模拟高通边界频率 2 tantan0.43.0777/ ,3 2 2 tantan0.251/ ,18 2 p pp s ss rad sdB T rad sdB T （3）将高通滤波器指标转换成模拟低通指标。 （因为3 p dB，所以 cp 。 ） 1,3 3.0777,18 c pp p c ss s dB dB （4）设计归一化低通 G p 15 0.1 0.1 101 lg 101 1.84, lg p s s p N 取2N 查表得归一化低通 G p为 2 1 21 G p ss （5） 频率变换，求模拟高通 a Hs 22 2 22 4.35159.46792 c a p scc ss HsG p ssss （6） 用双线性变换法将 a Hs转换成 H z 1 1 12 12 1 1 1 2 14.8194 16.935814.8194 a z s z zz H zHs zz 15. 由于历史原因，给定的模拟滤波器设计公式假定通带内的峰值增益为 1，根 据参数和A，滤波器的技术指标有以下形式 2 1 1 1 1 a a Hj Hj A 假设我们用双线性变换法设计一个离散时间 IIR 低通滤波器， 要求满足以下的频 率响应要求 110 j ppp H e j ss H e 求离散时间滤波器的参数 p 、 s 与连续时间滤波器的参数、A之间的关系。 解：一个数字低通滤波器的频率响应幅度为 11 j pp H e 除以1 p ，上式变成 1 1 1 pj p H e 16 设 2 1 1 1 1 p p 有 2 2 1 1 1 p p 2 2 2 14 1 1 1 pp p p 阻带波动为 s ， 通带增益的峰值归一化为 1， 这样就得到峰值阻带波动 1 s p 所以 1 1 sp A 16. 冲激响应不变法和双线性变换法是两种滤波器设计方法。这两种方法将s左 半平面的极点映射到z平面单位圆内部，从而保持模拟滤波器的稳定性。如果一 个模拟滤波器的所有极点和零点都在s左半平面内，那么这个滤波器具有最小相 位。 （1）确定冲激响应不变法是否可以将最小相位模拟滤波器映射为最小相位 离散时间系统。 （2）对于双线性变换法重复（1） 。 解： （1）对于脉冲响应不变法，一个模拟滤波器的系统函数为 1 p k a k k A Hs ss 将映射为数字滤波器的系统函数 1 11 k s p k s T k A H z ez 将该系统函数重写为多项式的比，这样 H z的零点位置将取决于 a Hs的 极点和零点位置，无法保证零点位于单位圆内。 （2）双线性变换s平面和z平面之间的映射关系定义为 12 12 sk sk Ts z Ts 所以，在 k ss处的极点或零点就变成零点或极点。 17 如果 a Hs是最小相位， a Hs的极点和零点都在s左半平面，换句话说， 如果 a Hs在 k ss有一个零点或极点，其中 kkk sj ，0 k 。 那么 22 2 2 22 2 1/22 1 1/22 skskk k skskk TsT z TsT 这样，s左半平面的极点或零点将映射为z平面单位圆内的极点或零点（即 H z是最小相位） 。 17. 阶数2N 时，连续时间滤波器 a Hs的系统函数可以用两个低阶系统的级 联来表示 12 aaa HsHs Hs 所以，一个数字滤波器可以通过将变换直接应用到 a Hs来设计，也可以通过分 别将 1 a Hs、 2 a Hs变换为 1 Hz、 2 Hz来设计，然后以级联方式实现 12 H zHz Hz （1） 如果 1 Hz、 2 Hz用冲激响应不变法由 1 a Hs、 2 a Hs设计，与 用冲激响应不变法由 a Hs直接设计的滤波器 H z，式 12 H zHz Hz是 否成立。 （2） 对双线性变换法重复（1） 。 解： （1）由于采样，用冲激响应不变法设计数字滤波器时会发生混叠。采样和卷 积的运算不能交换，所以用冲激响应不变法由 a Hs直接设计的滤波器与 1 Hz、 2 Hz用冲激响应不变法由 1 a Hs、 2 a Hs分别设计出来的两个滤波器 的级联不同。也就是说，如果 12 aaa hththt 那么 12 h nh nhn 其中 11 12 , asasas h nhnTh nhnThnhnT。 （2）对于双线性变换法，2 s T 18 12 111 12 111 111 111 aaa zzz H zHHHHz Hz zzz 这两种设计结果相同。 1 18 8把模拟低通滤波器传递函数中的 s 用 1/s 代替，就得到模拟高通滤波器。即若)(sGa是 低通滤波器的传递函数，)(sHa是高通滤波器的传递函数，则)/1 ()(sGsH aa 。另外， 数字滤波器还可以借助双线性变换 1 1 z z s从模拟滤波器映射得到。 （为方便起见，设 2T）在这种映射下，虽然频率刻度有了畸变，但保留了幅度特性的特征。图 1 的网格表 示一个截止频率为2/ L 的低通滤波器。常数 A、B、C、D 都是实数。试问为了得到截 止频率为2/ H 的高通滤波器，应如何修改这些系数？ 图 1 解：方法 1 模拟低通滤波器通过 1 1 1 1 z z s变为数字低通滤波器，即 1 1 1 1 )( z z sGzG a 模拟低通滤波器转移函数的 s 用 1/s 代替，得到模拟高通滤波器。 1 1 1 1 1 1 1 1 /1)()/1 ()( z z sG z z sHzGsGsH aaaa 比较)(zG与)(zH的关系，只要将数字低通的 1 z变为 1 z，就可得到数字高通。低 通数字滤波器的转移函数 21 21 21 21 1 21 1 21 )( DzCz zz BzAz zz zG 采用上述变换后，截止频率为2/ H 的高通滤波器的系统函数为 A 1 z 2 B 1 z )(nx C D 1 z 2 1 z )(ny 19 21 21 21 21 1 21 1 21 )( DzCz zz BzAz zz zH 因此，只要将图中的系数 A 改为-A，C 改为-C，2 改为-2，其他不变，就可得到截止频 率为2/ H 的高通滤波器。其网络流图如下图 2 所示。 图 2 方法 2 模拟低通滤波器的转移函数的 s 用 1/s 代替，即得到模拟高通滤波器。 已知数字低通要变换为不同截止频率低通的变换关系为 1 1 1 1 )( Z Z ZG ，其中 2 sin 2 sin cc cc 数字低通的频响函数在频率轴上平移，或者说在单位圆上旋转，那么，将得到数 字高通滤波器的频响函数。因此只要将数字低通低通变换的映射关系中所有 z 变为-z， 单位圆上的频响旋转，就由数字低通滤波器变换为数字高通滤波器，即低通高通变换 的映射关系为 1 1 1 1 1 1 )( 1 )( Z Z Z Z ZG 其中 2 cos 2 cos cc cc 当2/ p ，2/ p ， 0 2/cos 2/cos pp pp 时 1 1 1 1 1 z z z Z 相应于上述变换。 图 1 中网络表示截止频率2/ L 的低通滤波器的系统函数为 21 21 21 21 1 21 1 21 )( DzCz zz BzAz zz zG A 1 z -2 B 1 z )(nx C D 1 z -2 1 z )(ny 20 则采用上述变换后，截止频率为2/ H 的高通滤波器的系统函数为 21 21 21 21 1 21 1 21 )( DzCz zz BzAz zz zH 因此，只要将图中的系数 A 改为-A，C 改为-C，2 改为-2，其他不变，就可得到截止频 率为2/ H 的高通滤波器。其网络流图如图 2 所示。 1 19 9. .假设某时域连续滤波器是一个低通滤波器，又已知 1/1)(zzHzH a ，于是数 字滤波器的通带中心位于（1）0（低通） 。 （2）（高通） 。 （3）除 0 或以外的 某一频率（带通） 。 解：方法 1 由题意可写出 1/1)()(zzHsHzH aa 故 j ez z