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第七章 参 数 估 计 1 随机地取 只活塞环 ， 测得它们的直径为（以 mm 计） 试求总体均值及方差 的矩估计值 ， 并求样本方差 s 解 总体均值的矩估计值 ， 总体方差 的矩估计值分别为 珚 x n 钞 n i xi， n 钞 n i （ xi 珚 x） 由给出的观察值得 （ ） ， 钞 i （ xi珚x） （ ） （ ） （ ） （ ） ， s 钞 i （ xi珚x） 事实上 ， 只需将观察值输入具有统计功能的计算器 ， 就能直接读出珚x ， 和 s 读者应掌握计算器的统计功能的用法 2 设 X，X， ，Xn为总体的一个样本 ，x，x， ，xn为一相应的样本值 求下列各总体的概率密度或分布律中的未知参数的矩估计量和矩估计值 （） f（ x） c x （ ） ，x c， ，其他 ， 其中 c 为已知 ， ，为未知参数 （） f（ x） x ， x ， ，其他 ， 其中 ，为未知参数 （） P X x m x p x（ p）m x ，x ， ， ， ，m， 其中 p ，p 为未知参数 解 （） x f（ x）dx c xc x （ ） dx c c x dx c x c c ， 由此得 c 在上式中以 珡 X 代替， 得到的矩估计量和矩估计值分别为 珡 X 珡 X c ， 珚x 珚x c （） xx dx x dx 由此得 在上式中以 珡 X 代替， 得的矩估计量和矩估计值分别为 珡 X 珡 X ， 珚x 珚x （） 因 E（ X） mp ， 得 p m ， 以 珡 X 代替， 得到 p 的矩估计量和矩估 计值分别为 p 珡 X m ， p 珚x m 3 求上题中各未知参数的最大似然估计值和估计量 解 （） 设 x，x， ，xn是一个样本值 似然函数为 L L（ x，x， ，xn；） n i c x （ ） i （ c ）n n i x （ ） i （c ）n n i xi （ ） ln L n（lnln c） （ ）ln n i xi 令 d dln L n ln c 钞 n i ln xi ， 得的最大似然估计值为 n 钞 n i ln xi ln c ， 531第七章 参 数 估 计 的最大似然估计量为 n 钞 n i ln Xi ln c （） 设 x，x， ，xn是一个样本值 似然函数为 L n i （x i） n n i xi ， ln L n ln （ ） 钞 n i ln xi 令 d dln L n 钞 n i ln xi ， 得的最大似然估计值为 n 钞 n i ln xi ， 的最大似然估计量为 n 钞 n i ln Xi （） 设 x，x， ，xn是一个样本值 似然函数为 L n i P Xi xi n i m xi p xi （ p） m xi n i m xi p 钞 n i xi （ p） nm 钞 n i xi ， ln L ln n i m xi 钞 n i xiln p （nm 钞 n i xi）ln （ p） ， 令 d d p ln L 钞 n i xi p （nm 钞 n i xi） p ， 得 p 的最大似然估计值为 p 钞 n i xi nm 珚x m ， 其中珚 x n 钞 n i xi， p 的最大似然估计量为 p 珡 X m 4 （） 设总体 X 具有分布律 631概率论与数理统计习题全解指南 X pk （ ）（ ） 其中（ ）为未知参数 已知取得了样本值 x ，x ，x 试求的矩估 计值和最大似然估计值 （） 设 X，X， ，Xn是来自参数为的泊松分布总体的一个样本 ，试求 的最大似然估计量及矩估计量 （） 设随机变量 X 服从以 r ，p 为参数的负二项分布 ， 其分布律为 P X xk xk r p r（ p）xk r ， xk r ，r ， ， 其中 r 已知 ，p 未知 设有样本值 x，x， ，xn， 试求 p 的最大似然估计值 解 （） （i） （ ） （ ） 解得 （ ） ， 故得的矩估计值为 （ 珚x） 今珚x （ x x x） （ ） ， 故的矩估计值为 （ii） 由给定的样本值 ， 得似然函数为 L i P Xi xi P X P X P X （ ） （ ） ， ln L ln ln ln（ ） 令 d dln L ， 得的最大似然估计值为 （） （i） 设 x，x， ，xn是相应于样本 X，X， ，Xn的样本值 ，则似然函 数为 L n i xi e xi！ e n钞 n i xi n i xi！， ln L n 钞 n i xiln ln n i xi！ 令 d dln L n 钞 n i xi ， 731第七章 参 数 估 计 得的最大似然估计值为 n 钞 n i xi珚x ，最大似然估计量为 珡 X （ii） 因 E（ X） ， 故的矩估计量也是 珡 X （） 似然函数为 L（ p） n k P X xk n k xk r p r（ p）xk r n k xk r p nr （ p）钞 n k xk nr ， ln L ln C nrln p 钞 n k xk nr ln（ p） ，C为常数 令 d d p （ln L） nr p p 钞 n k xk nr ， 得 p 的最大似然估计值为 p r 珚x 5 设某种电子器件的寿命（以 h 计） T 服从双参数的指数分布 ， 其概率密度为 f（t） e （ t c） ，t c， ，其他 ， 其中 c，（c， ）为未知参数 自一批这种器件中随机地取 n 件进行寿命试验 设它们的失效时间依次为 x x xn （） 求与 c 的最大似然估计值 （） 求与 c 的矩估计量 解 （） 似然函数为 L（，c） L（ x，x， ，xn；，c） n i e （ xi c） ，x，x， ，xn c， ，其他 由题设 x x xn， 故 x，x， ，xn c相当于 x c， 因而上式相当于 L（，c） ne 钞 n i xi nc c x， ，c x 可知当 c x时 ，L（，c）随 c的增加而递增 ， 而当 c x时 L（，c） ，因而对于 固定的，L（，c）在 c x取到最大值 ， 从而知应取c x 831概率论与数理统计习题全解指南 另外 ， 当 c x时 ， 将 L（，c）取自然对数得 ln L（，c） nln 钞 n i xi nc 令 抄 抄ln L（，c） ， 得 抄 抄ln L（，c） n 钞 n i xi nc ， 于是珚x c 由此可知 c，的最大似然估计值为 c x， 珚 x x （） t f（t）dt c t e （ t c）dt， 令 u t c ， 得 （u c）e udu c （） c ， t f（t）dt c t e （ t c）dt， 令 u t c ， 得 （u c） e u du （） c（） c c c （c ） ， 由此得 ， c 将上两式中的，分别换成 A 珡 X ，A n 钞 n i X i， 并注意到 A A n 钞 n i （ Xi 珡 X） ，就得到及 c 的矩估计量为 n 钞 n i （ Xi 珡 X） ， c 珡 X n 钞 n i （ Xi 珡 X） 6 一地质学家为研究密歇根湖湖滩地区的岩石成分 ，随机地自该地区取 个样品 ， 每个样品有 块石子 ， 记录了每个样品中属石灰石的石子数 假设 这 次观察相互独立 ， 并且由过去经验知 ，它们都服从参数为 m ，p 的二 931第七章 参 数 估 计 项分布 ，p 是这地区一块石子是石灰石的概率 求 p 的最大似然估计值 该地质 学家所得的数据如下 ： 样品中属石灰石的石子数 i 观察到 i块石灰石的样品个数 解 设 X 为一个样品中属石灰石的石子数 ， 则 X b（ ，p） ， 由本章习题第 题知 p 的最大似然估计值为 p 珚x 由给出的数据得 珚 x ， 于是 p 7 （） 设 X，X， ，Xn是来自总体 X 的一个样本 ， 且 X （） ， 求 P X 的最大似然估计值 （） 某铁路局证实一个扳道员在五年内所引起的严重事故的次数服从泊松 分布 求一个扳道员在五年内未引起严重事故的概率 p 的最大似然估计 使用 下面 个观察值 下表中 ，r 表示一扳道员五年中引起严重事故的次数 ，s 表示 观察到的扳道员人数 r s 解 （） 设 x，x， ，xn是相应于样本 X，X， ，Xn的样本值 本题需求 P X e ！ e 的最大似然估计 由第 题知的最大似然估计值珚x ，又由于函数 u e 具有单值反函 数 ： ln u， 由最大似然估计的不变性知 P X e 的最大似然估计值为 P X e x （） 由所给数据 ， 得 珚 x 钞 i xi （ ） 041概率论与数理统计习题全解指南 由（）知 ， 扳道员五年内未引起严重事故的概率 p P X e 的最大似然 估计值为 p P X e x e 8 （） 设 X，X， ，Xn是来自概率密度为 f（ x ； ） x ， x ， ，其他 的总体的样本 ，未知 ， 求 U e 的最大似然估计值 （） 设 X，X， ，Xn是来自正态总体 N （，）的样本 未知 ，求 P X 的最大似然估计值 （） 设 x，x， ，xn是来自总体 b（m，）的样本值 ，又 （ ） ，求的 最大似然估计值 解 （） 先求的最大似然估计 似然函数为 L（） n i x i n n i xi ， ln L（） nln （ ）ln n i xi 令 dln L（） d n 钞 n i ln xi ， 得的最大似然估计值为 n 钞 n i ln xi （ 倡） U e 具有单调反函数 ，故由最大似然估计的不变性知 U 的最大似然估计 值为 U e ， 其中由（ 倡）所确定 （） 已知的最大似然估计为 珚 x 而 P X P X （ ）具有单调反函数 由最大似然估计的不变性得 P X 的最大似然 估计值为 （ ） （ 珚 x） （） 由本章习题第 题知二项分布 X b（m ，）的参数的最大似然估计为 珚 xm 由最大似然估计的不变性得 的最大似然估计值为 珚x m 9 （） 验证教材第六章 定理四中的统计量 141第七章 参 数 估 计 S w n n n S n n n S （n ）S （n ） S n n 是两总体公共方差 的无偏估计量（ S w称为 的合并估计） （） 设总体 X 的数学期望为，X，X， ，Xn是来自 X 的样本 ，a，a， ， an是任意常数 ， 验证（ 钞 n i aiXi） 钞 n i ai（其中 钞 n i ai ） 是的无偏估计量 证 （） 注意到 E（ S ） E（S ） ， 即有 E（S w） E （n ）S （n ） S n n n n （n ）E（ S ） （n ）E（ S ） ， 故 S w是 的无偏估计量 （） E（ 钞 n i aiXi） 钞 n i ai 钞 n i E（aiXi） 钞 n i ai 钞 n i aiE（ Xi） 钞 n i ai 钞 n i ai 钞 n i ai ， 这就证明了 钞 n i aiXi 钞 n i ai是的无偏估计量 10 设 X，X， ，Xn是来自总体 X 的一个样本 ， 设 E（ X） ，D（ X） （） 确定常数 c， 使 c 钞 n i （ Xi Xi） 为 的无偏估计 （） 确定常数 c 使（珡X） cS 是 的无偏估计（珡X ，S 是样本均值和样本 方差） 解 （） E c 钞 n i （ Xi Xi） c钞 n i E（ Xi Xi） c 钞 n i D（ Xi X i） E（ Xi X i） c 钞 n i D（ Xi ） D（ Xi） （n ）c （因 Xi ，Xi相互独立且 E（ Xi Xi） ） 要使E c 钞 n i （ Xi X i） （n ）c ， 应取 c （n ） （） 要使 E（珡X） cS E（珡X ） cE（S ） 241概率论与数理统计习题全解指南 n c ， 应取 c n 11 设总体 X 的概率密度为 f（ x ； ） x （ ） ， x ， ，其他 ， X，X， ，Xn是来自总体 X 的样本 （） 验证的最大似然估计量是 n 钞 n i ln Xi （） 证明是的无偏估计量 解 （） 似然函数为 L（） n n i x （ ） i， ln L（） nln ln n i xi 令 d dln L（） n 钞 n i ln xi ， 得 n 钞 n i ln xi 于是得到的最大似然估计量为 n 钞 n i ln Xi （） 因 E ln X （ ln x） x dx x ln x x x dx 从而知 E（） n 钞 n i E（ ln Xi） n n ， 故为的无偏估计 12 设 X，X，X，X是来自均值为的指数分布总体的样本 ，其中未 知 设有估计量 T （ X X） （ X X） ， T （ X X X X） ， 341第七章 参 数 估 计 T （ X X X X） （） 指出 T，T，T中哪几个是的无偏估计量 （） 在上述的无偏估计中指出哪一个较为有效 解 已知对于均值为的指数分布总体 X ，有 E（ X） ，D（ X） ，于是 E（ Xi） ，D（ Xi） ，i ， ， ， 所以 E（ T） E（ X） E（ X） E（ X） E（ X） ， E（ T） E（ X） E（ X） E（ X） E（ X） （ ） ， E（ T） E（ X） E（ X） E（ X） E（ X） （） 以上结果表明 T，T都是的无偏估计量 ， 但 T不是的无偏估计量 又 D（ T） D （ X X） （ X X） D（ X X） D（ X X） D（ X ） D（ X） D（ X） D（ X） ， 而 D（ T） D （ X X X X） 钞 i D（ Xi） D（ T） ， 故统计量 T较 T有效 13 （） 设是参数的无偏估计 ， 且有 D（） ，试证 （） 不是 的 无偏估计 （） 试证明均匀分布 f（ x） ， x ， ，其他 441概率论与数理统计习题全解指南 中未知参数的最大似然估计量不是无偏的 证 （） 由 D（） 及 E（） ， 得知 （） 的数学期望为 E（ ） E（ ） D（） E（） D（） ， 故 （） 不是 的无偏估计量 （） 似然函数为 L（） n， x，x， ，xn， ，其他 记 x（ n） max x，x， ，xn ， 由于 x，x， ，xn相当于 x（ n），因而上式相 当于 题 畅 图 L（） n， x（ n）， ， x（ n） 可知当 x（ n）时 ，L（） ；而当 x（ n）时 ， L（）随的增加而减少 ； 故 L（）在 x（ n）处取到 最大值（题 畅 图） ，即得的最大似然估计 值为 x（ n） max x，x， ，xn ， 于是的最大似然估计量为 max X，X， ，Xn 本题总体 X 的分布函数为 F（ x） ，x ， x ， x ， ， x 得 max X，X， ，Xn的分布函数为 F （ z） F max（ z） F（ z） n ，z ， （ z ） n ， z ， ，z 由此推得 的概率密度为 f （ z） f max（ z） n z n ， z ， ，其他 ， 541第七章 参 数 估 计 于是 E（） z f （ z）d z n z n d z n n z n n n ， 故不是的无偏估计量 14 设从均值为， 方差为 的总体中分别抽取容量为 n，n的两独立 样本 珡X和 珡 X分别是两样本的均值 试证 ：对于任意常数 a，b （a b ） ，Y a珡X b珡X都是的无偏估计 ， 并确定常数 a，b使 D（Y）达到最小 解 由 E（珡X） E（珡X）以及 a b ， 得知 E（Y） E（a珡X b 珡 X） aE（珡X） bE（珡X） a b （a b）， 即对于任意 a，b， 只要 a b ， 则 Y 都是的无偏估计量 又 D（珡X） n ， D（珡X） n ， 且 珡 X，珡X相互独立 ， 由此得 D（Y） D（a珡X b 珡 X） D（a珡X） D（b珡X） a D（珡X） b D（珡X） a n b n 将 b a 代入上式 ， 得到 D（Y） a n （ a） n 令 d daD（Y） a n （ a） n ， 得a n n n ， 从而b a n n n ， 又由于 d da D（Y） n n ， 故知当 a n n n ，b n n n 时 ，D（Y）达到最小 15 设有 k台仪器 ， 已知用第 i台仪器测量时 ， 测定值总体的标准差为i（i ， ， ，k） 用这些仪器独立地对某一物理量各观察一次 ， 分别得到 X，X， ， Xk 设仪器都没有系统误差 ， 即 E（ Xi） （i ， ， ，k） 问 a，a， ，ak取何值 ， 方能使使用 钞 k i aiXi估计时 ，是无偏的 ， 并且 D（）最小 ？ 641概率论与数理统计习题全解指南 解 要使是的无偏估计 ， 则必须 E（） EaX aX akXk （a a ak） 即必须a a ak （A） 又由题设知 D（ Xi） i，i ， ， ，k， 且 X，X， ，Xk相互独立 ， 故有 D（） D 钞 k i aiXi 钞 k i D（aiXi） 钞 k i a iD（ Xi） a a a k k 为求 D（）在条件（A）下的最小值 ， 用拉格朗日乘数法 ， 作函数 g（a ，a， ，ak，） a a a k k（a a ak ） 令 抄g 抄a a ， 抄g 抄a a ， ， 抄g 抄ak ak k ， 抄g 抄 钞 k i ai 得 a ， a ， ， ak k ， 钞 k i ai （B） 将前 k 个式子代入末式 ， 得 钞 k i i 在上式中记 钞 k i i ， 即有 ， 代入（B）式 ， 得 a ， a ， ， ak k ， 即当 ai i ，i ， ， ，k 时 ， 用 钞 k i aiXi估计时 ，是无偏的且其方差为 最小（相对于其他无偏估计来说） 16 设某种清漆的 个样品 ， 其干燥时间（以 h 计）分别为 设干燥时间总体服从正态分布 N（， ） 求的置信水平为 的置信区间 （） 若由以往经验知 h ， （） 若为未知 741第七章 参 数 估 计 解 （） 总体 X N（， ） ，未知 ， 已知 ，X，X， ，Xn是来自 X 的样 本 ， 需要求的置信水平为 的置信区间 ， 即需确定随机区间（，珋） ， 使得 P 珋 考虑P ？ 珡 X n ？ ， 题 畅 图 因 珡 X n N（ ， ） ， 如题 畅 图有 P z 珡 X n z 在 内的不等式中解出， 得 P 珡 X n z 珡 X n z ， 即得的一个置信水平为 的置信区间为 珡 X n z， 珡 X n z 今 n ， ， ， ，z ，并算得珚x ，得到 的一个置信水平为 的置信区间为 （ z ） （ ） （ ， ） （）为未知 ， 由于 珡 X Sn t（n ） ， 有 P t（n ） 珡 X Sn t（n ） 在 内的不等式中解出， 得 P 珡 X S n t（n ） 珡 X S n t（n ） ， 即得的一个置信水平为 的置信区间为 珡 X S n t（n ） ， 珡 X S n t（n ） 今 n ， ， ，t （） ，并算得珚x ，s 畅 ， 得到的一个置信水平为 的置信区间为 （ ） （ ， ） 17 分别使用金球和铂球测定引力常数（单位 ： m kg s ） （） 用金球测定观察值为 841概率论与数理统计习题全解指南 （） 用铂球测定观察值为 设测定值总体为 N（， ） ， 均为未知 试就（） ， （）两种情况分别求的置 信水平为 的置信区间 ， 并求 的置信水平为 的置信区间 解 （） n ，珚x ，s ， ， ，t（n ） t （） ， 得的一个置信水平为 的置信区间为 （珚x s n t（n ） （ ） （ ） （ ， ） 由于 （n ） S （n ） ， 有 P （n ） （n ）S （n ） 在 内的不等式中解出 ， 得 P （n ） S （n ） （n ） S （n ） ， 即得 的一个置信水平为 的置信区间为 （n ） S （n ） ， （n ）S （n ） 查表知 （n ） （） ， （） （） ，得到 的一个置信水平为 的置信区间为 （ ） ， （ ） （ ， ） （） n ，珚x ，s ，t （） ， （） ， （） ， 得到的一个置信水平为 的置信区间为 （ ） （ ） （ ， ） ， 的一个置信水平为 的置信区间为 （ ） ， （ ） （ ， ） 18 随机地取某种炮弹 发做试验 ，得炮口速度的样本标准差 s ms 设炮口速度服从正态分布 求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信水平为 941第七章 参 数 估 计 畅 的置信区间 解 今 n ，s ， ， ， （n ） （） 畅 ， （n ） （） ， 得到标准差的一个置信水平为 的置信区 间为 n S （n ） ， n S （n ） ， （ ， ） 19 设 X，X， ，Xn是来自分布 N（， ）的样本 ，已知 ，未知 （） 验证 钞 n i （ Xi ） （n） 利用这一结果构造 的置信水平为 的置信区间 （） 设 ，且有样本值 ， ， ， ， ， ， ， ，畅 ， 畅 试求的置信水平为 的置信区间 解 （） 因 Xi N（， ） ， 故 Xi N（ ， ） ，i ， ， ，n 由 X ，X ， ，X n 相互独立 ， 得 钞 n i Xi （n） 于是有 P （n） 钞 n i （ Xi ） （n） ， 即有 P 钞 n i （ Xi ） （n） 钞 n i （ Xi ） （n） 得 的置信水平为 的置信区间为 钞 n i （ Xi ） （n） ， 钞 n i （ Xi ） （n） （） 现在 n ， ， ， ，由样本值经计算得 钞 i （ Xi ） ，查表知 ， （） ， （） ，于是 的置信水平为 的置信区间为（ ， ） 的置信水平为 的置信区间为（ ， ） 20 在 题中 ， 设用金球和用铂球测定时测定值总体的方差相等 求两个 测定值总体均值差的置信水平为 的置信区间 051概率论与数理统计习题全解指南 解 由于 未知 ， 因而 （珡X 珡 X） （） Sw n n t（n n ） ， 其中 Sw （n ） S （n ） S n n ， 即有 P t（n n ） （珡X 珡 X） （ ） Sw n n t （n n ） 在 内的不等式中解出， 得 P 珡 X 珡 X t （n n ） Sw n n 珚 X 珚 X t （n n ）Sw n n ， 即得的一个置信水平为 的置信区间为 珡 X 珡 X t（n n ）Sw n n 今 n n ，t（n n ） t （） ，珚x珚x ， 得到 两个测定值总体均值差金铂的一个置信水平为 的置信区间为 （ ） （ ， ） 21 随机地从 A 批导线中抽 根 ， 又从 B 批导线中抽 根 ， 测得电阻（）为 A 批导线 ： B 批导线 ： 设测定数据分别来自分布 N（， ） ，N（， ） ， 且两样本相互独立 又， 均为未知 试求的置信水平为 的置信区间 解 将 A 批导线测定数据的均值 、 方差分别记为珔x，s ；B 批的均值 、 方差分 别记为珔x，s 则有 ， n ， 珔x ， s ； n ， 珔x ， s ， s w s s （ ） ， ， ， t（n n ） t （） 151第七章 参 数 估 计 得的一个置信水平为 的置信区间 珚x珚x t （n n ）sw n n （ ） （ ， ） 22 研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率 设两者都服从正态分布 ，并且 已知燃烧率的标准差均近似地为 cm s ， 取样本容量为 n n 得燃烧 率的样本均值分别为珚x cm s ，珚x cm s ， 设两样本独立 求两燃烧率总 体均值差的置信水平为 的置信区间 解 分别记两种固体燃料火箭推进器的燃烧率总体为 X和 X， 按题意 X N（， ） ，X N（， ） ， 其中，未知 ， ， 已知 ， 两样本独立 ， 此时有 珡 X 珡 X N ， n n ， （珡X 珡 X） （ ） n n N（ ， ） ， 因而有 P z （珡X 珡 X） （） n n z 在 内的不等式中解出， 得 P（珡X 珡 X） z n n （珡X 珡 X） z n n ， 即得的一个置信水平为 的置信区间为 珡 X 珡 X z n n 今 ，n n ，珚x ，珚x ， 畅