概率论与数理统计徐雅静版课后题答案17章.pdf

1 1 习题答案 第 1 章 三、解答题 1设P(AB) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1)A和B不相容； (2)A和B相容； (3)AB是不可能事件； (4)AB不一定是不可能事件； (5)P(A) = 0 或P(B) = 0 (6)P(AB) =P(A) 解：(4) (6)正确. 2设A，B是两事件，且P(A) = 0.6，P(B) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：因为)()()()(BAPBPAPABP+， 又因为)()(BAPBP即. 0)()(BAPBP所以 (1) 当)()(BAPBP=时P(AB)取到最大值，最大值是)()(APABP=0.6. (2)1)(=BAP时P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=0.6+0.7-1=0.3. 3已知事件A，B满足)()(BAPABP=，记P(A) =p，试求P(B) 解：因为)()(BAPABP=， 即)()()(1)(1)()(ABPBPAPBAPBAPABP+=， 所以.1)(1)(pAPBP= 4已知P(A) = 0.7，P(AB) = 0.3，试求)(ABP 解：因为P(AB) = 0.3，所以P(A) P(AB) = 0.3, P(AB) =P(A) 0.3, 又因为P(A) = 0.7，所以 P(AB) =0.7 0.3=0.4，6 . 0)(1)(=ABPABP. 5 从 5 双不同的鞋子种任取 4 只，问这 4 只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有 4 10 Cn=种，以下求至少有两只配成一双的取法k： 法一：分两种情况考虑： 1 5 Ck= 2 4 C 21 2) (C+ 2 5 C 其中： 21 2 2 4 1 5 )(CCC为恰有 1 双配对的方法数 法二：分两种情况考虑： !2 1 6 1 8 1 5 CC Ck =+ 2 5 C 其中： !2 1 6 1 8 1 5 CC C 为恰有 1 双配对的方法数 2 2 法三：分两种情况考虑：)( 1 4 2 8 1 5 CCCk=+ 2 5 C 其中：)( 1 4 2 8 1 5 CCC为恰有 1 双配对的方法数 法四：先满足有 1 双配对再除去重复部分： 2 8 1 5C Ck=- 2 5 C 法五：考虑对立事件： 4 10 Ck=- 4 5 C 41 2) (C 其中： 4 5 C 41 2) (C为没有一双配对的方法数 法六：考虑对立事件： !4 1 4 1 6 1 8 1 10 4 10 CCCC Ck = 其中： !4 1 4 1 6 1 8 1 10 CCCC 为没有一双配对的方法数 所求概率为. 21 13 4 10 = C k p 6在房间里有 10 个人，分别佩戴从 1 号到 10 号的纪念章，任取 3 人记录其纪念章的号码求： (1) 求最小号码为 5 的概率； (2) 求最大号码为 5 的概率 解：(1) 法一： 12 1 3 10 2 5 = C C p，法二： 12 1 3 10 2 5 1 3 = A AC p (2) 法二： 20 1 3 10 2 4 = C C p，法二： 20 1 3 10 2 4 1 3 = A AC p 7将 3 个球随机地放入 4 个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为 1，2，3 的概率 解：设M1,M2,M3表示杯子中球的最大个数分别为 1，2，3 的事件，则 8 3 4 )( 3 3 4 1 = A MP, 16 9 4 )( 3 2 4 2 3 2 = = AC MP, 16 1 4 )( 3 1 4 3 = C MP 8设 5 个产品中有 3 个合格品，2 个不合格品，从中不返回地任取 2 个，求取出的 2 个中全是合格品， 仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？ 解：设M2,M1,M0分别事件表示取出的 2 个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则 3 . 0)( 2 5 2 3 2 = C C MP,6 . 0)( 2 5 1 2 1 3 1 = C CC MP,1 . 0)( 2 5 2 2 1 = C C MP 9口袋中有 5 个白球，3 个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率 解：设M1=“取到两个球颜色相同” ，M1=“取到两个球均为白球” ，M2=“取到两个球均为黑球” ，则 = 2121 MMMMM且. 所以. 28 13 C C C C )()()()( 2 8 2 3 2 8 2 5 2121 =+=+=MPMPMMPMP 10 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于 6/5”的概率 解：这是一个几何概型问题以x和y表示任取两个数，在平面上建立xOy直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间 =(x，y)：0 x，y 1 事件A=“两数之和小于 6/5”= (x，y) ：x+y 6/5 因此 3 3 25 17 1 5 4 2 1 1 )( 2 = = = 的面积 的面积A AP 图？ 11随机地向半圆 2 20xaxy= e k kXP k 为参数，k= 0，1， 4. +1 1 5. eFXP，() 2 5 eBY， 则50,1,k,)1()( 522 5 = kkk eeCkYP 0.5167110-11 52 = ）（eYPYP 10. (1)、由归一性知： + = 2 2 2cos)(1 axdxadxxf，所以 2 1 =a. (2)、 4 2 |sin 2 1 cos 2 1 4 0 4 0 4 0 =XPXP221=XP )2()2(1=FF)5 . 2()5 . 0(1= )5 . 0()5 . 2(1=3023.01=6977 . 0 = 313=XPXP)3(1F=)0(1=5 . 01=5.0= (2)cXPcXP=1，则 2 1 =cXP 2 1 ) 2 3 ()(= = c cF，经查表得 2 1 )0(=，即0 2 3 = c ，得3=c；由概率密度关于 x=3 对称也容易看出。 (3)dXPdXP=1)(1dF=9 . 0) 2 3 (1 = d ， 则1 . 0) 2 3 ( d ，即9 . 0) 2 3 -( d ，经查表知8997 . 0 )28 . 1 (=， 故28 . 1 2 3 - d ，即44.0d； 14. 解：kXPkXP=1kXkP= 1)()(1 kk += )(22 k =1 .0= 所以95 . 0 )(= k ，95 . 0 )()(=y时，yxpyepyF x Y ln)(= 2 2 2 )(ln 2 11 ) )(ln()()( = y YY y yFyFyfe e e e 所以 Y 的概率密度为 0 0e 2 1 0 1 )( 2 2 2 )(ln = y y y yf y Y ； 18. 解)1,0(UX， ? 10 0 1 )( y时， )(yFY)ln 2 1 (ln 2 1 yFyXP X = =， 其他 其他 42 42 0 2 1 )ln 2 1 ( 0 2 1 ) )ln 2 1 ()()( exe y exeyf yFyFyf X YY y时，()()( 3 yFyFyXyPyF XXY =， ()()( 2 1 )()()( 33 yfyf y yFyFxFyf XXYY += 16 16 所以 () 0, 0, 0 )( 2 1 )( 3 + = y yyfyf y yf XX Y ， 因为 其他 11 0 2 3 )( 2 + y 时，即y1 时， 2 1 2 1 0 -1 2 1- )( 1 yy x Y edxe y XPyF = ， 所以 其他， ，1 1 , 0 2 1 )( 2 1 1 = y y e yf y Y ； （2）)( 2 2 yePyYPyF X Y =， 当0y时，ye X 为不可能事件，则0)( 2 =yePyF X Y ， 当10y时，0lny，则 y dxeyXPyF y x Y 1 1ln)( ln 0 2 = ， 根据)()( 22 yFyf YY =得 = 1, 1 1 , 0 )( 2 2 y y y yfY； 19 19 （3）)( 2 3 3 yXPyYPyFY=， 当0y时，0)( 2 3 =yXPyFY， 当0y时， y y x Y edxeyXyPyXPyF = 1)( 0 2 3 ， 所以 = 0, 2 0 , 0 )( 3 y y e y yf y Y ； 7. (1) 证明：由题意知 0 0 , , 0 2 )( 2 = x xe xf x 。 2 1 2 1 1 yePyYPyFeY X Y x = ）（， 当0y时，0 1 =）（yFY即0 1 =）（yfY， 当10=xf xf yxf xyf X X XY = += = + 0,1 0,1 ),()( 1 1 yydx yydx dxyxfyf y y Y 当y0 时， 0 时， + x dydxyxdydxyxfXP 24 24 13 解：Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的所有可能取值如下表 pi0.050.150.20.070.110.220.040.070.09 (X,Y)(0,-1)(0,0)(0,1)(1,-1)(1,0)(1,1)(2,-1)(2,0)(2,1) max(X,Y)001111222 Min(X,Y)-100-101-101 Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的分布律为 Z012 Pk0.20.60.2 W-101 Pj0.160.530.31 14 解： = 0 , 0 0, 1 )( x xe xf x X = 0 , 0 0, 1 )( y ye yf y Y 由独立性得X，Y的联合概率密度为 = + 其它 , 0 0 , 0 , 1 ),( 2 yxe yxf yx 则PZ=1=PXY= 2 11 ),( 00 2 = + + x yx yx dydxedxdyyxf PZ=0=1-PZ=1=0.5 故Z的分布律为 Z01 Pk0.50.5 15 解： + = 其它, 0 1, 1 ),( 22 yx yxf = 0 , 0 0, )( Y y ye yf y 利用卷积公式： + =dyyfyzfzf YXZ )()()( + = 其它 , 0 1 , 0 , )()( yzyye yfyzf y YX + =dyyfyzfzf YXZ )()()( = 0) 同理，)1( 2 1 )(+= yeyf y Y y0 显然，)()x(yff YX ，所以X与Y不相互独立 26 26 (2).利用公式 + =dxxzxfzf XZ )()(， = + = + 其它其它 , 0 , 0 , 2 1 , 0 0 , 0 ,)( 2 1 ),( )( xzxzexzxexzx xzxf zxzx X + =dxxzxfzf XZ )()(， = = 0 , 0 0, 2 1 0 , 0 0, 2 1 2 0 z zez z zdxze z z z 19 解：并联时，系统 L 的使用寿命Z=maxX,Y 因XE(),YE(),故 = 0 , 0 0, 1 )( x xe xf x X = 0 , 0 0, 1 )( y ye yf y Y = 0, 0 0,1 )( x xe xF x X = 0 , 0 0,1 )( y ye yF y Y = 0, 0 0),1)(1( )()()( z zee zFzFzF z z YXZ + = + 0 , 0 0,) 11 ( 11 )( 11 z zeee zf z z z Z 串联时，系统L的使用寿命Z=minX,Y = + 0 , 0 0,1 )(1)(11)( 11 z ze zFzFzF z YXZ + = + 0 , 0 0, 11 )( 11 z ze zf z Z (B)组 1解：PX=0=a+0.4,PX+Y=1=PX=1,Y=0+PX=0,Y=1=a+b PX=0,X+Y=1=PX=0,Y=1=a 由于X=0|与X+Y=1相互独立, 所以 PX=0,X+Y=1=PX=0PX+Y=1 27 27 即a=(a+0.4)(a+b)(1) 再由归一性知： 0.4+a+b+0.1=1(2) 解(1),(2)得a=0.4,b=0.1 2 解:(1) 24 7 )2(),(2 1 0 2 0 2 = x yx dydxyxdxdyyxfYXP (2) 利用公式dxxzxfzfZ + =),()(计算 = .0 ,0, 9 1 )( 3/ 其它 xxe xf x 求一天的平均耗电量 33 33 解：E(X) = = 0 3/2 0 3/ 9 1 9 1 )(dxexdxxexdxxfx xx =6. 8. 设某种家电的寿命X（以年计）是一个随机变量，其分布函数为 = .0 , 5, 25 1 )( 2 其它 x x xF 求这种家电的平均寿命E(X) 解：由题意知，随机变量X的概率密度为)()(xFxf= 当x5 时，=)(xf 33 50252 xx = ，当x5 时，=)(xf0. E(X) =10| 5050 )( 5 -5 3 = + + + x dx x xdxxxf 所以这种家电的平均寿命E(X)=10 年. 9. 在制作某种食品时，面粉所占的比例X的概率密度为 0， 常数）， 求W的数学期望 解：V的分布律为 = 3 = 2 1 2 sin 2 cos 2 1 )( 3/ 3/3/ = x dx x dxxf 所以E(Y)= 4p =2，D(Y)= 4p(1-p)=1，E(Y2) =D(Y)+E(Y)2=1+4=5 3. 设随机变量U在区间(-2，2)上服从均匀分布，随机变量 . 1, 1 1, 1 ; 1, 1 1, 1 = = U U Y U U X 若 若 若 若 试求：(1)X和Y的联合分布律；(2)(YXD+ 解：(1) = 其他,0 22, 4 1 )( u ufU PX =-1,Y =-1=PU-1 且U1=PU-1= 4 1 4 1 1 2 = du ， PX =-1,Y =1=PU-1 且U1= 0， PX =1,Y =-1=P-1 -1 且U1=PU 1= 4 1 4 1 2 1 = du ， 所以X和Y的联合分布律为 X Y -11 -11/41/2 101/4 (2)X和Y的边缘分布律分别为 X 11 pi1/43/4 Y 11 pi3/41/4 所以E(X)= -1/4+3/4=1/2，E(Y)= -3/4+1/4=-1/2，E(XY)= 1/4-1/2+1/4=0， E(X2)= 1/4+3/4=1，E(Y2)=1，D(X)=1-1/4=3/4，D(Y)=1-1/4=3/4， Cov(X，Y)=1/4，D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=3/4+3/4+2/4=2 40 40 4. 设随机变量X的期望E(X)与方差)(XD存在，且有)0()(,)(=bbXDaXE， b aX Y = ，证明 1)(, 0)(=YDYE 证明：首先证明E（Y）存在 (1) 若随机变量X为离散型随机变量，分布律为：, 2 , 1,=ipxXP ii 则由E(X)存在知， = = 1 )( i iip xXE 绝对收敛，且,)(aXE= 记 )(Xg b aX Y= = ,则 b p b ax pxg i i i i ii 1 )( 11 = = = = =1i iip x b a 绝对收敛， 所以E（Y）存在， 0)(= = b aX EYE , 1 )( )(= = b XD b aX DYD (2) 若X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),则： ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )()( ) ( )()( )1 11 0 11 1 1 1 = = = = = = + + + + + + XD b aXD bb aX DYD aXE b aXE bb aX EYEYE axdxxf b xdxxf axdxxf b xdxafxdxxf b xdxf b aX xdxfxXE 存在，且即 绝对收敛绝对收敛，所以因为 则 绝对收敛。存在知由 5. 设离散型随机变量X的分布律为), 2 , 1(,=kpxXP kk ，且E(X)，E(X 2)，D(X)都存在，试证 明：函数 = = 1 2 )()( k kk pxxxf 在)(XEx=时取得最小值，且最小值为D(X) 证明：令 0)(2 )( 1 = =k kk pxx dx xdf ， 则 0 11 =+ = =k k k kk xppx ， 0)( 11 =+=+ = = xXEpxpx k k k kk ，所以，)(XEx= 又01 )( 2 2 = dx xfd ，所以)(XEx=时， = = 1 2 )()( k kk pxxxf 取得最小值，此时 )()()( 1 2 XDpXExXEf k kk = = 6. 随机变量X与Y独立同分布，且X的分布律为 X12 pi2/31/3 记),min(),max(YXVYXU=， 41 41 (1) 求(U，V)的分布律； (2) 求U与V的协方差Cov(U，V). 解：(1)(X,Y)的分布律 Y X 12 14/92/9 22/91/9 (X,Y) （1，1）（1，2）（2，1）（2，2） pij 4/9 2/92/91/9 U 1 222 V 1 112 V U 12 14/90 24/91/9 (2)E(U)= 4/9+25/9=14/9， E(V)= (4/9+2/9+2/9)+ 21/9=10/9， E(UV)= 4/9+24/9+41/9=16/9, Cov(U，V)=16/9-140/81=4/81 7. 随机变量X的概率密度为 = 1920 16 1i i = = 19201 16 1i i = = 160000 16001920 100006 .1 1600 1 16 1i i ()8 . 01=1- 0.7881= 0.2119 4. 某商店负责供应某地区 1000 人商品，某种商品在一段时间内每人需要用一件的概率为 0.6，假定在这 一时间段各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以 99.7%的概率保证不会脱销（假定该 商品在某一时间段内每人最多可以买一件） 解：设商店应预备n件这种商品，这一时间段内同时间购买此商品的人数为X， 则XB（1000，0.6） ，则E(X) = 600，D(X) = 240， 根据题意应确定最小的n，使PXn= 99.7%成立. 则PXn)75 . 2 (997 . 0 ) 240 600 ( 240 600 240 600 = = nnX 所以 6 . 64260024075 . 2 =+=n，取n=643。 即商店应预备 643 件这种商品，才能以 99.7%的概率保证不会脱销。 5. 某种难度很大的手术成功率为 0.9， 先对 100 个病人进行这种手术，用X记手术成功的人数，求P84 XPXP = )017 . 0 1(170 017 . 0 10000200 1 45 45 01.0)321.2(1= 所以保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率是 0.01 四、应用题 1. 某餐厅每天接待 400 名顾客，设每位顾客的消费额（单位：元）服从区间(20，100)上的均匀分布，且 顾客的消费额是相互独立的，求该餐厅的日营业额在其平均营业额760 元内的概率 解：设每位顾客的消费额为Xi，i=1,2,400, 且XiU(20，100)，则 ()() () 3 1600 12 8080 12 20100 ,60 2 20100 2 = = = + = ii XDXE， 由独立同分布的中心极限定理 = 3 1600 60,400400 400 1 NX i i 近似 , 所以 () ()9505.016454.12 137602 3760 3 1600 400 24000 3760 3 1600 400 760 3 1600 400 24000 3 1600 400 760 76024000760 76060400 400 1 400 1 400 1 400 1 = = = = = = = = = i i i i i i i i X P X P XP XP 2. 设某型号电子元件的寿命（单位：小时）服从指数分布，其平均寿命为 20 小时，具体使用时当一元件 损坏后立即更换另一新元件，已知每个元件进价为 110 元，试问在年计划中应为此元件作多少元的预算，才可 以有 95%的把握保证一年的供应（假定一年工作时间为 2000 小时） 解：设应为这种元件作m元的预算，即需进m/110 个元件， 记第i件的寿命为Xi小时，i =1，2，3 ,m/110，且XiE(20)， 所以E（Xi）= 20 ，D(Xi) = 400， = 110/ 1 2000 m i i XP = ) 110 11000 (1 110/20 110/202000 110/400 110/20 1 m m m m m mX P n i i = = =0.95 )645 . 1 (95 . 0 ) 110 11000 (= m m ，所以,645 . 1 110 11000 = m m 所以m=12980 即在年计划中应为此元件作 12980 元的预算，才可以有 95%的把握保证一年的供应. 3. 据调查某村庄中一对夫妻无孩子、有 1 个孩子、有 2 个孩子的概率分别为 0.05，0.8，0.15若该村共 有 400 对夫妻，试求：(1) 400 对夫妻的孩子总数超过 450 的概率；(2) 只有 1 个孩子的夫妻数不多于 340 的概 率 解：(1) 设第k对夫妻 孩子数为Xk，则Xk的分布律为 46 46 Xk012 p0.050.80.15 则1 . 115 . 0 280 . 0 105 . 0 0)(=+= k XE，19 . 0 )()()( 22 = kkk XEXEXD 76 440 19 . 0 400 1 . 1400 400 1 400 1 = =k k k k XX 故 1357 . 0 )147. 1 (1) 76 440450 (1) 76 440450 76 440 ()450( 400 1 400 1 = = = = k k k k X PXP 即400对夫妻的孩子 总数超过 450 的概率为 0.1357 (2) 设Y为只有一个孩子的夫妻对数，则YB(400,0.8)， = 2 . 08 . 0400 8 . 0400340 2 . 08 . 0400 8 . 0400 340 Y PYP 9938.0)5.2() 2.08.0400 8.0400340 (= 即只有 1 个孩子的夫妻数不多于 340 的概率为 0.9938 （B） 1. 设随机变量X的概率密度为 = 其它 , 0 0, ! )( xe m x xf x m ，m为正整数， 证明： 1 )1(20 + + = n 查表得 ,975.0)96.1(= 由于)(x是递增函数，须使,96.15.0n解得 n15.366,故 n 至少为 16. 5. 从正态总体 2 ( ,0.5 )N 中抽取样本X1，X2，X10 (1) 已知= 0，求 = 10 1 2 4 i i XP ； (2)未知，求 = 10 1 2 675 . 0 )( i i XXP 解： （1）因为XiN(0，0.5 2)， ()1 , 0 5 . 0 0 N Xi ，即()1 , 0 2NX i , 令 = = 10 1 22 )2( i i X ，则 )10()2( 2 10 1 22 = = i i X 由于 1616)2(4 2 10 1 2 10 1 2 = = = PXPXP i i i i 查表知16)10( 2 1 . 0 =，所以1 .0164 2 10 1 2 = = PXP i i . (2) ）因为XiN(，0.5 2)，即 10 25 . 0 ,NX ，所以 ()275.0,0NXXi,()1 , 0 275 . 0 N XX i , )10() 275 . 0 ( 2 10 1 2 = i i XX 49 49 = 10 1 2 675 . 0 )( i i XXP = = = 10 1 2 10 1 2 4545.2) 275.0 ( 275.0 675.0 ) 275.0 ( i i i i XX P XX P ， 查表知45 . 2 )10( 2 992 . 0 ，所以 992 . 0 675 . 0 )( 10 1 2 = =i i XXP 6. 已知Xt(n)，求证X 2 F(1，n) 证明：因为Xt(n)，存在YN(0，1)，Z2(n)，Y与Z独立，使 nZ Y X= ， 由于 )1( 22 Y ， )( 2 nZ ，且Y2与Z独立，所以 ), 1 ( 2 2 nF nZ Y X= . 第七章 7（A） 三、解答题 1. 设总体X服从几何分布， 分布律为,2 , 1,)1( 1 = kppkXP k ， (10是未知参数， 1, , n XX是来 自X的简单随机样本，求和的矩估计量 解：总体X的一阶为 . | 1 )( /)( /)(/)( /)( /)( 1 += += = = + + + + x xx x x de dxexe xde dxexXE 总体X的二阶为 51 51 22 222 /)(/)(2 /)(2 /)(22 2 )( 22)(2 2| 1 )( += +=+= += = = + + + dxxeex dex dxexXE xx x x 用样本的一阶、二阶矩A1和A2分别代替总体的一阶、二阶矩1和2，得到 += += 22 2 1 )( A A 解得和的矩估计量为 = = n i i XX n AA 1 22 12 )( 1 ， = = n i i XX n XAAA 1 22 121 )( 1 . 5. 设),(pmBX，m已知，10 = ,0 ,2 );( )(2 x xe xf x 0为未知参数， n xxx,., 21 是X的一组样本观测值，求的最大似然估计值 解：设X1，X2，Xn为总体X的一个样本，基于样本观测值x1，x2，xn的似然函数为 = = = 其它,0 ,.,2 );();,.,()( 21 )(2 1 21 1 n x n n i in xxxe xfxxxLL n i i 容易看出越大L()越大，在约束 n n n n x x x xx x x xx x x x,.,.,.,., , , , 2 2 2 21 1 1 1 下， ,.,min 21n xxx= 即为最大似然估计值。 8. 设 21,X X是取自总体N(，1)的一个样本，试证下面三个估计量均为的无偏估计量，并确定最有效的 一个 53 53 21 3 1 3 2 XX+ ， 21 4 3 4 1 XX+ ， (). 2 1 21 XX+ 证明：因为 21,X X独立均服从N(，1)，且 , 3 1 3 2 )( 3 1 )( 3 2 ) 3 1 3 2 ( 2121 =+=+=+XEXEXXE , 4 3 4 1 )( 4 3 )( 4 1 ) 4 3 4 1 ( 2121 =+=+=+XEXEXXE . ,)() 2 1 2 1 ( 21 =+XEXXE 所以 21 3 1 3 2 XX+ ， 21 4 3 4 1 XX+ ， (). 2 1 21 XX+ 均为的无偏估计量。又因为 , 9 10 9 1 9 9 )( 9 1 )( 9 4 ) 3 1 3 2 ( 2121 =+=+=+XDXDXXD , 8 5 16 9 16 1 )( 16 9 )( 16 1 ) 4 3 4 1 ( 2121 =+=+=+XEXEXXD , 2 1 2 )( )() 2 1 2 1 ( 21 =+ XD XDXXD 所以 (). 2 1 21 XX+ 最有效。 9. 设总体X的数学期望为， 1, , n XX是来自X的简单随机样本 n aaa, 21 是任意常数,证明 )0( 111 = n i i n i i n i ii aaXa 是的无偏估计量 证明：因为Xi的数学期望均为，所以 ,)()( 111111 = = n i i n i i n i i n i ii n i i n i ii aaaXaEaXaE 故 )0( 111 = n i i n i i n i ii aaXa 是的无偏估计量 10. 设总体 2 1 ( ,), n XNXX 是来自X的一个样本 (1) 试确定常数c，使 = + 1 1 2 1 )( n i ii XXc为 2的无偏估计; (2) 试确定常数c，使)( 22 cSX为 2的无偏估计 解： （1）因为 2 1 1 2 1 1 1 1 22 1 1 222 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 )1(2)2( )(2)( )()()(2)( )()()(2)( )2()( = += += += += = = = = = = = + = = = + = = = + = + ncc c XEXEXEXEc XEXEXEXEc XXXXEcXXcE n i n i n i n i n i n i ii n i ii n i n i ii n i ii n i n i ii n i ii n i ii 54 54 所以当 ) ) ) )1 1 1 1( ( ( (2 2 2 2 1 1 1 1 = = = = n n n n c c c c时 = + = 1 1 22 1 )( n i ii XXcE， = + 1 1 2 1 )( n i ii XXc为 2的无偏估计。 （2）因为 22 2 22222 )()()()()()( c n XcDXEXDScEXEcSXE += += 所以当 n n n n c c c c 1 1 1 1 = = = =时 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 ) ) ) )( ( ( ( = = = = cScScScSX X X XE E E E，)( 22 cSX为 2的无偏估计。 11. 设某种清漆的 9 个样品，其干燥时间（以小时计）分别为 6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0 设干燥时间总体服从N(， 2)；在下面两种情况下，求 的置信水平为 0.95 的置信区间 (1) 由以往的经验知= 0.6 (小时); (2)未知 解： （1）由于= 0.6，求的置信区间由公式 + 22, z n Xz n X 计算， 其中 n=9，=0.05， = 025 . 0 2 zz 1.96， 6 9 1 9 1 = =i i xx ， 代入计算得的置信水平为 0.95 的置信区间为 （5.608， 6.392）. （2）由于未知，求的置信区间由公式 +)1(),1( 22 nt n S Xnt n S X 计算， 其中 n=9，=0.05，)8()8( 025. 02 tt= =2.306， 6 6 6 6 9 9 9 9 1 1 1 1 9 9 9 9 1 1 1 1 = = = = = = = = = = =i i i i i i i i x x x xx x x x ，33. 0)( 1 1 2 1 2 = = = n i i xx n s， 代入计算得的置信水平为 0.95 的置信区间为（5.558，6.442） 12. 某机器生产圆筒状的金属品，抽出 9 个样品，测得其直径分别为 1.01，0.97，1.03，1.04，0.99，0.98， 0.99，1.01，1.03 公分，求此机器所生产的产品，平均直径的置信水平为 99%的置信区间假设产品直径近似 服从正态分布 解：设XN(,2),由于2未知，的置信区间为 +)1(),1( 22 nt n S Xnt n S X ， 其中 n=9，=0.01， 3554.3)8()8( 005 . 0 2 =tt ， 0056 . 1 9 1 9 1 = =i i xx ， 0006 . 0 )( 1 1 2 1 2 = = = n i i xx n s， 代入计算得的置信水平为 99%的置信区间为（0.978，1.033）. 13. 某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取 9 只进行寿命测试， 取得数据如下 （单位： 小时） ： 1050， 1100， 1080，1120，1250，1040，1130，1300，1200设灯泡寿命服从正态分布，试求当天生产的全部灯泡的平均寿 命的置信水平为 95%的置信区间 解：设XN(,2),由于未知，的置信区间为 +)1(),1( 22 nt n S Xnt n S X ， 55 55 其中 n=9，=0.05，)8()8( 025.02 tt= =2.306， 11.1141 9 1 9 1 = =i i xx ， 11.8136)( 1 1 2 1 2 = = = n i i xx n s 代入计算得的置信水平为 95%的置信区间为（1071.78，1210.45）. 14. 假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布，现随机抽取此种香烟 8 支为一样本，测得其尼古丁平均含 量为 18.6 毫克，样本标准差s= 2.4 毫克，试求此种香烟尼古丁含量方差的置信水平为 0.99 的置信区间 解：设XN(,2),由于未知，2的置信区间为 ) 1( ) 1( , ) 1( )1( 2 21 2 2 2 2 n Sn n Sn 其中n=8，=0.01， 9892.0 )7() 1(,2777.20)7() 1( 2 995 . 0 2 21 2 005 . 0 2 2 = nn ，s= 2.4， 代入计算得的置信水平为 95%的置信区间为（1.99，40.76）. 15. 从某汽车电池制造厂生产的电池中随机抽取 5 个，测得其寿命分别为 1.9，2.4，3.0，3.5，4.2，求电 池寿命方差的置信水平为 95%的置信区间，假设电池寿命近似服从正态分布 解：设XN(,2),由于未知，2的置信区间为 ) 1( ) 1( , ) 1( )1( 2 21 2 2 2 2 n Sn n Sn 其中n=5，=0.05， 4844 . 0 )4() 1(,1433.11)4() 1( 2 975 . 0 2 21 2 025 . 0 2 2 = nn ， 3 5 1 5 1 = =i i xx ， 815. 0)( 1 1 2 1 2 = = = n i i xx n s ， 代入计算得方差的置信水平为 95%的置信区间为（0.29，6.73）. 16. 设使用两种治疗严重膀胱疾病的药物，其治疗所需时间（以天计）均服从正态分布试验数据如下: 使用第一种药物5 . 1,17,14 2 111 =sxn 使用第二种药物8 . 1,19,16 2 222 =sxn 假设两正态总体的方差相等，求使用两种药物平均治疗时间之差 2 2 2 21 1 1 1 的置信水平为 99%的置信区间 解：设两正态总体分别为XN(1,12)，YN(2,22)，由于12=22未知， 12 的置信区间为 + 21 212 11 )2( nn SnntYX w ， 其中 5 . 1,17,14 2 111 =sxn 8 . 1,19,16 2 222 =sxn 2887.1 21614 8 .1155 .114 2 )1() 1( 21 2 22 2 11 = + + = + + = nn snsn sw 查t分布分位数表知t/2(