2020版高中数学第三章导数及其应用章末复习学案新人教B版.docx

第三章 导数及其应用章末复习学习目标1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握基本初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题1在xx0处的导数(1)定义：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数(2)几何意义：函数yf(x)在xx0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0)处的切线斜率2基本初等函数的导数公式原函数导函数yC(C为常数)y0yxnynxn1(n为自然数)ysinxycosxycosxysinxyax(a0，a1)yaxlnayexyexylogax(a0且a1，x0)yylnxy3.导数的运算法则和差的导数f(x)g(x)f(x)g(x)积的导数f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)商的导数(g(x)0)4.函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数如果在(a，b)内，f(x)0，则f(x)在此区间内单调递增；f(x)0，则f(x)在此区间内单调递减(2)函数的极值与导数已知函数yf(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小值f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点极大值与极小值统称为极值极大值点与极小值点统称为极值点5求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点(2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值题型一导数几何意义的应用例1设函数f(x)x3ax29x1(a0)，直线l是曲线yf(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10xy6平行(1)求a的值；(2)求f(x)在x3处的切线方程考点切线方程求解及应用题点求曲线的切线方程解(1)f(x)x22ax9(xa)2a29，f(x)mina29，由题意知a2910，a1或1(舍去)故a1.(2)由(1)得a1.f(x)x22x9，则kf(3)6，f(3)10.f(x)在x3处的切线方程为y106(x3)，即6xy280.反思感悟利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由f(x1)和y1f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型跟踪训练1已知直线ykx是曲线yex的切线，则实数k的值为()A.BCeDe考点切线方程求解及应用题点根据切点或切线斜率求值答案D解析yex，设切点为(x0，y0)，则x01，ke.题型二函数的单调性与导数例2已知函数f(x)x2alnx(aR)(1)若f(x)在x2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间解(1)f(x)x，因为x2是一个极值点，所以20，则a4.此时f(x)x，因为f(x)的定义域是(0，)，所以当x(0,2)时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0，所以当a4时，x2是一个极小值点(2)因为f(x)x，x(0，)，所以当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)当a0时，f(x)x，当0x时，f(x)0，当x时，f(x)0，所以函数f(x)的单调递增区间为(，)；单调递减区间为(0，)综上，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)；当a0时，f(x)的单调递增区间为(，)，单调递减区间为(0，)反思感悟(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集跟踪训练2已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在R上单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由解(1)求导得f(x)3x2a，因为f(x)在R上是增函数，所以f(x)0在R上恒成立即3x2a0在R上恒成立，即a3x2，而3x20，所以a0.当a0时，f(x)x31在R上单调递增，符合题意所以a的取值范围是(，0(2)假设存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，则f(x)0在(1,1)上恒成立即3x2a0在(1,1)上恒成立，即a3x2，又因为在(1,1)上，03x23，所以a3.当a3时，f(x)3x23，在(1,1)上，f(x)0；当x时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为3，2)和，单调递减区间为.又f(2)13，f，f(3)8，f(1)4，所以f(x)在区间3,1上的最大值为13.反思感悟(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f(x)的正负(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者跟踪训练3已知函数f(x)lnx，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值解(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx知，f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)lnx，则f(x).令f(x)0，解得x1或x5.因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数所以函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln5，无极大值题型四生活中的优化问题例4某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大考点题点解(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh(元)，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又由题意知200rh160r212000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r0，又由h0可得0r0，故V(r)在(0,5)上为增函数当r(5,5)时，V(r)0)(2)f(x)2x2(e1)(x0)，当x1,2e时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表所示：x1，e)e(e,2ef(x)0f(x)极大值由上表得f(x)x22(e1)x2elnx2在1,2e上的最大值为f(e)，且f(e)e22.即月生产量在1,2e万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为e22(万元)，此时的月生产量为e万件导数中不等式证明问题典例已知函数f(x)xax2lnx(a0)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，证明：f(x1)f(x2)32ln2.考点题点(1)解f(x)(x0，a0)，不妨设(x)2ax2x1(x0，a0)，(*)则关于x的方程2ax2x10的判别式18a.当a时，0，(x)0，故f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减；当0a0，方程f(x)0有两个不相等的正根x1，x2，不妨设x1x2，则当x(0，x1)及x(x2，)时，f(x)0，f(x)在(0，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增(2)证明由(1)知当且仅当a时，f(x)有极小值点x1和极大值点x2，且x1，x2是方程(*)的两个正根，则x1x2，x1x2，f(x1)f(x2)(x1x2)a(x1x2)22x1x2(lnx1lnx2)ln(2a)1lnaln21，令g(a)lnaln21，当a时，g(a)g32ln2，f(x1)f(x2)32ln2.素养评析(1)不等式证明中，常构造函数把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值解决(2)通过对条件和结论的分析，探索论证思路，选择合适的论证方法给予证明，这正是逻辑推理素养的充分体现1已知曲线yf(x)x22x2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是( )A(1,3) B(1，3)C(2，3) D(2,3)答案B解析令f(x)2x20，解得x1.又f(1)(1)22(1)23，M(1，3)2如果函数f(x)的图象如图所示，那么导函数yf(x)的图象可能是()答案A解析由f(x)与f(x)的关系可知选A.3体积为16的圆柱，它的半径为时，圆柱的表面积最小答案2解析设圆柱底面半径为r，母线长为l.16r2l，即l，则S表面积2r22rl2r22r2r2，由S4r0，得r2.当r2时，圆柱的表面积最小4已知a0，函数f(x)x3ax在1，)上单调递增，则a的最大值为答案3解析由题意知，f(x)3x2a0(x1)，a3x2，a3，a的最大值为3.5设f(x)alnxx1，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值解(1)f(x).由题意知，曲线在x1处的切线斜率为0，即f(1)0，从而a0，解得a1.(2)由(1)知，f(x)lnxx1(x0)，则f(x).令f(x)0，解得x11，x2(舍去)当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增