江苏省2019届高考数学专题八二项式定理与数学归纳法（理）8.2数学归纳法达标训练.docx

数学归纳法A组大题保分练1(2018南通三模)已知函数f0(x)(a0，bcad0)设fn(x)为fn1(x)的导数，nN*.(1)求f1(x)，f2(x)；(2)猜想fn(x)的表达式，并证明你的结论解：(1)f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x).(2)猜想fn(x)，nN*.证明：当n1时，由(1)知结论成立，假设当nk(kN*且k1)时结论成立，即有fk(x).当nk1时，fk1(x)fk(x)(1)k1ak1(bcad)k！(axb)(k1).所以当nk1时结论成立由得，对一切nN*结论都成立2(2018镇江模拟)证明：对一切正整数n,5n23n11都能被8整除证明：(1)当n1时，原式等于8，能被8整除；(2)假设当nk(k1，kN*)时，结论成立，即5k23k11能被8整除设5k23k118m，mN*，当nk1时，5k123k15(5k23k11)43k145(5k23k11)4(3k11)，而当k1，kN*时，3k11显然为偶数，设为2t，tN*，故5k123k15(5k23k11)4(3k11)40m8t(m，tN*)，也能被8整除，故当nk1时结论也成立；由(1)(2)可知，对一切正整数n,5n23n11都能被8整除3已知Sn1(n2，nN*)，求证：S2n1(n2，nN*)证明：(1)当n2时，S2nS411，即n2时命题成立；(2)假设当nk(k2，kN*)时命题成立，即S2k11，则当nk1时，S2k111111，故当nk1时，命题成立由(1)和(2)可知，对n2，nN*不等式S2n1都成立4(2018常州期末)记(x1)(n2且nN*)的展开式中含x项的系数为Sn，含x2项的系数为Tn.(1)求Sn；(2)若an2bnc，对n2,3,4成立，求实数a，b，c的值；(3)对(2)中的实数a，b，c，用数学归纳法证明：对任意n2且nN*，an2bnc都成立解：(1)因为(x1)(1x)(12x)(1nx)1(12n)xn！xn，所以Sn.(2)由题意及(1)可知，又an2bnc，则解得a，b，c.(3)证明：当n2时，由(2)知等式成立假设当nk(kN*，且k2)时，等式成立，即k2k.当nk1时，由f(x)(x1)知Tk1SkTk，所以.又(k1)2(k1)上式，即等式(k1)2(k1)也成立综上可得，对任意n2且nN*，都有an2bnc成立B组大题增分练1(2018南通、泰州一调)用数学归纳法证明：当xN*时，cos xcos 2xcos 3xcos nx(xR，且x2k，kZ)证明：当n1时，等式右边cos x等式左边，等式成立假设当nk时等式成立，即cos xcos 2xcos 3xcos kx.那么，当nk1时，有cos xcos 2xcos 3xcos kxcos(k1)xcos(k1)xsin(k1)xcosxcos(k1)xsinx2sinxcos(k1)x2sinx，这就是说，当nk1时等式也成立根据和可知，对任何nN*等式都成立2已知数列an共有3n(nN*)项，记f(n)a1a2a3n.对任意的kN*,1k3n，都有ak0,1，且对于给定的正整数p (p2)，f(n)是p的整数倍把满足上述条件的数列an的个数记为Tn.(1)当p2时，求T2的值；(2)当p3时，求证：Tn8n2(1)n解：(1)由题意，当n2时，数列an共有6项要使得f(2)是2的整数倍，则这6项中，只能有0项、2项、4项、6项取1，故T2CCCC2532. (2)证明：由题意及(1)的分析可知，当p3时，TnCCCC .当1kn，kN*时，CCCCCCC2CCC2(CC)CCCC3(CC)CC， 于是Tn1CCCCCC3(CCCCCC)TnCTnC2Tn3(23nTn)38nTn. 下面用数学归纳法证明Tn8n2(1)n当n1时，T1CC2812(1)1，即n1时，命题成立假设nk (k1，kN*) 时，命题成立，即Tk8k2(1)k则当nk1时，Tk138kTk38k8k2(1)k98k8k2(1)k8k12(1)k1，即nk1时，命题也成立于是当nN*，有Tn8n2(1)n3(2018扬州调研)在数列an中，ancos(nN*)(1)试将an1表示为an的函数关系式；(2)若数列bn满足bn1(nN*)，猜想an与bn的大小关系，并证明你的结论解：(1)ancoscos221，an2a1，an1 ，又nN*，n12，an10，an1 .(2)当n1时，a1，b1121，a1b1；当n2时，a2，b21，a2b2；当n3时，a3，b31，a3b3.猜想：当n3时，anbn，下面用数学归纳法证明：当n3时，由上知，a3b3，结论成立假设nk，k3，nN*时，akbk成立，即ak1，则当nk1，ak1 ，bk11.要证ak1bk1，即证22，即证10，即证20，显然成立nk1时，结论也成立综合可知：当n3时，anbn成立综上可得：当n1时，a1b1；当n2时，a2b2；当n3，nN*时，anbn.4(2018南通二调)设n2，nN*.有序数组(a1，a2，an)经m次变换后得到数组(bm,1，bm,2，bm，n)，其中b1，iaiai1，bm，ibm1，ibm1，i1(i1,2，n)，an1a1，bm1，n1bm1,1(m2)例如：有序数组(1,2,3)经1次变换后得到数组(12,23,31)，即(3,5,4)；经第2次变换后得到数组(8,9,7)(1)若aii(i1,2，n)，求b3,5的值；(2)求证：bm，iijC，其中i1,2，n.(注：当ijknt时，kN*，t1,2，n，则aijat)解：(1)当n2,3,4时，b3,5值不存在；当n5时，依题意，有序数组为(1,2,3,4,5)经1次变换为：(3,5,7,9,6)，经2次变换为：(8,12,16,15,9)，经3次变换为：(20,28,31,24,17)，所以b3,517；当n6时，同理得b3,528；当n7时，同理得b3,545；当n8时，nN*时，依题意，有序数组为(1,2,3,4,5,6,7,8，n)经1次变换为：(3,5,7,9,11,13,15，n1)，经2次变换为：(8,12,16,20,24,28，n4)，经3次变换为：(20,28,36,44,52，n12)，所以b3,552. (2)证明：下面用数学归纳法证明对mN*，bm，iijC，其中i1,2，n.当m1时，b1，iaiai1ijC，