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文档简介

9.2 一阶微分方程,一. 变量可分离的一阶方程,例2 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,降落伞离开的速度为零，求降落速度与时间的函数,例4. 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.,解,由力学知识得,水从孔口流出的流速为,设在微小的时间间隔,水面的高度由h降至 ,比较(1)和(2)得:,由力学知识公式,即为未知函数的微分方程.,可分离变量,所求规律为,解,例5,某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有0.1%的CO2,为了降低车间内空气中CO2的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含0.03%的CO2的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后,车间内CO2的百分比降低到多少?,设鼓风机开动后 时刻 的含量为,在 内,的通入量,的排出量,6分钟后, 车间内 的百分比降低到,二. 一阶线性方程,+非齐次线性方程的特解,=对应齐次线性方程的通解,例10.如图所示,平行与y 轴的动直线被曲线 y = f(x) 与 y = x3 (x 0) 截下的线段PQ之线段长在数值上等于阴影部分的面积数值,求曲线f(x) .,两边求导得,解,解此微分方程,所求曲线为,三. 齐次型微分方程,如何化为变量可分离的微分方程,作代换，化为变量可分离的方程,?,小结:可化为齐次的方程:,为齐次方程.,（其中h和k是待定的常数）,否则为非齐次方程.,2.解法,1.定义,例15. 抛物线的光学性质证明,实例: 车灯的反射镜面应该是-旋转抛物面,解,如图,分析: 只需证明曲线为抛物线,得微分方程,由夹角正切公式得:,.,.,tan(-)=tan()-tan()/1+tan()tan(),分离变量,积分得,平方化简得,抛物线,下一章的解析几何得到:,所求曲线为抛物线.,四. 伯努利方程(Bernoulli),小结,1.齐次方程,2.线性非齐次方程,3.伯努利方程,公式?,变化?,这两位兄弟来自历史上最伟大的数学家族瑞士巴塞尔的伯努利家族。伯努利家族在17、18世纪先后产生了十多位著名的数学家，雅各布和约翰是其中最有影响的两位。,从17世纪末开始，摆的运动、弹性理论以及天体力学等实际问题的研究引出了一系列常微分方程。如1690年由雅各布伯努利提出的悬链线问题：求一根柔软但不能伸长的绳子自由悬挂于两定点而形成的曲线。一年后，莱布尼茨、惠更斯和约翰伯努利分别发表了自己的解答。其中约翰伯努利通过建立悬链线方程dy/dx=s/c，解出了曲线y=ccoshcx. 1696年给出Bernoulli方程.,返回,从17世纪到18世纪，瑞士数学家雅各布伯努利（J
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