Maple在微积分上的应用.ppt

Maple在微積分上的應用,教授：蔡桂宏 博士 學生：施凱晏 學號：95356071,95503統資軟體課程講義,Let us start!,報告大綱：,函數與極限 導數與導函數 導數的應用 積分 積分應用與技巧,第一章 函數與極限,1.1 函數 1.2 函數的運算 1.3 極限的基本概念 1.4 Maple的極限計算法 1.5 函數的連續性,1.1 函數,(1)偶函數與奇函數： 如果 ，則稱f為偶函數(even function)。若 ，則稱f 為奇函數(odd function)。偶函數的圖形對稱於y軸，而奇函數的圖形對稱 於原點。 EX: (2)片段函數(piecewise function)： Maple以piecewise指令來定義片段函數，其語法如下: piecewise(cond1,f1,cond,f2,condn,fn,otherwise) 若條件式cond1成立，則執行f1，若cond2成立，則執行f2，以此類推。 若所有條件都不成立，就執行otherwise，若otherwise沒有指定，則其預 設值為0。 EX:,1.2 函數的計算,(1)函數的合成： 以函數g合成f，而產生的函數f(g(x)稱為合成函數(composite function)， 記為f。g。因此(f。g)(x)= f(g(x)。而Maple以小老鼠符號來代表。 EX: 合成函數也可以由片段函數組成。 EX: , 而 ，試以Maple求出(f。g)(x),1.3 極限的基本概念,極限(limit)常用來描述當x趨近某個數值時，函數y=f(x)的變化情形。 (1)極限的直觀介紹: 考慮 ，在x=0並沒有定義(因為分母為0)，但因為sinx也為 0，所以式子變為0/0的數學式，探討其值為何。 EX: (2)夾擠定理(squeeze theorem): 定理: 設在一個包含a點的開區間中的所有的x值，恆有g(x) f(x) h(x)， 若 則 EX:以函數圖形來說明 夾擠定理意義，,1.4 Maple的極限計算法,(1)Limit & limit:計算函數的極限值。 趨近方向dir為一選項，其值可以是left或right。若沒有指定，則以雙方向趨 近，而趨近的點可以是一常數、變數、或者是infinity、- infinity。 EX: EX: limit指令也可以用來求解片段函數的極限值。,1.5 函數的連續性,(1)連續性: 定義函數的連續: 如果(1)f(a)有定義，(2) 存在，而且(3) ，則稱函數 f(x)在x=a為連續。 EX: 利用Maple來判別函數是否連續。 (2)Maple有關測試函數連續性的指令: EX1: EX2:,(3)介值定理(the intermediate value theorem): 定理: 如果函數f於閉區間a,b連續，且 ，則於閉區間a,b至少 存在一數c使得f(c)=N。 由介值定理可以推論得，若函數f於閉區間a,b連續且f(a)*f(b) 0(亦即 f(a)與f(b)的乘積為負)，則於閉區間a,b內至少存在一解c使得f(c)=0。 EX:,第二章 導數與導函數,2.1 導函數與導數 2.2 導函數的求法 2.3 Maple的微分指令 2.4 鏈鎖律 2.5 高階導函數 2.6 隱微分法,2.1 導函數與導數,(1)導函數: f(x)的導函數之物理意義，即是f(x)之切線的斜率函數。 定義導函數: 函數f(x)的導函數定義為 ，而 的定義域 為使得該極限存在的所有x所組成。 EX:,(2)導數: 定義導數: 函數f(x)在x=a的導數記為 ，亦即 。 若函數f(x)在x=a的導數存在，亦即 則稱f在x=a可微分(differentiable)。 一般而言，函數f(x)於x=a不可微分通常發生於下面三種情況: 函數的圖形於x=a為一尖角或折點。EX: 函數於x=a不連續(斷點)。 函數於x=a的切線為一垂直線(斜率為 )。EX: EX:可微分例子。,2.2 導函數的求法,(1)乘幕律(power rule) 若n為正整數，則 。 EX: (2)和與差的公式: 若f與g為可微分函數，則 EX: 試求 的導函數。,(3)積的公式(product rule): 若f與g皆為可微分函數，則 (4)商的公式(quotient rule): 若f與g皆為可微分函數，且g(x)0，則 EX: 設 ，試求 。 到目前為止，皆以導函數的定義式來計算函數的導函數。事實上， Maple的內建指令diff提供了更方便的方法來計算微分。,2.3 Maple的微分指令,Maple提供了微分指令diff與微分運算子D來處裡函數的微分。diff是用來 計算函數的微分，而D則是針對函數運算子所設計，用來求出運算子的微分 式。 (1)微分指令diff: EX1: diff指令的用法 EX2: Diff指令的用法 p.s:數學上慣用以 來表示單變數函數f對x微分。若f為多變數函 數，則習慣上以 來表示f對x的偏微分(partial differentiation)。 Maple的輸出是以較廣義的偏微分符號 來取代慣用的 。,(2)微分運算子: Maple的內建函數如sin,cos,abs與sqrt等皆為函數運算子，而函數運算子 加上引數(如:sinx,cosx等)即成為一個標準函數。 定義函數運算子D(): D(f):求函數運算子f的一階微分運算子 EX:內建&自定函數運算子,2.4 鏈鎖律,定義鏈鎖律: 設g在x可微分，且f在g(x)為可微分，則合成函數f。g在x為可微分，且 廣義的成幕律: 若f(x)為x的可微分函數，則 EX:,2.5 高階導函數,Maple計算二階以上之導函數的指令與一階相同，只是語法稍有不同。 下面列出了diff指令與微分運算子D在二階以上之導函數的用法。 EX:,2.6 隱微分法,如果方程式f(x,y)=0無法表示成y=f(x)的形式，則前幾節所介紹的微分法 便不適用，因此必須嘗試隱微分法來求得函數f的微分。 EX: 顯然地，上式無法把它表示成y=f(x)的形式，那麼如何求出 ? Sol: EX:設 ，利用隱微分法求 。,事實上，Maple提供了一個簡單的implicitdiff指令，可以更方便的計算函 數的n階隱微分。 前EX: EX:,第三章 導數的應用,3.1 函數圖形的判別 3.2 極大值與極小值,3.1 函數圖形的判別,函數圖形的外觀可以簡單藉由函數的導函數來判別。下面介紹(1)函數的 遞增遞減(2)函數圖形的凹向性。 (1)函數的遞增遞減： EX:,(2)函數圖形的凹向性： 若要知道函數圖形凹向上(concave upward)或凹向下(concave downward) 等幾何上的性質，則必須求助二次導函數。 EX:,3.2 極大值與極小值,EX:,第四章 積分,4.1 不定積分 4.2 Maple的積分運算 4.3 代換積分法 4.4 定積分:曲線下的面積 4.5 面積的估算 4.6 微積分基本定理,4.1 不定積分,把函數f微分，可以得到它的導函數f。若已知一函數的導含數為f ，則求 其反導函數(anti-derivative)的過程稱為反微分(anti-differentation)。 EX:試求 的反導函數。 F(x)的導函數為 則F(x)即為 ，其中c稱為積分常數，因為它會伴隨著每一個不定積分產生。,的反導函數。,，所以,為,的反導函數，但是反導函數並不唯一，因此,的反導函數為,。,而函數f的反導函數則表示成,，,此式稱為f(x)的不定積分(indefinite integral)。,因此，,的反導函數為,，故,4.2 Maple的積分運算,注意，大部分的符號運算軟體如Maple、Mathematica等，在計算不定積 分時多半不會自動加上積分常數。 EX:,4.3 代換積分法,Maple的student程式庫裡也提供了一個變數變換的指令changevar，以 方便執行積分的變數變換。如下： Changevar(g(x)=u,Int(f(x),x) 將被積分函數f(x)裡的部份表示式g(x)代換成u，並回應一個代換過後的積分 式。 EX:,4.4 定積分:曲線下的面積,此處重心放在求兩條曲線間的面積，而這種求算面積的方法可以視為定 積方(definite integral)的一種基本應用。簡單來說，定積分可看成是兩條曲 線所包圍起來的面積。 想要算出曲線下面積A時，可以先把所圍成的區域分割成n個寬度相等的 小矩形，再分別求這些小矩形的面積，然後把它們相加即可求得近似的面 積。若分高的等份數越多，所求得的結果也就越精準。,Maple的student程式庫提供了幾個指令來繪製小矩形，並估算這些小矩 形面積的總和(下節介紹)。 EX1: EX2:試以下列所指定的方法，用Maple計算 於區間0,4內與x軸 所圍成的面積，並比較各種方法的精確度。 (a)左接矩形，分別取n=4，n=8與n=20。 (b)中接矩形，取n=20。,4.5