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大学物理大学物理习题习题及解答及解答 习题八习题八 8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点试问：(1)在这三角形的中 心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库 仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题 8-1 图示 (1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知： q 为负电荷 20 2 2 0 ) 3 3 ( 4 1 30cos 4 1 2 a qq a q 解得 qq 3 3 (2)与三角形边长无关 题 8-1 图 题 8-2 图 8-2 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线 夹角为 2,如题 8-2 图所示设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带 的电量 解: 如题 8-2 图示 2 2 0 )sin2(4 1 sin cos l q FT mgT e 解得 tan4sin2 0mg lq 8-3 根据点电荷场强公式 2 0 4r q E ，当被考察的场点距源点电荷很近(r0)时，则场强 ，这是没有物理意义的，对此应如何理解? 解: 0 2 0 4 r r q E 仅对点电荷成立，当 0r 时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求 场强是错误的， 实际带电体有一定形状大小， 考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是 无限大 8-4 在真空中有A，B两平行板， 相对距离为d， 板面积为S， 其带电量分别为+q和-q 则 这两板之间有相互作用力 f ，有人说 f = 2 0 2 4d q ,又有人说，因为 f =qE, S q E 0 ，所 以 f = S q 0 2 试问这两种说法对吗?为什么? f 到底应等于多少? 解: 题中的两种说法均不对 第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的， 第二种说法把 合场强 S q E 0 看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的正确解答应为一个 板的电场为 S q E 0 2 ，另一板受它的作用力 S q S q qf 0 2 0 22 ，这是两板间相互作用 的电场力 8-5 一电偶极子的电矩为 l qp ，场点到偶极子中心 O 点的距离为r,矢量r 与l 的夹角为 ,(见题 8-5 图)， 且lr 试证P点的场强E在r方向上的分量 r E 和垂直于r的分量 E 分别为 r E = 3 0 2 cos r p , E = 3 0 4 sin r p 证: 如题 8-5 所示，将 p 分解为与r 平行的分量 sinp 和垂直于r 的分量 sinp lr 场点P在r方向场强分量 3 0 2 cos r p Er 垂直于r方向，即方向场强分量 3 0 0 4 sin r p E 题 8-5 图 题 8-6 图 8-6 长l=15.0cmAB 上均匀地分布着线密度=5.0x10-9C m -1 (1)在导线的延长线上与导线 B 端相距 1 a =5.0cm 处P点的场强；(2)在导线的垂直平分线上 与导线中点相距 2 d =5.0cm 处Q点的场强 解： 如题 8-6 图所示 (1)在带电直线上取线元 xd ，其上电量 qd 在P点产生场强为 2 0 )( d 4 1 d xa x EP 2 2 2 0 )( d 4 d xa x EE l lPP 2 1 2 1 4 0 l a l a )4( 22 0 la l 用 15lcm， 9 100 . 5 1 mC , 5 .12acm代入得 2 1074. 6 P E 1 CN 方向水平向右 (2)同理 2 2 2 0 d d 4 1 d x x EQ 方向如题 8-6 图所示 由于对称性 l Qx E0d ，即 Q E 只有 y 分量， 2 2 2 2 2 2 2 0d d d d 4 1 d x x x EQy 2 2 4 d d l QyQy EE 2 2 2 3 2 2 2 )d( d l l x x 2 2 2 0 d42 l l 以 9 100 . 5 1 cmC , 15lcm, 5d2 cm代入得 2 1096.14 QyQ EE 1 CN ，方向沿 y 轴正向 8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为,求环心处O点的场强 解: 如 8-7 图在圆上取 Rddl 题 8-7 图 dddRlq ，它在O点产生场强大小为 2 0 4 d d R R E 方向沿半径向外 则 dsin 4 sindd 0R EEx dcos 4 )cos(dd 0R EEy 积分 RR Ex 00 0 2 dsin 4 0dcos 4 0 0 R Ey R EE x 0 2 ，方向沿x轴正向 8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l，总电量为q(1)求这正方形轴线上离中心为r 处的场强E；(2)证明：在 lr 处，它相当于点电荷q产生的场强E 解: 如 8-8 图示，正方形一条边上电荷4 q 在P点产生物强 P E d 方向如图，大小为 4 4 coscos d 2 2 0 21 l r EP 2 2 cos 2 2 1 l r l 12 coscos 24 4 d 2 2 2 2 0 l r l l r EP P E d 在垂直于平面上的分量 cosdd P EE 424 4 d 2 2 2 2 2 2 0 l r r l r l r l E 题 8-8 图 由于对称性，P点场强沿OP方向，大小为 2 ) 4 (4 4 d4 2 2 2 2 0 l r l r lr EEP l q 4 2 ) 4 (4 2 2 2 2 0 l r l r qr EP 方向沿OP 8-9 (1)点电荷q位于一边长为 a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一 个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面 的电通量是多少?*(3)如题 8-9(3)图所示，在点电荷q的电场中取半径为 R 的圆平面q在 该平面轴线上的A点处，求：通过圆平面的电通量( x R arctan ) 解: (1)由高斯定理 0 d q SE s 立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相等 各面电通量 0 6 q e (2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长 a2 的立方体，使q处于边长 a2 的立方体中心，则 边长 a2 的正方形上电通量 0 6 q e 对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则 0 24 q e ， 如果它包含q所在顶点则 0e 如题 8-9(a)图所示题 8-9(3)图 题 8-9(a)图 题 8-9(b)图 题 8-9(c)图 (3)通过半径为R的圆平面的电通量等于通过半径为 22 xR 的球冠面的电通量，球冠 面积* 1)(2 22 22 xR x xRS )(4 22 0 0 xR Sq 0 2 q 22 1 xR x *关于球冠面积的计算：见题 8-9(c)图 0 dsin2rrS 0 2 dsin2 r )cos1 (2 2 r 8-10 均匀带电球壳内半径 6cm，外半径 10cm，电荷体密度为 2 5 10 Cm -3求距球心 5cm， 8cm ,12cm 各点的场强 解: 高斯定理 0 d q SE s , 0 2 4 q rE 当 5rcm时， 0 q , 0E 8rcm时，q3 4 p 3 (r ) 3 内 r 2 0 23 4 3 4 r rr E 内 4 1048. 3 1 CN ， 方向沿半径向外 12r cm 时, 3 4 q 3 ( 外 r） 内 3 r 4 2 0 3 3 1010. 4 4 3 4 r rr E 内外 1 CN 沿半径向外. 8-11 半径为 1 R 和 2 R ( 2 R 1 R )的两无限长同轴圆柱面， 单位长度上分别带有电量和-, 试求:(1)r 1 R ；(2) 1 R r 2 R ；(3) r 2 R 处各点的场强 解: 高斯定理 0 d q SE s 取同轴圆柱形高斯面，侧面积 rlS2 则 rlESE S 2d 对(1) 1 Rr 0, 0 Eq (2) 21 RrR lq r E 0 2 沿径向向外 (3) 2 Rr 0 q 0E 题 8-12 图 8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1 和2 ，试求空间各处场 强 解: 如题 8-12 图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为 1 与 2 ， 两面间， nE )( 2 1 21 0 1 面外， nE )( 2 1 21 0 2 面外， nE )( 2 1 21 0 n ：垂直于两平面由 1 面指为 2 面 8-13 半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为,若在球内挖去一块半径为rR的 小球体，如题 8-13 图所示试求：两球心O与 O 点的场强，并证明小球空腔内的电场是 均匀的 解: 将此带电体看作带正电的均匀球与带电 的均匀小球的组合，见题 8-13 图(a) (1) 球在O点产生电场 0 10 E ， 球在O点产生电场 d4 3 4 3 0 3 20 OO r E O点电场 d3 3 0 3 0 OO r E ； (2) 在 O 产生电场 d4 d 3 4 3 0 3 01 OOE 球在 O 产生电场 0 02 E O 点电场 0 0 3 E OO 题 8-13 图(a) 题 8-13 图(b) (3)设空腔任一点P相对 O 的位矢为r ，相对O点位矢为r (如题 8-13(b)图) 则 0 3 r EPO ， 0 3 r E OP , 000 3 3 )( 3 d OOrrEEE OPPOP 腔内场强是均匀的 8-14 一电偶极子由q=1.010 -6C d=0.2cm，把这电 偶极子放在 1.010 5NC-1 解: 电偶极子 p 在外场E 中受力矩 EpM qlEpEM max 代入数字 4536 max 100 . 2100 . 1102100 . 1 M mN 8-15 两点电荷 1 q =1.510 -8C， 2 q =3.010 -8C，相距 1 r =42cm，要把它们之间的距离变为 2 r =25cm，需作多少功? 解: 2 2 2 1 0 21 2 0 21 44 d d r r r r qq r rqq rFA ) 11 ( 21 rr 6 1055. 6 J 外力需作的功 6 1055. 6 AA J 题 8-16 图 8-16 如题 8-16 图所示，在A，B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷，AB间距离为 2R，现将另一正试验点电荷 0 q 从O点经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力作的 功 解: 如题 8-16 图示 0 4 1 O U 0)( R q R q 0 4 1 O U ) 3 ( R q R q R q 0 6 R qq UUqA o CO 0 0 6 )( 8-17 如题 8-17 图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为的正电荷,两直导线的长度和 半圆环的半径都等于R试求环中心O点处的场强和电势 解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，取 ddRl 则 ddRq 产生O点 E d 如图，由于对称性，O点场强沿 y 轴负方向 题 8-17 图 cos 4 d d 2 2 2 0 R R EE y R 0 4 ) 2 sin( 2 sin R 0 2 (2) AB电荷在O点产生电势，以 0 U A B 2 000 1 2ln 44 d 4 d R R x x x x U 同理CD产生 2ln 4 0 2 U 半圆环产生 00 3 44 R R U 00 321 4 2ln 2 UUUUO 8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以 210 4ms-1的匀速率作圆周运动求带电直线 上的线电荷密度(电子质量 0 m =9.110 -31kg，电子电量e =1.6010 -19C) 解: 设均匀带电直线电荷密度为，在电子轨道处场强 r E 0 2 电子受力大小 r e eEFe 0 2 r v m r e 2 0 2 得 13 2 0 105 .12 2 e mv 1 mC 8-19 空气可以承受的场强的最大值为E=30kVcm -1，超过这个数值时空气要发生火花放 电今有一高压平行板电容器，极板间距离为d=0.5cm，求此电容器可承受的最高电压 解: 平行板电容器内部近似为均匀电场 4 105 . 1d EUV 8-20 根据场强E 与电势U的关系 UE ，求下列电场的场强：(1)点电荷q的电场； (2)总电量为q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点；*(3)偶极子 qlp 的 lr 处(见题 8-20 图) 解: (1)点电荷 r q U 0 4 题 8-20 图 0 2 0 0 4 r r q r r U E 0 r 为r方向单位矢量 (2)总电量q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点电势 22 0 4xR q U i xR qx i x U E 2/3 22 0 4 (3)偶极子 l qp 在 lr 处的一点电势 2 00 4 cos )cos 2 1 ( 1 )cos 2 ( 1 4r ql ll r q U 3 0 2 cos r p r U Er 3 0 4 sin1 r pU r E 8-21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题 8-21 图)来说，(1)相向的两面上， 电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而 符号相同 证: 如题 8-21 图所示， 设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为 1 ， 2 ， 3 ， 4 题 8-21 图 (1)则取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合柱面为高斯面时，有 0)(d 32 SSE s 2 0 3 说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反； (2)在A内部任取一点P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而 成的，即 0 2222 0 4 0 3 0 2 0 1 又 2 0 3 1 4 说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同 8-22 三个平行金属板A，B和C的面积都是 200cm 2，A 和B相距 4.0mm，A与C相距 2.0 mmB，C都接地，如题 8-22 图所示如果使A板带正电 3.010 -7C，略去边缘效应，问 B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A板的电势是多少? 解: 如题 8-22 图示，令A板左侧面电荷面密度为 1 ，右侧面电荷面密度为 2 题 8-22 图 (1) ABAC UU ，即 ABABACAC EEdd 2 d d 2 1 AC AB AB AC E E 且 1 + 2 S qA 得 , 3 2 S qA S qA 3 2 1 而 7 1 102 3 2 AC qSq C C101 7 2 SqB (2) 3 0 1 103 . 2dd ACACACA EU V 8-23 两个半径分别为 1 R 和 2 R （ 1 R 2 R )的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q，试计 算： (1)外球壳上的电荷分布及电势大小； (2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势； *(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量 解: (1)内球带电 q ；球壳内表面带电则为 q ,外表面带电为 q ，且均匀分布，其电势 题 8-23 图 22 0 2 0 44 d d RR R q r rq rEU (2)外壳接地时，外表面电荷 q 入地，外表面不带电，内表面电荷仍为 q 所以球壳电 势由内球 q 与内表面 q 产生： 0 44 2020 R q R q U (3)设此时内球壳带电量为 q ；则外壳内表面带电量为 q ，外壳外表面带电量为 q q (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且 0 4 4 4 202010 R qq R q R q UA 得 q R R q 2 1 外球壳上电势 2 20 21 202020 44 4 4 R qRR R qq R q R q UB 8-24 半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为 Rd3 处有 一点电荷+q，试求：金属球上的感应电荷的电量 解: 如题 8-24 图所示，设金属球感应电荷为 q ，则球接地时电势 0 O U 8-24 图 由电势叠加原理有： O U 0 344 00 R q R q 得 q 3 q 8-25 有三个大小相同的金属小球，小球 1，2 带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力 为 0 F 试求： (1)用带绝缘柄的不带电小球 3 先后分别接触 1，2 后移去，小球 1，2 之间的库仑力； (2)小球 3 依次交替接触小球 1，2 很多次后移去，小球 1，2 之间的库仑力 解: 由题意知 2 0 2 0 4r q F (1)小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电 2 q q , 小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电 qq 4 3 此时小球1与小球2间相互作用力 0 0 2 2 0 1 8 3 4 8 3 4 “ 2 F r q r qq F (2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为 3 2q . 小球1、2间的作用力 0 0 2 9 4 4 3 2 3 2 2 F r qq F *8-26 如题 8-26 图所示，一平行板电容器两极板面积都是 S，相距为d，分别维持电势 A U =U， B U =0 不变现把一块带有电量q的导体薄片平行地放在两极板正中间，片的面 积也是 S，片的厚度略去不计求导体薄片的电势 解: 依次设A,C,B从上到下的6个表面的面电荷密度分别为 1 ， 2 ， 3 ， 4 , 5 , 6 如图所示由静电平衡条件，电荷守恒定律及维持 UUAB 可得以下6个方程 题 8-26 图 654321 54 32 0 65 43 0 021 0 0 1 d U S q S q d U UC SS q B A 解得 S q 2 61 S q d U 2 0 32 S q d U 2 0 54 所以CB间电场 S q d U E 00 4 2 2 ) 2 d ( 2 1 2 d 0 2 S q UEUU CBC 注意：因为C片带电，所以 2 U UC ，若C片不带电，显然 2 U UC 8-27 在半径为 1 R 的金属球之外包有一层外半径为 2 R 的均匀电介质球壳，介质相对介电常 数为 r ，金属球带电Q试求： (1)电介质内、外的场强； (2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势 解: 利用有介质时的高斯定理 qSD S d (1)介质内 )( 21 RrR 场强 3 0 3 4 , 4r rQ E r rQ D r 内 ; 介质外 )( 2 Rr 场强 3 0 3 4 , 4r rQ E r Qr D 外 (2)介质外 )( 2 Rr 电势 r Q EU 0 r 4 rd 外 介质内 )( 21 RrR 电势 rdrd rr EEU 外内 2020 4 ) 11 ( 4R Q Rr q r ) 11 ( 4 20 Rr Q r r (3)金属球的电势 rdrd 2 2 1 R R R EEU 外内 2 2 2 0 2 0 44 dr R R R r r Qdr r Q ) 11 ( 4 210 RR Q r r 8-28 如题 8-28 图所示， 在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为 r 的电介质 试 求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值 解: 如题 8-28 图所示，充满电介质部分场强为 2 E ，真空部分场强为 1 E ，自由电荷面密度 分别为 2 与 1 由 0 dqSD 得 11 D ， 22 D 而 101 ED , 202 ED r d 21 U EE r D D 1 2 1 2 题 8-28 图 题 8-29 图 8-29 两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为 1 R 和 2 R ( 2 R 1 R )，且l 2 R - 1 R ，两 柱面之间充有介电常数的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q和-Q时，求： (1)在半径r处( 1 R r 2 R ，厚度为 dr，长为l的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和 整个薄壳中的电场能量； (2)电介质中的总电场能量； (3)圆柱形电容器的电容 解: 取半径为r的同轴圆柱面 )(S 则 rlDSD S 2d )( 当 )( 21 RrR 时， Qq rl Q D 2 (1)电场能量密度 222 22 82lr QD w 薄壳中 rl rQ rlr lr Q wW 4 d d2 8 dd 2 222 2 (2)电介质中总电场能量 2 1 1 2 22 ln 44 d d R RV R R l Q rl rQ WW (3)电容： C Q W 2 2 )/ln( 2 2 12 2 RR l W Q C *8-30 金属球壳A和B的中心相距为r，A和B原来都不带电现在A的中心放一点电荷 1 q ，在B的中心放一点电荷 2 q ，如题 8-30 图所示试求： (1) 1 q 对2 q 作用的库仑力，2 q 有无加速度； (2)去掉金属壳B，求 1 q 作用在2 q 上的库仑力，此时2 q 有无加速度 解: (1) 1 q 作用在 2 q 的库仑力仍满足库仑定律，即 2 21 0 4 1 r qq F 但 2 q 处于金属球壳中心，它受合力为零，没有加速度 (2)去掉金属壳B，1 q 作用在 2 q 上的库仑力仍是 2 21 0 4 1 r qq F ， 但此时 2 q 受合力不为零， 有加速度 题 8-30 图 题 8-31 图 8-31 如题 8-31 图所示，1 C =0.25F，2 C =0.15F， 3 C =0.20F 1 C 上电压为 50V 求： AB U 解: 电容 1 C 上电量 111 UCQ 电容 2 C 与 3 C 并联 3223 CCC 其上电荷 123 QQ 35 5025 23 11 23 23 2 C UC C Q U 86) 35 25 1 (50 21 UUUAB V 8-32 1 C 和2 C 两电容器分别标明“200 pF、500 V”和“300 pF、900 V”，把它们串联起来后等 值电容是多少?如果两端加上 1000 V? 解: (1) 1 C 与 2 C 串联后电容 120 300200 300200 21 21 CC CC C pF (2)串联后电压比 2 3 1 2 2 1 C C U U ，而 1000 21 UU 600 1 U V, 400 2 U V 即电容 1 C 电压超过耐压值会击穿，然后 2 C 也击穿 8-33 将两个电容器1 C 和2 C 充电到相等的电压U以后切断电源， 再将每一电容器的正极板 与另一电容器的负极板相联试求： (1)每个电容器的最终电荷； (2)电场能量的损失 解: 如题 8-33 图所示，设联接后两电容器带电分别为 1 q , 2 q 题 8-33 图 则 21 22 11 2 1 21201021 UU UC UC q q UCUCqqqq 解得 (1) 1 q U CC CCC qU CC CCC 21 212 2 21 211 )( , )( (2)电场能量损失 WWW 0 ) 22 () 2 1 2 1 ( 2 2 2 1 2 12 2 2 1 C q C q UCUC 2 21 21 2 U CC CC 8-34 半径为 1 R =2.0cm 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为 2 R =4.0cm 和 3 R =5.0cm，当内球带电荷Q=3.010 -8C (1)整个电场储存的能量； (2)如果将导体壳接地，计算储存的能量； (3)此电容器的电容值 解: 如图，内球带电Q，外球壳内表面带电 Q ，外表面带电Q 题 8-34 图 (1)在 1 Rr 和 32 RrR 区域 0E 在 21 RrR 时 3 0 1 4r rQ E 3 Rr 时 3 0 2 4r rQ E 在 21 RrR 区域 2 1 d4) 4 ( 2 1 22 2 0 01 R R rr r Q W 2 1 ) 11 ( 88 d 210 2 2 0 2 R R RR Q r rQ 在 3 Rr 区域 3 2 30 2 22 0 02 1 8 d4) 4 ( 2 1 R R Q rr r Q W 总能量 ) 111 ( 8 3210 2 21 RRR Q WWW 4 1082. 1 J (2)导体壳接地时，只有 21 RrR 时 3 0 4r rQ E , 0 2 W 4 210 2 1 1001. 1) 11 ( 8 RR Q WW J (3)电容器电容 ) 11 /(4 2 21 0 2 RRQ W C 12 1049. 4 F 习题九习题九 9-1 在同一磁感应线上， 各点B 的数值是否都相等?为何不把作用于运动电荷的磁力方向定 义为磁感应强度B 的方向? 解: 在同一磁感应线上，各点B 的数值一般不相等因为磁场作用于运动电荷的磁力方向 不仅与磁感应强度B 的方向有关，而且与电荷速度方向有关，即磁力方向并不是唯一由磁 场决定的，所以不把磁力方向定义为B 的方向 题 9-2 图 9-2 (1)在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是平行直线，磁感应强度B 的大小在沿磁 感应线和垂直它的方向上是否可能变化(即磁场是否一定是均匀的)? (2)若存在电流，上述结论是否还对? 解: (1)不可能变化，即磁场一定是均匀的如图作闭合回路abcd可证明 21 BB 0d 021 IbcBdaBlB abcd 21 BB (2)若存在电流，上述结论不对如无限大均匀带电平面两侧之磁力线是平行直线，但B 方 向相反，即 21 BB . 9-3 用安培环路定理能否求有限长一段载流直导线周围的磁场? 答: 不能，因为有限长载流直导线周围磁场虽然有轴对称性，但不是稳恒电流，安培环路 定理并不适用 9-4 在载流长螺线管的情况下，我们导出其内部nIB 0 ，外面B=0，所以在载流螺线管 外面环绕一周(见题 9-4 图)的环路积分 外 B L dl =0 但从安培环路定理来看，环路 L 中有电流 I 穿过，环路积分应为 外 B L dl =I 0 这是为什么? 解: 我们导出nlB 0 内 ,0 外 B有一个假设的前提，即每匝电流均垂直于螺线管轴线这 时图中环路L上就一定没有电流通过，即也是 L IlB0d 0 外 ，与 L llB0d0d 外 是不矛盾的但这是导线横截面积为零，螺距为零的理想模型实 际上以上假设并不真实存在，所以使得穿过L的电流为I，因此实际螺线管若是无限长时， 只是 外 B 的轴向分量为零，而垂直于轴的圆周方向分量 r I B 2 0 ,r为管外一点到螺线管轴 的距离 题 9 - 4 图 9-5 如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转， 能否肯定这个区域中没有磁场?如果它发 生偏转能否肯定那个区域中存在着磁场? 解：如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，不能肯定这个区域中没有磁场，也可能存 在互相垂直的电场和磁场， 电子受的电场力与磁场力抵消所致 如果它发生偏转也不能肯定 那个区域存在着磁场，因为仅有电场也可以使电子偏转 9-6 已知磁感应强度0 . 2BWbm -2 x轴正方向，如题 9-6 图所 示 试求： (1)通过图中abcd面的磁通量； (2)通过图中befc面的磁通量； (3)通过图中aefd 面的磁通量 解： 如题 9-6 图所示 题 9-6 图 (1)通过abcd面积 1 S的磁通是 24. 04 . 03 . 00 . 2 11 SB Wb (2)通过befc面积 2 S的磁通量 0 22 SB (3)通过aefd面积 3 S的磁通量 24. 0 5 4 5 . 03 . 02cos5 . 03 . 02 33 SB Wb (或曰24. 0Wb) 题 9-7 图 9-7 如题 9-7 图所示，AB、CD为长直导线，CB 为圆心在O点的一段圆弧形导线，其 半径为R若通以电流I，求O点的磁感应强度 解：如题 9-7 图所示，O点磁场由AB、CB 、CD三部分电流产生其中 AB 产生 0 1 B CD 产生 R I B 12 0 2 ，方向垂直向里 CD 段产生 ) 2 3 1 ( 2 )60sin90(sin 2 4 00 3 R I R I B，方向向里 ) 62 3 1 ( 2 0 3210 R I BBBB，方向向里 9-8 在真空中，有两根互相平行的无限长直导线 1 L和 2 L，相距 0.1m，通有方向相反的电 流， 1 I=20A, 2 I=10A， 如题 9-8 图所示A，B两点与导线在同一平面内 这两点与导线 2 L 的距离均为 5.0cm试求A，B两点处的磁感应强度，以及磁感应强度为零的点的位置 题 9-8 图 解：如题 9-8 图所示, A B 方向垂直纸面向里 42010 102 . 1 05. 02)05. 01 . 0(2 II BAT (2)设0B 在 2 L外侧距离 2 L为r处 则 0 2) 1 . 0(2 20 r I r I 解得 1 . 0r m 题 9-9 图 9-9 如题 9-9 图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A，B两点，并在很远处与电源 相连已知圆环的粗细均匀，求环中心O的磁感应强度 解： 如题 9-9 图所示， 圆心O点磁场由直电流A和B及两段圆弧上电流 1 I与 2 I所产生， 但A和B在O点产生的磁场为零。且 2 1 2 2 1 R R I I 电阻 电阻 . 1 I产生 1 B 方向纸面向外 2 )2( 2 10 1 R I B， 2 I产生 2 B 方向纸面向里 22 20 2 R I B 1 )2( 2 1 2 1 I I B B 有 0 210 BBB 9-10 在一半径R=1.0cmI=5.0 A 通 过，电流分布均匀.如题 9-10 图所示试求圆柱轴线任一点P处的磁感应强度 题 9-10 图 解：因为金属片无限长，所以圆柱轴线上任一点P的磁感应强度方向都在圆柱截面上，取 坐标如题 9-10 图所示，取宽为l d的一无限长直电流l R I Idd ，在轴上P点产生B d与R 垂直，大小为 R I R R R I R I B 2 0 0 0 2 d 2 d 2 d d R I BBx 2 0 2 dcos cosdd R I BBy 2 0 2 dsin ) 2 cos(dd 5 2 0 2 0 2 2 2 1037. 6) 2 sin( 2 sin 22 dcos R I R I R I Bx T 0) 2 dsin ( 2 2 2 0 R I By iB 5 1037. 6 T 9-11 氢原子处在基态时，它的电子可看作是在半径a=0.5210 -8cm 的轨道上作匀速圆周运动， 速率v=2.210 8cms-1求电子在轨道中心所产生的磁感应强度和电子磁矩的值 解：电子在轨道中心产生的磁感应强度 3 0 0 4 a ave B 如题 9-11 图，方向垂直向里，大小为 13 4 2 0 0 a ev B T 电子磁矩 m P 在图中也是垂直向里，大小为 242 102 . 9 2 eva a T e Pm 2 mA 题 9-11 图 题 9-12 图 9-12 两平行长直导线相距d=40cm，每根导线载有电流 1 I= 2 I=20A，如题 9-12 图所示求： (1)两导线所在平面内与该两导线等距的一点A处的磁感应强度； (2)通过图中斜线所示面积的磁通量( 1 r= 3 r=10cm,l=25cm) 解：(1) 52010 104 ) 2 (2) 2 (2 d I d I BA T纸面向外 (2)取面元rlSdd 6 12010 1 10 102 . 23ln 3 1 ln 2 3ln 2 )(22 1 21 1 lIlIlI ldr rd I r I rr r Wb 9-13 一根很长的铜导线载有电流 10A， 设电流均匀分布.在导线内部作一平面S， 如题 9-13 图所示试计算通过 S 平面的磁通量(沿导线长度方向取长为 1m 的一段作计算)铜的磁导 率 0 . 解：由安培环路定律求距圆导线轴为r处的磁感应强度 l IlB 0 d 2 2 0 2 R Ir rB 2 0 2 R Ir B 题 9-13 图 磁通量 60 0 2 0 )( 10 42 I dr R Ir SdB R s m Wb 9-14 设题 9-14 图中两导线中的电流均为 8A，对图示的三条闭合曲线a,b,c，分别写出安 培环路定理等式右边电流的代数和并讨论： (1)在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B 的大小是否相等? (2)在闭合曲线c上各点的B 是否为零?为什么? 解： a lB 0 8d ba lB 0 8d c lB0d (1)在各条闭合曲线上，各点B 的大小不相等 (2)在闭合曲线C上各点B 不为零只是B 的环路积分为零而非每点0B 题 9-14 图题 9-15 图 9-15 题 9-15 图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面，内、外半径分别为a,b， 导体内载有沿轴线方向的电流I，且I均匀地分布在管的横截面上设导体的磁导率 0 ，试证明导体内部各点)(bra 的磁感应强度的大小由下式给出： r ar ab I B 22 22 0 )(2 解：取闭合回路rl2 )(bra 则 l rBlB2d 22 2 2 )( ab I arI )(2 )( 22 22 0 abr arI B 9-16 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为a)和一同轴的导体圆管(内、外半径分别 为b,c)构成，如题 9-16 图所示使用时，电流I从一导体流去，从另一导体流回设电 流都是均匀地分布在导体的横截面上，求：(1)导体圆柱内(ra),(2)两导体之间(ar b)，（3）导体圆筒内(brc)以及(4)电缆外(rc)各点处磁感应强度的大小 解： L IlB 0 d (1)ar 2 2 0 2 R Ir rB 2 0 2 R Ir B (2) bra IrB 0 2 r I B 2 0 (3)crb I bc br IrB 0 22 22 0 2 )(2 )( 22 22 0 bcr rcI B (4)cr 02rB 0B 题 9-16 图 题 9-17 图 9-17 在半径为R的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为