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,一、基本概念,观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面的分类:,1.双侧曲面;,2.单侧曲面.,典型双侧曲面,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,播放,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,决定了侧的曲面称为有向曲面.,曲面的投影问题:,二、概念的引入,实例: 流向曲面一侧的流量.,1. 分割,则该点流速为 .,法向量为 .,2. 求和,3.取极限,三、概念及性质,被积函数,积分曲面,类似可定义,存在条件:,组合形式:,物理意义:,性质:,四、计算法,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,解,五、两类曲面积分之间的联系,两类曲面积分之间的联系,向量形式,解,六、小结,1.对坐标曲面积分的物理意义,2.对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点,a.曲面的侧,b.“一投,二代,三定号”,思考题,思考题解答,此时 的左侧为负侧，,而 的左侧为正侧.,练 习 题,练习题答案,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌
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