自动控制原理课后答案第8章.pdf

第 8 章 采样控制系统 【基本要求】 1. 正确理解采样控制系统和离散控制系统的基本概念和特点。 2. 理解信号采样和复现过程的物理意义及数学描述，掌握零阶保持器的特性，能运用香农 采样定理进行信号复现的判断。 3. 掌握z变换及z反变换的定义、定理和应用。 4. 熟练掌握脉冲传递函数及根据结构图求闭环脉冲传递函数，理解采样系统的稳定性条 件，掌握劳斯稳定性判据应用以及稳态误差计算。 5. 理解采样系统暂态响应与z平面上传递函数零、极点分布的关系。 6. 学会在时域内用离散脉冲序列对离散系统的动态性能进行分析。 8.1 引言 8.1.1 离散系统的基本概念 前面各章所研究的控制系统，由于系统中所有的信号均是时间t的连续函数，因此这样 的系统称为连续时间系统，简称连续系统；如果系统中某处或数处信号是脉冲序列或数码， 则这样的系统称为离散时间系统，简称离散系统。其中离散信号以脉冲序列形式出现的称为 采样控制系统或脉冲控制系统；以数码形式出现的称为数字控制系统或计算机控制系统。 由于计算机在控制精度，控制速度以及性能价格比等方面都比相应的模拟控制器具有明 显的优越性。采用计算机取代传统的模拟控制器的计算机控制系统，已在现代工业控制中成 为主流。因为计算机只能处理离散的数字信号（经采样并转换后得到） ，因此计算机控制系统 实际上就是一种采样控制系统。 如图 8-1 所示，在计算机控制系统中离散时间给定值 *( ) r t在采样时刻被送入计算机，与 量测及 A/D 变换后送入计算机的被控量( )c t的采样信号 *( ) c t在计算机中进行比较，并根据一 定的控制算法产生数字控制信号 *( ) u t， *( ) u t经 D/A 转换后变成模拟信号( )u t， 送入被控对象， 以使被控量( )c t的变化满足控制系统的要求。 *( ) r t ( )c t *( ) u t ( )u t 图 8-1 计算机控制系统示意图 显然，在计算机控制系统中， *( ) r t， *( ) c t， *( ) u t等均是采样信号。由于这些信号只是在 某些离散的时刻取值，它们属于离散时间信号。因此通常采用离散时间系统的理论来分析和 综合采样控制系统。这样，它们就与原来所处理的连续时间系统有着本质上的区别。 根据采样器在系统中所处的位置不同，可构成各种采样系统。如果采样器位于系统闭合 回路之外或系统本身不存在闭合回路，则称为开环采样系统；如果采样器位于系统闭合回路 之内，则称为闭环采样系统。在各种采样控制系统中，用的最多的是误差采样控制的闭合采 样系统。 本章将讨论采样控制系统的基本理论、数学工具和简单的采样控制系统的分析与综合方 法。在学习中应随时注意这些方法与连续系统有关方法的联系与区别。 8.1.2 离散系统的特点 离散控制系统特别是数字控制系统在自动控制领域取得了广泛地应用，主要是由于离散 控制系统较一般的连续控制系统具有如下一些优点： (1) 数字计算机能够保证足够高的计算精度。 (2) 在数字控制系统中可以采用高精度检测元件和执行元件，从而提高整个系统的精度。 (3) 数字信号或脉冲信号的抗干扰能力强，可以提高系统的抗干扰能力。 (4) 可以采用分时控制方式，用一台计算机可以同时控制多个控制系统，提升设备的利 用率，并且可以采用不同的控制规律进行控制。 (5) 由于计算机可以进行复杂的数学运算，所以可以实现一些模拟控制器难以实现的控 制律，特别对复杂的控制过程，如自适应控制、最优控制、智能控制等，只有数字计算机才 能完成。 因此，离散控制系统，特别是数字控制系统，具有连续系统所不具备的优越性，并已广 泛应用于自动控制各领域中。由于离散控制系统与连续控制系统之间存在着一些本质上的差 别，所以前面章节介绍的连续控制系统的分析和设计方法不能直接应用于离散控制系统。 8.2 信号的采样与复现 8.2.1 采样过程 图 8-1 所示的计算机控制系统只能每隔一定的时间间隔进行一次控制循环，在每一次循 环中，首先是输入信号，即将各量测的模拟输入量加到 A/D 转换器上，转换成数字信号后输 入到计算机，计算机根据输入信号执行控制程序计算出控制量，然后输出控制信号。在整个 控制过程中，计算机不断地重复这一循环。A/D 变换实际上包括两个过程，一个是每隔时间 间隔T采入模拟信号的瞬时值即采样过程，相应的时间间隔T称为采样周期。另一个是将采 样所得的离散时间信号转换为数字信号的量化过程。对采样过程来说，若在系统各处的采样 周期T均相等，则称为周期采样。若系统在各处以两种或两种以上的采样周期采样则称为多 速率采样。本章中只讨论周期采样，它也是最常见的采样形式。采样过程是由采样开关实现 的，采样开关每隔一定时间T闭合一次，闭合时间为，于是将连续信号时间 f t变成离散 的采样信号 * p ft，如图 8-2 所示。 0 t ( )f t ( )f t *( ) p ft T 0 t *( ) p ft T2T 图 8-2 采样过程 通常采样持续时间与采样周期T相比很短， 在理想采样开关的情况下有0。 这时可 以将采样信号 * ft看成是一有强度，无宽度的脉冲序列，即将 * ft看成是单位脉冲序列 T k ttkT (8-1) 被 f t调幅的结果，即 * k ftf ttkT 022ftf TtTfTtT 0k f kTtkT (8-2) 如图 8-3 所示。 0 t ( )f t ( )f t *( ) ft T 0 t *( ) ft 图 8-3 理想采样开关的采样过程 8.2.2 采样定理 T t是一个周期函数，它可以展开成傅氏级数形式 s jkt Tk k tC e (8-3) 其中 2 s T 称为角频率， k C是傅氏级数的系数 2 2 11 s T jkt TkT Ct edt TT (8-4) 从而有 1 s jkt T k te T (8-5) 由(8-5)式可以得到 * ft的另一个表达式为 * 1 s jkt T k ftf ttf t e T (8-6) 对(8-6)式求拉氏变换，注意到拉氏变换的位移性质有 * 1 s jkt k FsL ftLf t e T 1 s k F sjk T (8-7) 其中 F s为 f t的拉氏变换，由式(8-7)，显然 * Fs是一个周期为 s j的周期函数，即 * FsFsjm，m为整数。将sj代入式(8-7)即得 * ft得频率特性为 * 1 s k FjF jjk T (8-8) 其中F j为 f t的频率特性， 设其频谱如图 8-4(a)所示， 则 * Fj的频谱为图 8-4(b)所示。 h h ()F j 0 (a) 连续频谱 s 3 s 2 s s 2 s 3 s *( )Fj h h (b) 2 sh *( )Fj s h h s (c) 2 sh 图 8-4 函数采样前后的频谱变化 由图 8-4 可见， 连续信号 f t经采样后， 其频谱将沿频率轴以采样频率 s 为周期而无限 重复。如果 f t的频谱宽度是有限的，频谱最大宽度为 h ，且满足 2 s h ，则 * ft的两 相邻频谱不相互重叠。 在这种情况下， 若在 * ft后面加上一个频谱如图 8-5 所示的理想滤波 器，则经滤波后即可得到 f t的频谱。换而言之，可以由 * ft无失真地恢复 f t。反之， 若 2 s h ，则 * ft的两相邻频谱相互重叠，产生了失真，则连续时间信号 f t不可能不失 真地恢复。总结起来就是著名的香农采样定理。 香农采样定理香农采样定理：如果对信号 f t的采样频率 2 s T 大于或等于2 h ，即 2 sh (8-9) 其中 h 为 f t的有限带宽，则可由 f t的采样信号 * ft不失真地恢复到 f t。 在实际应用中，香农采样定理只是给出了选择采样频率（或采样周期）的一个指导原则。 通常还必须综合各个方面的因素来选择采样频率，即，(8-9)式给出了采样频率必须充分高的 一个最基本的准则，而在实际工程中，一般总是取2 sh ，而不取恰好等于2 h 的情形。 8.2.3 零阶保持器 为了实现对被控对象的有效控制，有时必须要把离散信号恢复为相应的连续信号，即信 号的复现。通过上一节的分析可以了解到，信号的复现需要通过一个理想的低通滤波器才可 以实现。但是具有如图 8-5 所示特性的理想滤波器在物理上是无法实现的。工程上常用接近 理想低通滤波器的保持器来代替。从数学意义来说，保持器的任务是解决各采样时刻之间的 插值问题。实际上，保持器是一种时域的外推装置，即按过去或现在时刻的采样进行外推求 得采样点之间的信号，它引入的相位延迟应较小，这对于反馈控制系统是很重要的，因此外 推法使用很普遍。在离散控制系统中，应用最广泛的是具有恒值外推功能的保持器，即零阶 保持器。 0 2 s 2 s 1.0 ()F j 图 8-5 理想滤波器的频谱 零阶保持器是把某一时刻nT的采样值，恒值地保持到下一个采样时刻(1)nT，也就是 按nT时刻的采样值（恒值）外推，即 ( )()f tf nT，(1)nTtnT 例如，具有一个电容保持的简单零阶保持电路如图 8-6 所示。假设在采样时刻tnT，电 容器瞬时被充到电压()f nT（电容充电的实际速率是由容抗和实际电源阻抗决定的，通常很 小） 。当采样开关打开后，在采样间隔T期间，电容器保持此充电电压直至下一个采样时刻。 如果放大器的输入阻抗为无穷大， 则电容器就没有放电回路了。 零阶保持电路就将输入的脉 冲扩展成一系列宽度为T的矩形波。实际上放大器只有有限的输入阻抗，因此，保持电路输 出的实际波形不是一系列方波，而是一系列时间常数很大的指数衰减的波形。 T 到零输出阻 抗信号源 保持电容器 无限大输 入阻抗 放大器 采样器 C 图 8-6 采样器和零阶保持装置图 理想化零阶保持器的输入-输出关系如图 8-7 所示，其脉冲响应函数如图 8-8(a)所示。它 是一个高度为 1，宽度为T的方波。 ( ) h G s ()f nT 0( ) f t ()f nT nT 0( ) f t t (a) (b) 图 8-7 零阶保持器输入-输出信号 (a)输入信号；(b)输出信号 T 0 ( ) h g t t T 0 ( ) h g t t 1( ) t 1 1()tT (a) (b) 图 8-8 零阶保持器的脉冲响应函数 图 8-8(a)所示的( ) h g t可以分解为两个阶跃函数之和，如图 8-8(b)所示。这样，可写出内 插函数如下 ( )1( )1() h g tttT (8-10) 对上式取拉氏变换，求得零阶保持器的传递函数为 111 ( ) Ts Ts h e G se sss (8-11) 令sj，得到零阶保持器的频率特性为 222 2 12() () 2 sin(2) 2 j Tj Tj Tj T h j T eeee Gj jj T Te T (8-12) 从而获得零阶保持器的幅频特性 sin() sin() 2 2 () 2 s h s s T GjT T (8-13) 而其相频特性为 () 2 h s T Gj (8-14) 零阶保持器的幅频与相频特性绘于图 8-9 中。 从幅频特性看出，幅值随着的增加而衰减，是一个低通滤波器，截止频率不止一个。 因此，它不是一个理想滤波器。它除了允许基带频谱通过外，还允许附加的各次谐波频谱通 过一部分。因此，由零阶保持器恢复的信号频率特性和原信号频率特性是有差别的，因而它 们的时域信号也就不同了。显然，采样周期T取得越小，上述差别也就越小。 从相频特性看出，采用零阶保持器后产生了附加的相位移，这将使系统的稳定性有所降 低。 () h Gj 2 s o s 2 s 3 s arg() h Gj 图 8-9 零阶保持器幅频与相频特性 8.3 Z变换 Z变换是分析离散控制系统常用的一种方法，它是由拉氏变换演变而来的，因此和拉 氏变换一样都是线性变换并且与拉氏变换有许多相似之处。 8.3.1 Z变换定义 设连续函数( )e t是可拉氏变换的，则其拉氏变换可表为 0 ed st E se tt 由于0t 时，有( )0e t ，故上式也可写为 eed st E stt 对于采样信号( )e t ，其表达式为 0n ete nTtnT 对上式取拉氏变换，得( )e t 的采样拉氏变换为 0 e nTs n Ese nT (8-15) 由于上式中含有esT因子，所以上式为s的超越函数。为了便于应用，令变量 esTz (8-16) 式中，s 是拉氏算子，T为采样周期，z是复数平面上定义的一个复变量，通常称为z变换算 子。 将式(8-16)代入式(8-15)可得 1 ln 0 n sz n T EEse nT zz (8-17) ( )E z即为离散信号( )e t 的z变换，常记为 0 n n Eete nT zZz (8.18) 通常情况下，一个连续函数如果可求其拉氏变换，则其z变换也可相应求得，如果拉氏 变换在 s 域收敛，则其z变换通常也在z域收敛。需要指出的是，在z变换过程中，由于考虑 的仅是连续时间函数经采样开关采样后的离散时间函数脉冲序列，或者说考虑的仅是连 续时间函数在采样时刻上的采样值，因此式(8-18)表达的仅是连续时间在采样时刻上的信息， 而不反映采样时刻之间的信息。 记 Eete t zZZ (8-19) 后一记号是为了书写方便， 并不意味着是连续信号( )e t的z变换， 而是仍指采样信号( )e t 的z 变换。 求离散信号z变换的方法很多，下面介绍三种常用的z变换方法。 1. 级数求和级数求和法法 级数求和法是直接根据z变换的定义，将式(8.17)写成展开形式： 12 02 n Eee TeTe nT zzzz (8-20) 上式是离散时间函数( )e t 的一种无穷级数表达形式。 通常， 对于常用函数z变换的级数形式， 都可以写出其闭合形式。 例 8.1 试求单位阶跃函数1( ) t采样后的z变换。 解： 单位阶跃函数1( ) t采样后的离散信号为单位阶跃序列， 在各个采样时刻上的采样值均为 1， 即()1(0,1,2,)e nTn ，故由式(8-20)，有 12 1 n E zzzz 若 1 1 z，则该级数收敛，利用等比级数求和公式，可得1( ) t的z变换的闭合形式为 1 1 11 E z z zz 例 8.2 求指数函数(0) at ea 的z变换。 解：指数函数采样后所得的脉冲序列如下所示 e0 1 2 -anT e nTn, , , 代入式(8-20)中可得 122 1eee -aT- aT-naTn E zzzz 若 1 e1 at z，该级数收敛，同样利用等比级数求和公式，其z变换的闭合形式为 1 1 1ee aTaT E z z zz 2. 部分分式法部分分式法 部分分式法的基本思路是：先求出已知连续时间函数( )e t的拉氏变换( )E s，然后将有理 分式函数( )E s展成部分分式之和的形式， 使每一部分分式对应简单的时间函数， 其相应的z变 换是可知的，于是可方便地求出( )E s对应的z变换( )E s。 例 8.3 已知连续函数的拉氏变换为 a E s s sa ，试求相应的z变换。 解：首先将 E s展为部分分式和的形式 11a E s s sassa 对上式取拉氏反变换得 1e at e t 分别求两部分z变换，由例 8.2 和例 8.3 可知 1 1 t z z Z e e at aT z z Z 则 2 1e 1e1ee aT aT aTaT E z zz z zzzz 例 8.4 求正弦函数( )sine tt的z变换。 解：对( )sine tt取拉氏变换，得 22 E s s 展开为部分分式，即 111 2jjj E s ss 可以得到 jj jj 2jj ee 11 2jee2jee1 TT TT TT E z zz z zzzz 化简后得 2 sin 2 cos1 T E T z z zz 3. 留数计算法留数计算法 设连续函数 e t的拉氏变换 E s及其全部极点 i p已知，则可用留数计算法求其z变换。 11 Res e nn i Ts ii EetE sR z z z Z (8-21) i R为( ) esT E s z z 在 i sp上的留数。 当( )E s具有sp一阶极点时，其留数 R 为 lim esT sp Rsp E s z z (8-22) 当( )E s具有sp的 q 阶重极点时，其留数R为 1 1 1d lim 1 !de q q qsT sp RspE s qs z z (8-23) 例 8.5 已知 2 ( ) K E s ssa 试用留数法求( )E z。 解：因为 2 K E s ssa 所以 1 0p ， 1 2q ， 2 pa ， 2 1q 。则 2 22 0 1d 0 21 ! dee sTsT ssa KK E sssa sssassa zz zz 2 2 1e1ee 1e -atatat -at KaT -aT a zz zz 常用函数的z变换和拉氏变换对照表见附录 1。 8.3.2 Z变换性质 与拉氏变换一样，z变换也有一些相应的基本定理。利用这些基本定理，可以使一些z变 换的运算变的简单、方便。 1. 线性定理线性定理 若已知 1 e t和 2 et的z变换分别为 1 E z和 2 Ez，且 1 a和 2 a为常数，则有 1 1221122 a e ta eta Ea E Zzz (8-24) 证明：由z变换定义 1 122 1 122 0 n n a e ta et a e nTa enT Z z 1122 00 1122 nn nn ae nTaenT a Ea E zz zz 式(8-24)表明，z变换是一种线性变换，其变换过程满足齐次性与均匀性。 2. 实数位移定理实数位移定理 实数位移定理又称平移定理，实数位移的含义是指整个采样序列在时间轴上左右平移若 干采样周期，其中向右移为滞后，向左移为超前。定理如下： 若( )e t的z变换为( )E z，则有 k e tkTE Zzz (8-25) 以及 1 0 k kn n e tkTEe nT Zzzz (8-26) 式中，k 为正整数。 证明：由z变换定义 00 n knk nn e tkTe nTkTenk T Zzzz 令mnk，则有 km mk e tkTe mT Zzz 由于0m 时，有()0e mT ，所以上式又可写为 0 kmk m e tkTe mTE Zzzzz 式(8-25)得证。 又因为 0 n n e tkTe nTkT Zz 取1k 得 1 00 1 nn nn e tTe nTTenT Zzzz 令1mn，上式可写成 10 00 mm mm e tTe mTe mTeEe Zzzzzzz 取2k 时，同理可得： 2 2 1 212 00 2 0 m m mn mn e tTe mT e mTee TEe nT Zzz zzzzzz 所以，取kk时，必有 1 0 k kn n e tkTEe nT Zzzz 则式(8-26)得证。 按照移动的方式，式(8-25)称为滞后定理，式(8-26)称为超前定理。其中，算子z有明确 的物理意义， k z表明采样信号滞后k个采样周期， k z表示采样信号超前k个采样周期。 但是， k z仅用于运算，在物理系统中并不存在。 实数位移定理在用z变换求解差分方程时经常用到，它可以将差分方程转化为z域的代 数方程。 3. 复数位移定理复数位移定理 若已知( )e t的z变换为( )E z，则有 ee atat e tE Zz (8-27) 中，a为常数。 证明：由z变换定义 00 eee n atanTnaT nn e te nTe nT Zzz 令 1 e aT zz，则有 1 0 ee atnaT n e te nTE Zzz 复数位移定理的含义是：函数( )e t 乘以指数序列e anT 的z变换，就等于在 * e ( ) t的z变换 表达式( )E z中，以e aT z取代原算子z。 4. 初值定理初值定理 已知( )e t的z变换为( )E z，且有极限lim( )E z z 存在，则 0 limlim t etE z z (8-28) 证明：由z变换定义 12 0 02 nn n Ee nTee TeTe nT zzzzz 所以 0 lim0lim t Eeet z z 5. 终值定理终值定理 若( )e t的z变换为( )E z，函数序列()e nT为有限值(n=0,1,2,)，且极限lim () n e nT 存在， 则函数序列的终值可由下式求得： 1 limlim1 n e nTE z zz (8-29) 证明：由实数位移定理 0e tTEe Zzzz 又 0 e tT1 n n e tenTe nT ZZz 所以 0 101 n n EeenTe nT zzzz 上式两边取1z时的极限，得 11 00 lim10lim11 n nn EeenTe nTenTe nT zz zzzz 当nN为有限项时，上式右端为 0 110 N n enTe nTeNTe 令N ，则 0 1lim10lim0 N Nn n enTe nTeNTee nTe 即可得 1 limlim1 n e nTE z zz z变换的终值定理形式还可以表示为 1 1 limlim 1 n ee nTE z zz (8-30) 终值定理在采样系统中的应用与 s 域的相同，都可用于求取系统的稳态误差。 6. 卷积定理卷积定理 设时间连续信号( )x t和( )y t的采样信号分别为()x nT和()y nT， 其z变换为( )X z、( )Y z， 定义离散卷积为 0k x nTy nTx kT ynk T (8-31) 则卷积定理：如果 g nTx nTy nT 则必有 GXYzzz (8-32) 证明证明：由z变换定义 0 k k Xx kT zz 0 n n Yy nT zz 再由定理已知条件： Gg nTx nTy nT zZZ 所以 0 k k XYx kTY zzzz 由实数位移定理有 0 kn n Yyn -k Tynk T zzZz 所以 00 n kn XYx kTynk T zzz 交换求和的次序 000 nn nkn XYx nT ynk Tx nTy nT zzzz 所以 GXYzzz 卷积定理的意义在于：将两个采样函数卷积的z变换等价于两个采样函数相应z变换的 乘积，给系统分析提供了极大的方便。 8.3.3 Z反变换 所谓z反变换，是已知z变换表达式( )E z，求相应离散序列()e nT的过程，记为 1 () ( )e nTE Zz。 下面介绍三种常用的z反变换的方法。 1. 幂级数法幂级数法 幂级数法又称长除法。因为( )E z一般为z的有理函数，所以可以表示为两个多项式之比 1 110 1 110 mm mm nn nn bbbb Enm aaaa zzz z zzz (8-33) 先将( )E z转换为按 1 z升幂排列的两个多项式之比，再用分子多项式除以分母多项式， 使( )E z变为按 1 z升幂排列的幂级数展开式 12 012 0 nn nn n Eccccc zzzzz 、(8-34) 根据z变换定义，由上式可直接求出( )e t 的脉冲序列表达式 0 n n etctnT (8-35) 例 8.6 设 2 2 ( ) 0.90.08 E z z zz ，试用幂级数法求( )E z的z反变换。 解：将原式写为 12 1 ( ) 10.90.08 E z zz 用长除法可得 123 10.90.730.585E zzzz 所以，其反变换为 0.90.7320.5853etttTtTtT 由上例可知，虽然幂级数法能得到采样脉冲序列的具体分布，但它通常难以给出 et 的 闭合形式，因而不便于对系统进行分析。如果要求闭合形式，可用下面两种方法。 2. 部分分式法部分分式法 若已知( )E z，通过部分分式展开，可以将复杂的( )E z展成多个简单的z的有理分式和的 形式，然后通过查表 8-1，求出各项的( )e t 。要注意的是，在z变换表中，所有的z变换函数 ( )E z在其分子中普遍都含有因子z，所以应将( )E zz展为部分分式，然后将所得结果的每一 项都乘以z，即得( )E z的部分分式展开式。 例 8.7 设 10 ( ) 12 E z z zz ，试用部分分式法求其z反变换。 解：由于 101010 1212 E z zzzzz 所以 1010 12 E zz z zz 查表可得 1 1 1 n z Z z ， 1 2 2 n z Z z 所以可得( )E z的z反变换为 10 21 n e nT 0,1,2,n 3. 反演积分法反演积分法 若( )e t的z变换为( )E z，则 11 1 1 ()( )Res ( ) 2 i k nn i e nTEdE j z z z zzz z (8-36) 式中， i zz，1,2,ik为( )E z的k个极点，只要将( )E z乘以 1n z后，求其留数和，所得 值为采样函数的一般项系数()e nT。 例 8.8 求 2 ( ) ab E ab z z zz 的z反变换。 解： 2 1 2 Res k n i ab e nT ab zz z zz 22 2 nn ab nn abab ab abab ab zz zz zz zzzz 8.4 离散系统的数学模型 与连续系统类似，为了研究离散系统的性能，首先也需要建立离散系统的数学模型。线 性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种。本节主要介 绍差分方程及其解法，脉冲传递函数的基本概念，以及开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函 数的建立方法。 8.4.1 线性常系数差分方程及求解 1. 差分方程差分方程 连续时间系统的输入和输出信号都是连续的时间函数，描述它们内在规律的是连续时间 系统的微分方程或积分微分方程。而离散时间系统的输入和输出信号都是离散的时间函数， 即以序列形式表示如(),(0,1,2,)x nTn 。这种系统的行为就不再能用时间的微商来描述， 它 的运算规律必然取决于前后序列数，这就必须使用差分方程来描述。 所谓差分方程，就是反映离散系统输入-输出序列之间的运算关系。在微分方程中，包含 有连续的自变量的函数及其导数，如( )r t、 ( )dr t dt 等。在差分方程中，自变量是离散的，方程 的各项包含有这种离散变量的函数，如( ),(0, 1, 2,)r nn ，还包含有此函数序数增加或减 少的函数(1)r n 、(1)r n 等。 为了说明怎样由离散时间系统去引出描写系统的差分方程，本节对照一阶微分方程来推 演相应的差分方程。 1 1 1s T ( )r t( )c t 1 1 1s T ( )r t ()c nT ()r nT aK T bK T (a) (b) 图 8-10 连续时间系统和离散时间系统的方框图 设系统为一阶惯性环节，如图 8-10(a)所示。系统的传递函数为 1 1 ( ) 1 G s s T 其微分方程为： 1 ( )( )( ) d c tc tr t T dt (8-37) 此连续系统的采样系统如图 8-10(b)所示。 采样开关 a K将输入每隔T秒采样一次， 生成序 列 0 () () n r nTtnT ，而输出亦经过与 a K同步的采样开关 b K，生成 0 () () n c nTtnT 。现要 求()r nT于()c nT之间的关系。 与线性连续时间系统求解微分方程一样，对于离散时间系统，在求解差分方程时也可以 分别求出其零输入分量和零状态分量，然后迭加得到方程的全解。先考察在tnT时的情况。 当t趋于nT而该时的脉冲尚未施加时，由该时刻开始的零输入分量显然应为 1 () 1( ) () t nTT tc nT ce 又由于此系统的单位脉冲响应是 1 1 1 ( ) tT g t e T ，所以当tnT时的第n个脉冲 () ()r nTtnT加于系统后，系统的零状态分量为 1 () 2 1 () ( ) t nTT r nT t ce T 于是得到当tnT后的总输出为 1 () 12 1 1 ( )( )( )()() t nTT c tttc nTr nT cce T 当(1)tnT时，上式成为 1 1 1 (1)()() TT c nTc nTr nT e T 或 1 1 1 () (1)() TT TT r nT e c nTc nT e T (8-38) 这就是描述输出离散值()c nT与输入采样值()r nT关系的差分方程。 此式表示在序列信号 输入时，描述系统在第n个采样周期输入与输出的关系。 从式(8-38)中可以看出，差分方程的系数与采样周期T有关，而且差分方程和微分方程在 形式上有一定相似之处。比较式(8-37)和式(8-38)可以看出，如果( )c t与()c nT相当，则()c nT 中离散变量序号加 1 与( )c t对连续变量t取一阶导数相当，于是上面两式中各项都可一一对 应。 2. 差分方程求解差分方程求解 差分方程求解常用的方法有两种。一种是迭代法，另一种是z变换法。 (1) 迭代法 若已知差分方程(8.37)，并且给定输入和输出序列的初值，则可以利用递推关系，在计算 机上一步一步地算出输出序列。 例 8.9 已知采样系统的差分方程是 122c kc kr kr k 初始条件为(0)2c，输入 0 ( ) 00 kk r k k ，使用迭代法求出输出序列( )12 3 4c kk ， ， ，。 解：由差分方程可得 221c kr kr kc k 令1k ，有 112101021crrc 同理有 222012013crrc 332123232crrc 4422342226crrc (2) z变换法 用z变换法求解差分方程的实质和用拉氏变换解微分方程类似，首先要对差分方程两端 取z变换，并利用z变换的实数位移定理，得到以z为变量的代数方程，然后对代数方程的解 ( )C z取z反变换，求得输出序列( )c k。 例 8.10 使用z变换法求解下列二阶差分方程 23120c kc kc k，设初始条件为 00c, 11c。 解：对方程两边取z变换得 23120Z c kc kc k 由线性定理有 23120c kc kc k ZZZ 由实数位移定理有 222 201 313303 22 c kCccC c kCcC c kC Zzzzzzzz Zzzzzz Zz 所以，差分方程可变换为如下z的代数方程 2 32 Czzzz 2 3212 C zzz z zzzz 查z变换表，求出z反变换 0 12 nn n cttnT 即 12 kk c k ，0,1,2,k 8.4.2 脉冲传递函数 1 脉冲传递函数定义脉冲传递函数定义 与线性连续系统的分析类似，在线性定常离散时间系统中引入z变换，便可引入离散系 统传递函数的概念。它和连续系统的传递函数具有类似的性质。 如图 8-11 所示，设系统输入信号( )r t的采样信号 *( ) r t的z变换函数为( )R z，系统连续部 分的输出为( )c t。 为得到采样信号 *( ) c t与 *( ) r t之间的关系， 在输出端虚设一个理想采样开关， 它与输入采样开关同步工作，并有相同采样周期T。若T足够小，则可用 *( ) c t来描述( )c t。 设 *( ) c t的z变换为( )C z，并设初始条件为零，则脉冲传递函数的定义为 ( ) ( ) ( ) C G R z z z (8-39) 即脉冲传递函数( )G z定义为在零初始条件下输出采样信号的z变换与输入采样信号的z变换 之比。类似连续系统的传递函数，( )G z通常是一个关于z的有理函数，其分母多项式又称为 特征多项式，特征多项式的根称为系统的极点。分子多项式的根则称为系统的零点。 ( )r t ( )G s ( )c t *( ) c t *( ) r t ( )R z( )C z ( )G z ( )r t ( )G s ( )c t *( ) c t *( ) r t ( )R z ( )C z ( )G z (a) (b) 图 8-11 采样系统示意图 也可以从连续系统的传递函数的角度来推出脉冲传递函数。如图 8-11 所示，设采样信号 *( ) r t的拉氏变换为 *( ) R s。连续系统传递函数为( )G s，则输出( )c t的拉氏变换为 * C sRs G s (8-40) 根据采样信号的拉氏变换定义式(8-7)， *( ) c t的拉氏变换 *( ) Cs为 * 1 ( )() s k C sC sjk T (8-41) 代入(8-41)式，得 * 1 ( )() () ss k CsR sjkG sjk T (8-42) 因为 * Rs是 s 的周期函数，即对于任意整数k，有 * ( )() s R sR sjk 由(8-42)式得到 * 1 ( )( )() s k CsR sG sjk T (8-43) 定义 * 1 ( )() s k G sG sjk T (8-44) 得到 * CsGs Rs (8-45) 令 Ts ez，或 1 lns T z，则上式可表 ( )( ) ( )CGRzzz (8-46) 其中 1 ln 1 ( )() s k sz T GG sjk T z (8-47) 上式(8-47)将( )G z和( )G s直接联系起来了。 因为( )G s是连续时间系统连续脉冲响应函数( )g t的拉氏变换，( )g t的采样信号 *( ) g t的拉 氏变换具有与式(8-44)同样的形式。 因此由式(8-47)我们知道( )G z又可看成( )G s的脉冲响应函 数( )g t的z变换。这样又将( )G z和( )G s联系起来了。 2 脉冲传递函数脉冲传递函数求取求取 若已知系统的差分方程， 可首先对差分方程两端取z变换， 再应用 C G R z z z 求取脉冲 传递函数。 若已知的是系统的传递函数( )G s，求其( )G z的具体方法是：先求( )G s的拉氏反变换， 得到脉冲过渡函数( )g t，再将( )g t按采样周期离散，得到加权序列()g nT，最后将()g nT进 行z变换， 得到( )G z。 但这一过程比较复杂。 为简便起见， 通常可根据z变换表， 直接从( )G s 得到( )G z。 如果( )G z为阶次较高的有理分式函数，在z变换表中不能直接找到与其相对应的( )G z， 则可将( )G s展成部分分式，再查各分式对应的z变换，从而求得( )G z。 例 8.10 设如图 8-11 所示系统的传递函数 10 ( ) 10 G s s s ，求( )G z。 解：将