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原创物理竞赛模拟题第八套 答案及评分标准 题一、 （题一、 （20 分）分）经过测试，发现用如左图所示的四个力，恰好能把一根长为 1.00m 的轻质木 棒撇断。用四根这样的木棒对称的构成右图的架子，支撑在一个圆形碗口上（俯视图） ，把 一个重物放挂在 P 点，求重物的最大质量。 【解答】 木杆之所以会断，是因为杆上部挤压，下部拉伸，所提供的力矩超过极限。可以分析从 0m 到 1.00m 各点轻杆受到的力矩，可以发现 0.250.75m 之间，轻杆受到了 5Nm 的力矩，而在 00.25m 和 0.751.00m 之间力矩小于 5Nm，因此轻杆所能承受的最大力矩为 5Nm。 设重物质量为M 如左图可知，此种木杆所能提供最大力矩： max 20N0.25m5N mM（3 分） 对右图各点进行标号，对杆 2、3、4进行受力分析 易得 3451 248NNNN（2 分） 对杆 1 进行受力分析，由力矩平衡 13 0.5m0.75m1mNMgN（2 分） 得到 1 10 Mg N ， 3 8 10 NMg（2 分） 由受力平衡 631 NNMgN 得到 6 3 10 NMg（2 分） 分析杆上提供力矩规律，发现极值只可能出现在受力点处，分析各受力点提供力矩大小，找 到最大值： 杆： 2 8 0.250.2 10 MMgmMgm 0.25m 0.75m 0m 1.00m 20N 20N 20N 20N 0m 0.50m 1.00m 0.75m P 杆 6 54 杆 杆 321 杆 h t t p s :/w w w .e d u z h i x i n .co m / 同时杆： 3 4 0.50.2 10 MMgmMgm（7 分，两式只给出一个扣 3 分） 此值等于 max M时，杆断。故 0.2m5N mMg（2 分） 得 2.5Mkg 题二、 （题二、 （22 分）分）如图所示，在一个光滑的底面积为 2 1dmS 高为0.2mH 的固定圆柱形容 器内，有一个可以自由上下滑动活塞（活塞下方于大气连通） ，活塞质量为 0 1.0kgm ，活 塞下方用一根劲度系数为200N/mk ，原长为 0 0.3ml 的轻质弹簧连接到容器底。初始 时刻活塞位于距离底面0.1mh 高的位置，上方盛满方有密度为 33 1 10 kg/m 的水， 用手拉住保持活塞静止然后释放。 假设水一旦满出容器就立刻流走， 不再对下方的活塞和水 有作用力。 （1）求释放活塞上升最大位移 （2）求从释放到活塞运动到最高点所需时间。 【解答】 以地面为原点，向上为x坐标，描述活塞运动在水未完全溢出前，活塞及水有牛顿第二定律 注意：水也在加速！ 000 ms Hxak lxm gs Hx g （3 分） 带入数据得到 2 10am s.为匀加速运动。（2 分） 到达瓶口时，活塞速度为 1 2vm s（2 分） 经历时间为 1 2 10ts（2 分） 后活塞作简谐运动，平衡位置在容器口上 0.05hm处 （2 分） 由能量守恒求得其振幅 2 22 1 111 222 mvkhkA 得 5 20 Am（3 分） 从瓶口上升至最大振幅处，参考圆转过角度 arcsin 5 5 2 （3 分） h t t p s :/w w w .e d u z h i x i n .co m / 故 2 arcsin 5 50.14 2 m ts k （1 分） 综上： （1）上升最大位移 35 0.26 20 SHhhAmm （2 分） （2）经历时间 12 0.29Ttts（2 分） 题三、 （题三、 （20 分）分）由于潮汐和地球自转的影响，地球上的海水被拉成椭球状，且长轴方向与地 月连线方向略有偏差，这样地球对月亮的引力的合力会在月亮绕地球运动方向有微小的分 量，从而把月球加速，推动月亮远离地球，同时海水对地球的摩擦使得地球自转变慢，直到 月球公转周期和地球自转周期相同。 （事实恐龙看到的月亮比我们看到的大多了）已知月 球质量为 22 7.35 10 kg M m，地球质量为 24 5.9 10 kg E m ，地球到月球距离为 8 3.8 10 mr ，地球半径为 6 6.4 10 mR 。地球转动惯量 2 2 5 E Im R，月球半径可以 忽略，9.8N/kgg 。试求最终月亮中心会离地球中心多远？ 【解答】 设月-地距离用a表示，地球自转角速度，月球公转角速度 由月球运动的牛顿第二定律及万有引力公式 2 2 ME M Gm m ma a （3 分） 得 1 3 2 E GM a 或 1 2 3 E GM a 带入 2 0 , E GMgR ar得 6 0 2.7047 10/rad s （3 分） 写出地球-月球系统角动量表达式（地球质量远大于月球质量） 1 2 2 3 3 MME LImaImGM （3 分） 在整个过程中角动量守恒，而末态=末 末故 1122 22 3333 00 + MM ImgRImgR 末末 （5 分） 数值解： 1 373234 3 9.667 104.000 103.574 100 末末 令： 1 2 3 5 9.667 104.0003.574 10y 末末 h t t p s :/w w w .e d u z h i x i n .co m / 6 (10rad/s) 末 1 2 1.4 1.5 1.45 y 43.6 -38.01.5 -6.5-2.6 得到 6 1.4 10/rad s 末 （3 分） 代入得 8 =5.8 10am 末 （3 分） 题四、 （题四、 （24 分）分）如图所示，在圆形区域中（足够大） ，有垂直于纸面向内随时间均匀增加的 磁场 B k t 。在离圆心O距离为d的位置有一个钉子，钉住了一根长度为l均匀的质量为 m的绝缘棒的中心P，棒子能在平面内自由无摩擦自由转动。棒子上半截均匀带正电，电 量为Q，下半截均匀带负电，电量为Q。初始时刻棒子垂直于OP。 （1）计算在P点处钉子受到的压力。 （2）若棒子受到微小扰动，在平面内来回转动起来（速度很小，洛仑兹力可以忽略） ，求 证此运动是简谐振动，并计算周期。 （棒子绕质心的转动惯量为 2 1 12 Iml） 【解答】 涡旋电场大小为E，则有 2 2 B Err t 得到 2 r Ek，方向垂直于O连线（3 分） 则杆上场强分量为 2 2 x y k Ey k Ed （3 分） （1）由于上下电量相反，y方向场强不变，故钉子y方向不受力。（3 分） x方向受电场力为： x y O l B P h t t p s :/w w w .e d u z h i x i n .co m / 1 0 2 0/2 / 22/ 224 l QkQkQkl Fdyydyy ll （3 分） 故钉子压力为 4 Qkl (由于电场和y坐标成正比，因而可以使用平均电场计算) （2）设棒子转过一微小角度 y方向电场力会提供力矩(由于力臂是一阶小量，横坐标变化引起的电场力改变也是一阶小 量，忽略二阶以上小量，因而不必计算电场力改变量产生的力矩。由于电场几乎是均匀的， 所以正电荷受力的合力力臂为 4 l ) 2 424 lkQkdl MdQ （6 分） 而 MI 则 0 4 Qkdl I 是简谐方程 （3 分） 周期为 2 3 ml T Qkd （3 分） 题五、 （题五、 （16 分）分）等离子体控制是我们通向可控核聚变的重要技术。我们把某等离子体假设成 为数密度分别为 0 n和 0 2n的正负离子构成，正负电荷电量分别为2q和q。正电荷以速度 v运动时受阻力fk v ，负电荷以速度v运动时受阻力fk v 。把等离子体填充进入 一个边长为l的绝热绝缘的立方体内，并在上下面各放置一块金属板块。将上下极板之间接 入 0 U的直流电源之后，求电流I。 （以下不是考题：将上下极板之间接入 0cos Ut的交流 电之后，求电流( )I t） 【解答】 上下极板加上 0 U后，产生电场强度 0 EUl（1 分） 其中的正负离子受力大小有 2FqE FqE （2 分） 稳定时，正负离子应受力平衡 Ffk v Ffkv （2 分） 由上，可求出 0 0 2qU v k l qU v k l （2 分） h t t p s :/w w w .e d u z h i x i n .co m / 由电流in q s v s为横截面积 2 l（2 分） 得 2 2000 0 2 2000 0 24 2 2 2 qUn q U l inq l k lk qUn q U l inq l k lk （6 分） 总电流 2 00 4/2/Iiikkn q U l （1 分） 注：此题是用来卖萌的 题六、 （题六、 （20 分）分）如图所示是传统风箱的结构，忽略活塞的摩擦，假设气壁导热良好，环境温 度恒定为 0 T，向左推动的到左室体积为 0 V，右气室体积为 0 2V时候开始方向向右推动，向 右推动至右气室体积为 0 V时，反向向左推动。环境气压为 0 P，当压差为 P的时候单向阀 门才会打开，当气体流出时保持有P压强差（相当于阻力） 。气体定体摩尔热容量为 V C。 在活塞反向运动前，左右两气室均达到稳定压强。 （1）求一个周期中总共从出气口鼓出的气体的摩尔数。 （2）求一个周期中外力对活塞做功为多少？ 提示：ln b a dxb xa 【解答】 分析活塞从左至右的过程（即半个周期） 设初始时左气室气体数 1 n，右室 2 n 此时左气室压强 10 PPP,右室 2 PPP(2 分) 分别有气体状态方程 0010 0020 2 VPPn RT VPPn RT （4 分） h t t p s :/w w w .e d u z h i x i n .co m / （1）活塞至右端时，右室气体数变为 1 n，左室 2 n 则半周期鼓出气体 21 nn 一个周期鼓出 00 21 0 23 2 VPP Nnn RT （2 分） （2）设左侧气室体积 1 V时，开始吸气. 设右侧气室体积 2 V时，开始鼓气 由气体状态方程 1010 2020 V PPn RT VPPn RT （4 分） 左室吸气前，为等温过程， 10 n RT P V 故开始至吸气对活塞做功 1 0 100 100 0 ln V V n RTPP WdVVPP VPP （2 分） 吸气过程对活塞做功 20100 23WVVPPPP V （1 分） 同理，两过程中右室对活塞做功 0 300 0 400 2ln(2) =3(1) PP WVPP PP WPPV 一个周期中外力做功： 0 123400 0 223ln PP WWWWWVPP PP (2 分) 题七、 （题七、 （18 分）分）一个质量为m的宇宙飞船在太阳风中行驶，风速为3 /2u。初始时刻风速 和飞船速度相对惯性系 S 的大小和方向如图所示。当飞船与太阳风相对速度小于3u的时 候，飞船发动机推力恒定为F，否则发动机推力恒定为2F。飞船可以向任意方向加速， 要求飞船达到末状态为：相对于太阳风，速度为2u，方向垂直于风速向上。 （1） 以太阳风为参照系，相对速度 x v和 y v为坐标轴（原风速方向沿 x v方向） ，画出飞船 初态、末态速度的位置，标记出飞船受力为F的范围。 （2）求到达末态所需要的最小时间，并在上图中标记历经的状态。 【解答】 （1）虚线圆内受力为F（圆心原点半径3u） （5 分） （2）设速度变化量在圆内部分长： 1 v 90 / 2u 3 / 2u 3 1 (, ) 22 1/ 2n 1n / x vu / y vu B A 3R P (0,2) 0 h t t p s :/w w w .e d u z h i x i n .co m / 设速度变化量在圆外部分长： 2 v 则初速至末速历时 12 2 m vm v t FF （3 分） 若时间类比光学中的光程，v类比光线路径长，m f类比折射率，由于费马原理则原 问题可等效为： 如图，求 A 点发出的光线中可到达 B 点的光线的光程及轨迹 （5 分） 考察 A 正上方点P，由几何关系30OPA，90BPQ （2 分） 21 11 sin=1=1=sin 22 BPQ nOPA n（2 分） 满足折射定律故折线 APB 即为所求轨迹 带回原问题，得到 12 ,vuvu（2 分） 故最短用时： 3 2 mu t F （1 分） 题八、 （题八、 （20 分）分）在小说三体中，人们提出一个“阶梯计划” ，用于把 0 1kgm 的物体加 速到 0.9 倍光速，送往另一个星球以期跟地外文明交流。其实现的方案是：物体自带面积为 2 1000mS 的镜子， 在正对镜面方向放置一颗核弹， 点爆核弹， 光子将在镜面上全部反射， 从而推动镜面前进。然而一颗核弹不够，于是将一系列核弹在太阳系中排成一条直线，物体 沿着直线被推出，每经过一个核弹附近，就将核弹点爆，于是物体被不断加速。下面我们估 算这样操作的可行性。我们使用“大伊万”5000 万当量的核弹，假设核弹爆炸前静止，爆 炸瞬间能在 100m 附近的镜面产生 12-21 1.6 10 Jm sJ 的能流密度（以静止的核弹为参照 系，假设能流全部为光子，并垂直于镜面入射） ，持续时间为 0 1.0st ，此后的爆炸产生的 辐射可以忽略。 （1）当镜面速度为v时，以镜面为参照系，光的能流密度J为多少？ 提示： 多普勒效应表明， 以速度v远离光源时候， 看到的频率和原频率之比为 cv cv （2）当镜面速度为v时，一次核弹爆炸后镜面获得的动量为多少？（假设一次爆炸之后 /v c的变化量很小） （以上答案用字母表示