平面向量的数量积及运算律.ppt

4！,平面向量的数积及运算率,【学习目标】,1.认识理解平面向量数量积的含义及物理意义，体会 平面向量的数量积与向量投影的关系。,2.掌握平面向量数量积的性质和运算律，熟练地应用 平面向量数量积的定义、运算律进行运算。,自主学习,【问题导学】,阅读课本P103P105，回答下列问题,1向量数量积的定义是什么？,先看一个物理问题,一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那么力F 所做的功应当怎样计算？,其中是 F 与 s 的夹角 .,W = |F|s| cos,从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念。,先看一个概念-向量的夹角,两个非零向量a 和b ，作 ， ，则 叫做向量a 和b 的夹角,O,A,B,a,b,当 ，,当 ，,当 ，,记作,已知,a 与b 同向；,a 与b 反向；,a 与b 垂直.,平面向量的数量积的定义,规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0,（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.,（3） 在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是 0，180,（2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，它与 数的乘法是有区别的， a b不能写成 ab 或 ab .,说明：,2.,| b | cos,| b | cos叫向量 b 在 a 方向上的投影,| a| cos叫向量 a在 b方向上的投影,3向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？ 什么时候为负？什么时候为零？,为锐角时， | b | cos0,为钝角时， | b | cos0,为直角时， | b | cos=0,数量积的物理意义：,数量积的几何意义：,W=F s,=|F|s|cos,4向量数量积的几何意义是什么？,（1）e a=a e=| a | cos,（2）ab a b=0 (判断两向量垂直的依据),（3）当a 与b 同向时，a b =| a | | b |，当a 与b 反向 时， a b =| a | | b | 特别地,（4）,由数量积的定义，可得以下重要性质:,设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则,5.向量的数量积有那些性质？为什么？请你证明,数量积的运算律：,交换律：,对数乘的结合律：,分配律：,6向量数量积满足那些运算律？如何证明？,数乘的结合律：,等式显然成立 .,综上所述：,分配律：,.,O,C,A,A1,B,B1,实数运算与平面向量的数量积的区别, 向量数量积不满足结合律 .,说明：,练习1：判断下列命题正确与否： （1）若 a =0 ，则对任一向量 b ，有 ab=0 。 （2）若 a 0 ，则对任一非零向量 b ，有 ab0。 （3）若 a 0 ，ab = 0 ，则 b = 0 。 （4）若 ab = 0 ，则 a、b 中至少有一个为0 。 （5）若 a 0 ，ab= ac ，则 b = c 。 （6）若 ab= ac ，则 bc， 当且仅当a =0 时成立。 （7）对任意向量 a，有 a2 = |a|2。,（）,（X）,（X）,（X）,（X）,（X）,（）,练习2：,1、有四个式子： 其中正确的个数为（ ） A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 2、已知 、 都是单位向量，下列结论正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 3、有下列四个关系式： ，其中正确的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4,D,B,A,【合作、探究、展示】,合作探究,解(1):,(2):,作为公式,所以有上述类似的结论,【课堂小结】,1理解平面向量数量积的含义及物理意义，平面向量的 数量积与向量投影的关系。 2掌握平面向量数量积的性质和运算律，熟练地应用平面 向量数量积的定义、运算律进行运算。,【达标检测】,教材P106练习1,2,3 P108 A组 1,2,3 B组 1,已 知 是非零向量，且 与,垂直，,与 垂直，,求 的夹角。