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文档简介
利用圆内接正多边形来推算圆面积 割圆术:,圆内接正六边形面积,圆内接正十二边形面积,圆内接正二十四边形的面积,面积值构成一列有次序的数,一、数列极限的定义,1.问题的引入,内接正多边形与圆的差别越小,内接正多边形无限接近于圆,例如,2.数列的定义,从几何上看,数列对应着数轴上一个点列. 可看作一动点在数轴上依次取,数列是自变量取正整数的函数,观察重点:,3.数列极限(sequence limit)的定义,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,方法: 两数之间的接近程度可以用两数之差的绝对值(即距离)来表示.,数列极限的定义,例如,趋势不定,收 敛,发 散,关于定义的说明:,(3) 几何解释:,(4) 极限概念的简写形式,(5) 数列极限的定义未给出如何求数列的极限.,例1,证,例2,证,注意:,二、收敛数列的性质,证: 用反证法.,及,且,取,因,故存在 N1 ,从而,同理, 因,故存在 N2 ,使当 n N2 时, 有,1. 收敛数列的极限唯一.,使当 n N1 时,假设,从而,矛盾.,因此收敛数列的极限必唯一.,则当 n N 时,故假设不真 !,满足的不等式,例4. 证明数列,是发散的.,证: 用反证法.,假设数列,收敛 ,则有唯一极限 a 存在 .,取,则存在 N ,但因,交替取值 1 与1 ,内,而此二数不可能同时落在,长度为 1 的开区间,使当 n N 时 , 有,因此该数列发散 .,2. 收敛数列一定有界.,证: 设,取,则,当,时,从而有,取,则有,由此证明收敛数列必有界.,说明: 此性质反过来不一定成立 .,例如,虽有界但不收敛 .,有,数列,3. 收敛数列的保号性.,若,且,时, 有,证:,对 a 0 ,取,推论:,若数列从某项起,(用反证法证明),*,4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .,证: 设数列,是数列,的任一子数列 .,若,则,当,时, 有,现取正整数 K , 使,于是当,时, 有,从而有,由此证明,*,由此性质可知 ,若数列有两个子数列收敛于不同的极,限 ,例如，,发散 !,则原数列一定发散 .,说明:,五、小结,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;,收敛数列的性质
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