世纪金榜第五章第二节.ppt

第二节 等差数列,1.等差数列的定义 (1)条件：一个数列从_起，每一项减去它的前一项所得 的差都等于_常数. (2)公差：常数叫公差，用字母d表示. (3)定义表达式：_.,第二项,同一个,an+1-an=d(nN*),2.等差数列的通项公式 若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an= _. 3.等差中项 若a,A,b这三个数成等差数列，那么A= .A叫做a和b的等 差中项.,a1+(n-1)d,4.等差数列的前n项和公式,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( ) (2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an+1=an+an+2.( ) (3)等差数列an的单调性是由公差d决定的.( ),(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( ) (5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 【解析】(1)错误.若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，这个数列就不是等差数列.,(2)正确.如果数列an为等差数列，根据定义an+2-an+1=an+1 -an，即2an+1=an+an+2；反之，若对任意nN*，都有2an+1=an+ an+2，则an+2-an+1=an+1-an=an-an-1a2-a1，根据定义数列 an为等差数列. (3)正确.当d0时为递增数列；d=0时为常数列；d0时为递减 数列.,(4)错误.根据等差数列的通项公式，an=a1+(n-1)d=dn+(a1- d)，只有当d0时，等差数列的通项公式才是n的一次函数， 否则不是. (5)错误.根据等差数列的前n项和公式，Sn=na1+ = ，显然只有公差d0时才是n的常数项为0的二次 函数，否则不是(甚至也不是n的一次函数，即a1=d=0时). 答案：(1) (2) (3) (4) (5),1.在等差数列an中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于 _. 【解析】方法一：a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=13, 又a1=2,d=3，a4+a5+a6=a1+3d+a1+4d+a1+5d=3a1+12d= 32+123=42.,方法二：a1+a2+a3=3a2=15， a2=5，d=3,a5=a1+4d=14， a4+a5+a6=3a5=314=42. 答案：42,2.等差数列an的前n项和为Sn，若a2=1，a3=3，则S4=_. 【解析】方法一：由a2=1，a3=3知d=a3-a2=2, a1=a2-d=-1， 方法二：a2+a4=2a3=6， a4=6-a2=5,a1=a2-(a3-a2)=2a2-a3=-1, S4= 答案：8,3.已知an是等差数列，且a3+a9=4a5，a2=-8，则该数列的公差是_. 【解析】因为a3+a9=4a5，所以根据等差数列的性质可得：a6= 2a5，所以a1+5d=2a1+8d.又因为a2=-8，即a1+d=-8，所以可得公差d=4. 答案：4,4. -1与 +1的等差中项是_. 【解析】 -1与 +1的等差中项为 答案：,5.在等差数列an中，a5=10，a12=31，则数列的通项公式为 _. 【解析】a5=a1+4d,a12=a1+11d, 解得 an=a1+(n-1)d=-2+(n-1)3=3n-5. 答案：an=3n-5,6.在等差数列an中，d=2，n=15，an=-10，则Sn=_. 【解析】由an=a1+(n-1)d，得 -10=a1+(15-1)2，解得a1=-38， Sn= =-360. 答案：-360,考向 1 等差数列的基本运算 【典例1】(1)已知an为等差数列，且a72a41,a30,则公差d_. (2)设Sn为等差数列an的前n项和，若a2=1,a4=5，则S5等于_. (3)(2013苏州模拟)设等差数列an的前n项和为Sn，且a5+ a13=34,S3=9.求数列an的通项公式及前n项和公式.,【思路点拨】(1)根据已知和等差数列的通项公式得关于a1,d的方程组，解方程组即得.(2)根据a2=1,a4=5，得关于a1,d的方程组求出a1,d,再使用求和公式，或者直接使用等差数列性质.(3)根据a5+a13=34,S3=9可得关于a1,d的方程组，根据这个方程确定a1,d的关系即可确定所求.,【规范解答】(1)由a72a4-1,a30,得 得 答案：-,(2)方法一：由题意得 即 故S5=5a1+ 2=15. 方法二： 答案：15,(3)设等差数列an的公差为d.由已知得 故an=2n-1,Sn=n2.,【互动探究】本例题(2)中条件不变，则Sn=_. 【解析】在本例题(2)的方法一中已经求解出 所以 =n2-2n. 答案：n2-2n,【拓展提升】 1.等差数列运算问题的通性通法 等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由 通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. 2.等差数列前n项和公式的应用方法 根据不同的已知选用两个求和公式，如已知首项和公差，则使 用公式Sn=na1+ ，若已知通项公式，则使用公式Sn=,【变式备选】已知等差数列an中, a5=1,a3=a2+2,则S11= _. 【解析】由a3=a2+2，得公差d=a3-a2=2.由a5=a1+42=1，得a1=-7，所以S11=11(-7)+ 2=33. 答案：33,考向 2 等差数列的判定 【典例2】(1)若an是公差为1的等差数列，则a2n-1+2a2n是 公差为_的等差数列. (2)已知Sn为等差数列an的前n项和，bn= (nN*).求证：数 列bn是等差数列.,【思路点拨】(1)构造新数列cn=a2n-1+2a2n，根据cn+1-cn是否对任意正整数n都等于同一个常数作出判断. (2)证明bn+1-bn对任意正整数n都等于同一个常数，或者利用等差中项的方法证明任意的三项都成等差数列. 【规范解答】(1)设an的公差为d，则d=1.设cn=a2n-1+2a2n，则cn+1=a2n+1+2a2n+2，cn+1-cn=a2n+1+2a2n+2-a2n-1-2a2n=6d=6. 答案：6,(2)方法一：设等差数列an的公差为d， Sn=na1+ n(n-1)d， bn= =a1+ (n-1)d, bn+1-bn=a1+ nd-a1- (n-1)d= (常数), 数列bn是等差数列.,方法二：bn= =a1+ (n-1)d, bn+1=a1+ nd，bn+2=a1+ (n+1)d, bn+2+bn=a1+ (n+1)d+a1+ (n-1)d =2a1+nd=2bn+1.因此bn+2-bn+1=bn+1-bn=bn-bn-1=b2-b1,数 列bn是等差数列.,【拓展提升】等差数列的四个判定方法 (1)定义法：证明对任意正整数都有an+1-an等于同一个常数. (2)等差中项法：证明对任意正整数都有2an+1=an+an+2后，可递推得出an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=a2-a1，根据定义得出数列an为等差数列. (3)通项公式法：得出an=pn+q后，得an+1-an=p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列an为等差数列.,(4)前n项和公式法：得出Sn=An2+Bn后，根据Sn,an的关系，得出an，再使用定义法证明数列an为等差数列. 【提醒】等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式和前n项和公式的方法主要适合在选择题中简单判断.,【变式训练】设Sn为数列an的前n项和，Sn=pnan(nN*)，a1=a2. (1)求常数p的值. (2)求证：数列an是等差数列. 【解析】(1)Sn=pnan,a1=a2， a1=pa1p=1.,(2)由(1)知：Sn=nan， 当n2时，an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1, 整理可得(n-1)(an-an-1)=0, an-an-1=0(n2)， 数列an是等差数列.,考向 3 等差数列的性质及前n项和的最值问题 【典例3】(1)(2012辽宁高考)在等差数列an中，已知a4 +a8=16，则该数列前11项和S11=_. (2)在等差数列an中, a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=_. (3)(2013连云港模拟)已知在等差数列an中，a1=31，Sn是它的前n项的和，S10=S22. 求Sn； 这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值.,【思路点拨】(1)利用等差数列的性质及Sn= 求解. (2)根据等差数列性质整体求解. (3)利用等差数列的性质求解； 利用二次函数思想或利用邻项变号法解决.,【规范解答】(1)由于an为等差数列，所以a1+a11=a4+a8=16, 所以S11= 11=811=88. 答案：88 (2)由等差数列的性质可知a2+a8=a4+a6=a3+a7=37,所以a2+a4+a6 +a8=372=74. 答案：74,(3)S10=a1a2a10， S22= a1a2a22，又S10= S22， a11a12a22=0， =0，即a11a22=2a131d=0, 又a131， d2， Sn=na1+ =31n-n(n-1)=32n-n2.,方法一：Sn=32nn2=-(n-16)2+256， 当n16时，Sn有最大值，Sn的最大值是256. 方法二：由an=Sn-Sn-1，可得an=-2n+33. 由an=-2n+330，得n 由an+1=-2n+310,得n 又n为正整数，所以当n=16时，Sn有最大值256.,【拓展提升】 1.等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列an中，am-an=(m-n)d =d(mn)，其几何意义是点(n,an)，(m,am)所在直线的斜率等 于等差数列的公差. (2)和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)； S2n-1=(2n-1)an.,2.解等差数列前n项和Sn的最值问题的两种方法 (1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn，通 过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解. (2)邻项变号法： a10,d0时，满足 的项数m使得Sn取得最小值为Sm.,【变式训练】等差数列an前n项和为Sn，已知a1=13,S3=S11，当Sn最大时，n的值是_. 【解析】方法一：S3=S11得a4+a5+a11=0，根据等差数列性质可得a7+a8=0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a70,a80，故n=7时，Sn最大. 方法二：由S3=S11可得3a1+3d=11a1+55d，把a1=13代入得d=-2，故Sn=13n-n(n-1)=14n-n2，根据二次函数性质，当n=7时，Sn最大.,方法三：根据a1=13,S3=S11，知这个数列的公差不等于零.由于 S3=S11说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据 公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二 次函数图象的对称性，当S3=S11时，只有n= =7时，Sn取 得最大值. 答案：7,【满分指导】解答等差数列的综合题 【典例】(14分)(2013郑州模拟)设等差数列an的前n项和 为Sn,且Sn= nan+an-c(c是常数，nN*),a2=6. (1)求c的值及数列an的通项公式. (2)设Tn ,求Tn.,【思路点拨】,【规范解答】(1)因为Sn= nan+an-c, 所以当n=1时，S1= a1+a1-c， 解得a1=2c.2分 当n=2时，S2a2+a2-c,即a1+a2=2a2-c， 解得a2=3c,所以3c=6,解得c=2.4分 则a1=4,数列an的公差d=a2-a1=2, 所以an=a1+(n-1)d=2n+2.6分,(2)因为 8分 所以Tn= 10分 = 即 14分,【失分警示】(下文见规范解答过程),1.(2012福建高考)等差数列an中，a1+a5=10,a4=7,则数列an的公差为_. 【解析】由等差中项的性质知a3= =5， 又a4=7,d=a4-a3=2. 答案：2,2.(2013无锡模拟)设数列an是等差数列，且a2=-8,a15=5, Sn是数列an的前n项和，则下列结论正确的是_. S9S10；S9=S10；S11S10；S11=S10. 【解析】由题意得 a10=a1+9d=0.S9=S10,S11S10. 答案：,3.(2013南京模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn,若m1,且am-1+am+1-am2-1=0,S2m-1=39,则m等于_. 【解析】数列an为等差数列， 则am-1+am+1=2am， 则am-1+am+1-am2-1=0可化为2am-am2-1=0, 解得am=1. 又S2m-1=(2m-1)am=39,则m=20. 答案：20,4.(2012北京高考)已知an是等差数列，Sn为其前n项和.若 a1= ，S2=a3，则a2=_，Sn=_. 【解析】