《D853格林公式》PPT课件.ppt

第8.5.3节,二、格林公式,格林公式及其应用,第八章,一、单连通区域与复连通区域,一、单连通区域与复连通区域,定义3 设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围的部分,都属于D,则称D为单连通区域;否则称为复连通区域.,直观地看, 单连通区域不含有“洞”(包括点“洞”),复连通区域是含有“洞”(包括点“洞”)的区域 .,单连通区域,复连通区域,上页 下页,例如,平面上的圆形区域,上半平面,均为单连通区域;,都是复连通区域.,圆环域,及,单连通,复连通,及,上页 下页,平面区域D的边界曲线L的正向规定如下:,当我们沿着L的这个方向行走时,区域D总是在,我们前进方向的左侧，即“外逆内顺”.,上页 下页,定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,( 格林公式 ),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,或,二、 格林公式,上页 下页,证明:,1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且,则,上页 下页,即,同理可证,、两式相加得:,上页 下页,2) 若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割,为有限个上述形式的区域 , 如图,证毕,上页 下页,推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积,格林公式,例如, 椭圆,所围面积,上页 下页,例1.,设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明,证: 令,则,利用格林公式 , 得,上页 下页,例2. 计算,其中L为一无重点且不过原点,的分段光滑正向简单闭曲线.,解: 令,设 L 所围区域为D,由格林公式知,上页 下页,在D 内作圆周,取逆时,针方向, 对区域,应用格,记 L 和 l 所围的区域为,林公式 , 得,(也可变形后用格林公式),上页 下页,例3. 计算,其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .,解: 令, 则,利用格林公式 , 有,上页 下页,平面上曲线积分与路径无关的条件,第8.5.4节,及二元函数的全微分求积,一、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,二、二元函数的全微分求积,三、全微分方程,上页 下页,一、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,1 曲线积分与路径无关的含义：,定义4 设G是一个开区域,如果对于G内任意指定的,两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线,成立,就称曲线积分,总有,与路径无关.否则便说与路径有关.,上页 下页,曲线积分,曲线积分与路径无关的一个等价说法：,沿G内任意闭曲线l 的积分值等于零,即,与路径无关等价于,证明:若曲线积分在G内与路径无关，,则对G内任意闭曲线l,有,上页 下页,即,这里,反过来,设对G内任意闭曲线l,有,则对G内任意两点M、 N以及连结M与N的任何两条,上页 下页,即,在G内与路径无关.,故曲线积分,路径无关,即只依赖于L的两个端点,注：若曲线积分,在G内与,因此常记为：,上页 下页,定理4. 设D 是单连通区域 ,在D 内,具有一阶连续偏导数,路径无关的充要条件是,函数,则曲线积分,二 曲线积分与路径无关的条件：,上页 下页,在D内处处成立.,在D内与,证明 充分性,设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图) ,利用格林公式 , 得,区域为,所围,(必要性略),上页 下页,说明:,根据定理2 , 若在某单连通区域内,则,2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线.,1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;,注意:利用曲线积分与路径无关的条件求解时,应当验证,不一定与路径无关(或,就不一定为零).,如积分,当,时,但,这是因为,在(0,0)处不连,定理4中的两个条件.,若有一个条件不满足,则曲线积分就,续.,例4. 计算,其中L是星形线,从点A(t=0)到点B(t= )的一段.,上页 下页,解 这里,上式仅在原点处不成立,所以在不包含原点的单连通,区域内曲线积分与路径无关.,上页 下页,由A到B作一条辅助曲线,且使原点在,与,所围成的闭区域之外,为计算简便起见,取,为上半,于是,有,圆周,如图所示:,例5. 计算,其中L 为上半,从 O (0, 0) 到 A (4, 0).,解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段,它与L 所围,原式,圆周,区域为D , 则,上页 下页,注意:利用积分与路径无关的条件求解,为方便起见, 常选直线段,折线段,圆弧线等作为积分路径.,定义 若,则称,1.原函数的概念,二、二元函数的全微分求积,上页 下页,的原函数存在性,2.,定理5 设函数,一阶连续偏导数,则,在单连通区域G内具有,二元函数,的全微分的充分必要条件是,在G内处处成立.且,在G内为某个,(证明略),上页 下页,(15),(16),3.原函数u(x, y) 的求法,由定理4与定理5知,公式(16)中的曲线积分与路径无关,因此求函数u(x, y)时,一般可选用直线形路线或平行于,(17),(18),方法1 利用公式(16)求之,上页 下页,坐标轴的直角折线计算,于是公式(16)化为:,或,方法2 利用全微分公式求之,设,由,两边对x 积分,得,上式两边对y求偏导数,得,又,由上式求出 ，,可得,(19),上页 下页,例6 验证在整个,平面内,是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数.,解法1 这里,且有,在整个,平面内成立, 因此, 由定理5知,在整个,平面内,是某个函数的全微分.,上页 下页,取积分路径为从点,到点,再到点 的直,角折线,由公式(17)得,(17),成立,因此由定理5,存在函数,在整个,平面内满足,从而有,解法2 因为在整个,平面内有,上页 下页,由,得,其中,上页 下页,由此式求得,于是,例7 选取,使,为某个函数,的全微分，并求出函数,因为,解:首先求,上页 下页,由,即,得,所以,下面求,上页 下页,思考：积分曲线的起点为何不取为(0,0)?,的原函数u(x, y)与求曲线,4.,积分,的联系,下面我们证明两个与一元函数积分学中类似的结果：,函数，则有,其中C为常数.,事实上,由,即,或,上页 下页,事实上,由定理5及（1）,可得,（20）,于是,其中,上页 下页,为方便,将上式记为,其中,公式(21)与一元函数定积分中的牛顿-莱布尼兹,上页 下页,公式类似.,例8 计算,解 取,有,由公式(21),得,从而,上页 下页,定义5 将一个一阶方程写成下列形式,（22）,后,若微分方程(22)的左端恰好是某一个二元函数 的全微分,即,那么方程(22) 称为全微分方程(或称为恰当方程).,这里,1.全微分方程的定义,三、全微分方程,上页 下页,2.全微分方程的判别方法,具有一阶连续偏导数,则方程(22)为全微分方程的,定理6 设函数,在单连通区域G内,充分必要条件是,定理的证明由定理5及全微分方程的定义得到.,上页 下页,3.全微分方程的通解求法,对方程,当条件,满足时,由定理5知,存在函数,满足,这时方程(22)可以写成,就是方程(22)的通解,其中C为常数 .,由此可见,求全微分方程(22)的通解转化为求,的原函数,上页 下页,例9 求方程,的通解.,解 这里,所以它是全微分方程. 由,“观察法”可得方程的左端为,即,于是方程的通解为,方法1 凑全微分法,其中C为任意常数 .,上页 下页,方法2 分组求解法,把方程左端分成若干组之和,而使每一组为较简函数,的全微分,从而得出求方程通解的方法.,例10 求解,解 把原方程改写成,或,从而得通解为,上页 下页,方法3 二元函数的全微分求积法,即利用公式(17)或(18)求原函数.下面再解例10.,例11 求解,解 这里,所以这是全微分方程，,由公式（18）有,取,从而得通解为,上页 下页,方法4 由,出发求,例12 求方程,的通解.,解 因为在整个,平面内有,因此它是全微分方程.即存在,使,从而有,由,得,成立,上页 下页,其中,是,的待定函数,上式两边对,求偏导数,得:,.又函数,满足,从而有,即,.由此式求得,代入(23)式得,于是所设方程的通解为,(23),上页 下页,方法5 积分因子法,全微分方程.如果存在函数,使得方程,为全微分方程，则称,是方程（22）,的积分因子.,不能满足时，方程（22）就不是,当条件,函数,上页 下页,例13 求方程,的通解.,解 因为,所以该方程不是全微分方程.把方程改写成,由于,可见,是一个积分因子,上述方程乘上该积分因子,上页 下页,便将原方程化为,于是求得原方程的通解为,提示:求积分因子无简便的一般方法,通常是在,积分因子比较明显时(或者说可以凭观察得到),才用求积分因子的方法解微分方程.,上页 下页,8.5.5* 曲线积分的应用,一、对弧长的曲线积分的应用,1.曲线的弧长,计算平面曲线的弧长公式:,计算空间曲线的弧长公式:,其中,其中,上页 下页,例14 计算星形线,的全长.,解 由对称性,所求弧长为第一象限内弧长的4倍.,于是,上页 下页,2.物质曲线的质量,若平面物质曲线L的线密度为,曲线L的质量,则平面物质,则空间物质,类似于重积分,有求曲线形物体质心坐标及转动惯,上页 下页,量公式, 此处从略.,二、对坐标的曲线积分的应用,由对坐标的曲线积分的物理意义知(p213):,表示质点在变力,的作用下，沿光滑有向,曲线弧L由点A移动到点B所作的功W,即,上页 下页,例15 质点,沿以,为直径的半圆周，从点,运动到点,的过程中受变力,作用，,等于点P,与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段,OP ,且与y 轴正向的夹角小于,求变力,P,所作的功.,解 按题意,变力,上页 下页,的大小,对质点,所以,上