世纪金榜理科数学(广东版)6.1.ppt

第六章 不等式、推理与证明 第一节 不等关系与不等式,【知识梳理】 1.两个实数比较大小的法则 设a,bR,则ab_,a=b_,ab_.,a-b0,a-b=0,a-b0,2.不等式的基本性质,ba,ac,a+cb+c,acbc,acbc,a+cb+d,acbd,anbn,3.不等式的一些常用性质 (1)倒数性质： ab，ab0 _ ； a0b _ .,(2)有关分数的性质: 若ab0，m0，则 真分数的性质: _ _ (b-m0)； 假分数的性质: _ _ (b-m0).,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: 一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变; 一个非零实数越大,则其倒数就越小; 同向不等式具有可加和可乘性; 两个数的比值大于1,则分子不一定大于分母. 其中错误的是 ( ) A. B. C. D.,【解析】选C.错，同乘以一个负数或0时不等号改变; 错，如-22，而 错，同向不等式具有可加性，但不一定具有可乘性， 如12，-3-2，但-3-4； 对.当这个比值中的分母小于零时，分子小于分母，当这个比值中的分母大于零时，分子大于分母.,2.设ba，dc，则下列不等式中一定成立的是( ) A.a-cb-d B.acbd C.a+cb+d D.a+db+c 【解析】选C.由同向不等式具有可加性可知C正确.,3.若a1b，下列不等式中不一定成立的是( ) A.a-b1-b B.a-1b-1 C.a-11-b D.1-ab-a 【解析】选C.由a1知a-b1-b,故A正确；由ab知a-1b-1,故B正确;由1b知1-ab-a,故D正确，C项错误，如当a=3，b=-3时，不成立.,4.已知a，b是实数，则“a0且b0”是“a+b0且ab0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选C.由a0且b0可知a+b0，ab0，反之，由ab0，则a，b同号，又a+b0知a0，b0，故为充分必要条件.,5.(2014济宁模拟)设a0且a1,P=loga(a3-1),Q= loga(a2-1),则P与Q的大小关系为 . 【解析】由a3-10,a2-10且a0可知a1,又(a3-1)-(a2-1)=a2(a-1)0,故a3-1a2-1,所以loga(a3-1)loga(a2-1),即PQ. 答案:PQ,6.已知-2a-1,-3b-2,则a-b的取值范围是 ,a2+b2的取值范围是 . 【解析】因为-2a-1,-3b-2,所以2-b3, 于是0a-b2. 又因为1a24,4b29,所以5a2+b213. 答案:(0,2) (5,13),考点1 用不等式(组)表示不等关系 【典例1】(1)已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表： 设用甲、乙两种食物各xkg,ykg配成至多100kg的混合食物,并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和62000单位维生素B,则x,y应满足的所有不等关系为 .,(2)某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售,每天可销售100件,现在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元,销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元,用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为 . 【解题视点】(1)利用已知表格数据及题目中的限制条件逐一写出并化简整理可解. (2)确定单价变化时相应的每天利润,即可列出不等式.,【规范解答】(1)依题意，有 整理化简得 答案：,(2)若提价后商品的售价为x元，则销售量减少 10件，因此，每天的利润为(x-8)100-10(x-10)元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x-8)100-10(x-10)300.即x2-28x+1900，同时10x20. 答案：x2-28x+1900(10x20),【规律方法】用不等式(组)表示不等关系的常见类型及解题策略 (1)常见类型： 常量与常量之间的不等关系； 变量与常量之间的不等关系； 函数与函数之间的不等关系； 一组变量之间的不等关系.,(2)解题策略： 分析题目中有哪些未知量； 选择其中起关键作用的未知量，设为x，再用x来表示其他未知量； 根据题目中的不等关系列出不等式(组). 提醒：在列不等式(组)时要注意变量自身的范围，解题时极易忽略，从而导致错解.,文字语言与符号语言的转化 将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时，应注意关键性的文字语言与对应数学符号语言之间的正确转换，常见的转换关系如表：,【变式训练】某厂拟生产甲、乙两种适销产品,甲、乙产品都需要在A,B两台设备上加工,在A,B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时,加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时,A,B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式.,【解析】设甲、乙两种产品的产量分别为x,y,则由题意可知,【加固训练】 1.将一个三边长度分别为5，12，13的三角形的各边都缩短x，构成一个钝角三角形，试用不等式(组)表示x应满足的不等关系.,【解析】各边都缩短x后，长度仍然为正数，只要最短边大于 零即可，因此5-x0.而要构成三角形，还要满足(5-x)+(12-x) 13-x.当三角形是钝角三角形时，应使最大角是钝角，此时只 需最长边对的角是钝角即可，因此(5-x)2+(12-x)2(13-x)2， 故x应满足的不等关系如下：,2.某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人不超过200人，每个工人的年工作时间约为2 100 h，预计此产品明年的销售量至少为80 000袋，生产每袋产品需用4 h，生产每袋产品需用原料20 kg，年底库存原料600 t，明年可补充1 200 t.试根据这些数据预测明年的产量.,【解析】设明年的产量为x袋，则 解得80 000x90 000. 预计明年的产量在80 000袋到90 000袋之间.,考点2 比较大小 【典例2】(1)已知a1,a2(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的 大小关系是( ) A.MN B.MN C.M=N D.不确定 (2)(2014郑州模拟)已知0a1， 则( ) A.xyz B.zyx C.zxy D.yxz,【解题视点】(1)将M，N作差、变形、因式分解可解. (2)利用对数运算法则整理，再利用对数函数的单调性可解.,【规范解答】(1)选B.因为M-N=a1a2-a1-a2+1 =a1(a2-1)-(a2-1) =(a1-1)(a2-1), 因为a1,a2(0,1),故a1-10,所以MN.,(2)选D.因为 所以 即yxz.,【互动探究】若将本例(1)中,a1,a2(0,1)这个条件去掉,又将如何判断M,N的关系? 【解析】作差,即M-N=(a1-1)(a2-1). 当a1,a2(-,1)时, (a1-1)(a2-1)0,即MN; 当a1,a2(1,+)时, (a1-1)(a2-1)0,即MN;,当a1,a2中一个小于或等于1,另一个大于或等于1时, (a1-1)(a2-1)0,即MN. 综上,当a1,a2(-,1)或a1,a2(1,+)时,MN,当a1,a2中一个小于或等于1,另一个大于或等于1时,MN.,【规律方法】比较两个数大小的常用方法 (1)作差法:其基本步骤为:作差、变形、判断符号、得出结论,用作差法比较大小的关键是判断差的正负,常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法. (2)作商法:即判断商与1的关系,得出结论,要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负做出判断,这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤.,(3)单调性法:利用有关函数的单调性比较大小. (4)特值验证法:对于一些题目,有的给出取值范围,可采用特值验证法比较大小.,【变式训练】已知 且a=cos 2,b=cos -sin ， 则a与b的大小关系为_.,【解析】由于 所以2 故a=cos 2 0，且cos sin ，所以b0. 而 =cos +sin = 由于 所以 故 即 故必有ab. 答案：ab,【加固训练】 1.若 则( ) A.abc B.cba C.cab D.bac 【解析】选C.易知a，b，c都是正数， 所以ba； 所以ac，即cab.,2.(2014烟台模拟)已知xR，m= n= 则m，n的大小关系为( ) A.m=n B.mn C.mn D.mn,【解析】选B.因为 = =(x+1)(x2+x+1)- =(x+1)(x2+x+1)- 所以 则有xR时， 恒成立.故选B.,3.已知等比数列an中，a10,q0,前n项和为Sn,则 与 的大小关系为_. 【解析】当q=1时， 所以 当q0且q1时， = 所以 综上可得 答案：,考点3 不等式性质及其应用 【考情】不等式的性质及其应用是高考命题的热点.不等式性质的应用是高考的常考点，常通过不等式性质来比较大小，有时也与函数结合综合考查充要条件等问题，常以选择题、填空题形式出现，题目难度不大.,高频考点 通 关,【典例3】(1)(2013北京高考)设a，b，cR，且ab， 则( ) A.acbc B. C.a2b2 D.a3b3,(2)(2013天津高考)设a，bR，则“(a-b)a20”是“ab”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,【解题视点】(1)排除法(利用特值)可解. (2)利用两命题间关系可解. 【规范解答】(1)选D.A选项,当c0b时,显然B不正确;C选项,当a=1,b=-2时,a2b时,有a3b3,D是正确的. (2)选A.(a-b)a20,则必有a-b0,即ab;而ab时,不能推出(a-b)a20,如a=0,b=1,所以“(a-b)a20”是“ab”的充分而不必要条件.,【通关锦囊】,【关注题型】,【通关题组】 1.(2012浙江高考)设a0,b0 ( ) A.若2a+2a=2b+3b,则ab B.若2a+2a=2b+3b,则ab D.若2a-2a=2b-3b,则ab,【解析】选A.利用正难则反求解. 当0ab时,2a2b,2a2b3b,故2a+2a2b+3b,故A的逆否命题成立,故A对而B错.当0ab时,由2a2b,2a2b3b知2a-2a与2b-3b的大小关系不确定,所以C不正确,同理D也不正确.,2.(2013浙江高考)设a,bR，定义运算“”和“” 如下： ab= 若正数a，b，c，d满足ab4,c+d4,则( ) A.ab2,cd2 B.ab2,cd2 C.ab2,cd2 D.ab2,cd2,【解析】选C.因为ab=mina,b，ab=maxa,b，又ab4，所以正数a,b中至少有一个大于等于2，所以ab2，排除A，B；因为c+d4，所以c,d中至少有一个小于等于2，所以cd2，故选C.,3.(2012四川高考)设a,b为正实数,现有下列命题: 若a2-b2=1,则a-b1; 若 =1,则a-b1; 若| |=1,则|a-b|1; 若|a3-b3|=1,则|a-b|1. 其中的真命题有 (写出所有真命题的序号).,【解析】中a2-b2=1,所以a-b= ,而a0,b0,又a2=b2+11, 所以a1,所以 b,因为a3-b3=1,又 (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3=1+3ab(b-a)1,故a-b1,所以正确. 答案:,【加固训练】 1.(2014台州模拟)下列四个数中最大的是( ) A.lg 2 B.lg C.(lg 2)2 D.lg(lg 2),【解析】选A.因为lg 2(0，1)，所以lg(lg 2)0； 即lg (lg 2)2； lg 2-lg = lg 20，即lg 2lg . 所以最大的是lg 2.,2.(2014泉州模拟)若xy，ab，则在a-xb-y，a+x b+y，axby，x-by-a， 这五个式子中，恒 成立的不等式的序号是 .,【解析】令x=-2，y=-3，a=3，b=2， 符合题设条件xy，ab， 因为a-x=3-(-2)=5，b-y=2-(-3)=5， 所以a-x=b-y，因此不成立.又因为ax=-6，by=-6， 所以ax=by，因此也不成立. 又因为 所以 因此不成立.由不等式的性质可推出成立. 答案：,3.(2014枣庄模拟)若ab0，cd0，e0，求证： 【证明】因为cd0，所以-c-d0， 又ab0，所以a-cb-d0，故 而e0，所以,4.(2014绍兴模拟)若二次函数f(x)的图象关于y轴对称，且1f(1)2，3f(2)4，求f(3)的范围.,【解析】设f(x)=ax2+c(a0), f(3)=9a+c=3f(2)-3f(1)+ 因为1f(1)2，3f(2)4， 所以55f(1)10，248f(2)32，148f(2)-5f(1)27， 所以,【巧思妙解6】巧用特值判断不等式问题 【典例】(2014潍坊模拟)若 则下列不等式： 中,正确的不等式是( ) A. B. C. D.,【常规解法】 选C.由 可知ba0.中，a+b0，ab0，所以 故有 故正确，排除B,D；中， 因为ba0，即0ab，又因为 所以 故正确,排除A，选C.,【解法分析】 1.此类题目通常是边选边排除. 2.在选的过程中应用不等式性质变形判断是通法，但运算量大，极易出错.,【巧妙解法】 选C.因为 故可取a=-1，b=-2，显