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第六章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,多元函数积分学及其应用,三、积分存在的条件和性质,第一节,一、引例,二、多元数量值函数积分的概念,多元数量值函数积分的概念与性质,第六章,第二节,二、直角坐标系下二重积分的计算法,三、极坐标系下二重积分的计算法,二重积分的计算,第六章,一、二重积分的几何意义,四、曲线坐标下二重积分的计算法,求体积: 类似定积分解决问题的思想:,2.1 二重积分的几何意义,设,底： xOy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以D的边界为准线 , 母线平,行于 z 轴的柱面.,“分, 匀, 合, 精”,（有界闭区域）,二重积分：,其几何意义就是曲顶柱体的体积,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X - 型区域,则,若D为Y - 型区域,则,二、直角坐标系下二重积分的计算法,说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 ,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X - 型域或Y - 型域 ,则,三、利用极坐标计算二重积分,四、曲线坐标下二重积分的计算法,广义极坐标变换.,第三节,3、球面坐标系下,三重积分的计算,第六章,2、柱面坐标系下,1、直角坐标系下,一、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想, 采用,引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的,物质,求分布在 内的物质的,可得,“大化小(分), 常代变（匀）, 近似和（合）, 求极限（精）”,解决方法:,质量 M .,密度函数为,定义. 设,存在,称为体积元素,若对 作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在 上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,下列“乘,积和式” 极限,1. 利用直角坐标计算三重积分,方法1 . 投影法 (“先一后二”),方法2 . 截面法 (“先二后一”),方法3 . 三次积分法,先假设连续函数,并将它看作某物体,通过计算该物体的质量引出下列各计算,最后, 推广到一般可积函数的积分计算.,的密度函数 ,方法:,方法1. 投影法 (“先一后二” ),该物体的质量为,细长柱体微元的质量为,微元线密度,方法2. 截面法 (“先二后一”),为底, d z 为高的柱形薄片质量为,该物体的质量为,面密度,投影法,方法3. 三次积分法,设区域,利用投影法结果 ,把二重积分化成二次积分即得:,2. 利用柱坐标计算三重积分,就称为点M 的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,3. 利用球坐标计算三重积分,就称为点M 的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,第四节,一、立体体积,二、物体的质心,三、物体的转动惯量,四、物体的引力,重积分的应用,第六章,1. 能用重积分解决的实际问题的特点:,所求量是,对区域具有可加性, 用微元分析法 (元素法)建立积分式,分布在有界闭域上的整体量,3. 解题要点:,画出积分域、选择坐标系、确定积分序、,定出积分限、计算要简便,2. 用重积分解决问题的方法:,一、立体体积,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,占有空间有界域 的立体的体积为,二、物体的质心,设空间有n个质点,其质量分别,由力学知, 该质点系的质心坐标,分别位于,为,为,设物体占有空间域 ,有连续密度函数,则,采用 “分, 匀, 合, 精” 可导出其质心公式，即：,则得形心坐标：,若物体为占有xOy 面上区域 D 的平面薄片,( A 为D 的面积),得D 的形心坐标:,则它的质心坐标为,其面密度,三、物体的转动惯量,设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数,该物体位于(x , y , z) 处的微元,因此物体 对 z 轴 的转动惯量:,对 z 轴的转动惯量为,因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故,连续体的转动惯量可用积分计算.,类似可得:,对 x 轴的转动惯量,对 y 轴的转动惯量,对原点的转动惯量,如果物体是平面薄片,面密度为,则转动惯量的表达式是二重积分.,G 为引力常数,四、物体的引力,设物体占有空间区域 ,物体对位于点P0(x0, y0, z0)处的单位质量质点的引力为,其密度函数,引力元素在三坐标轴上分量为,其中,因此引力分量为,其中:,第六节,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算法,第一型线积分与面积分,第六章,三、对面积的曲面积分的概念与性质,四、对面积的曲面积分的计算法,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,假设曲线形细长构件在空间所占,其线密度为,“大化小(分), 常代变（匀）, 近似和（合）, 求极限（精）”,可得,为计算此构件的质量,1.引例: 曲线形构件的质量,采用,设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数,都存在, 上对弧长的曲线积分,记作,若通过对 的任意分割,局部的任意取点,2.定义,下列“乘积和式极限”,则称此极限为函数,在曲线,或第一类曲线积分.,称为被积函数，, 称为积分弧段 .,曲线形构件的质量,和对,二、对弧长的曲线积分的计算法,基本思路:,计算定积分,定理:,且,上的连续函数,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,如果曲线 L 的方程为,则有,如果方程为极坐标形式:,则,推广: 设空间曲线弧的参数方程为,则,一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例: 设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想, 采用,可得,求质,“大化小（分）, 常代变（匀）, 近似和（合）, 求极限（精）”,的方法,量 M.,其中, 表示 n 小块曲面的直径的,(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,最大值,定义:,设 为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中 f (x, y, z) 叫做被积,据此定义, 曲面形构件的质量为,f (x, y, z) 是定义在 上的一,个有界函数,或第一类曲面积分.,若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积,函数, 叫做积分曲面.,定理: 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,即,（补）曲面的面积,设光滑曲面,第七节（1）,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,二、 对坐标的曲线积分的计算法,三、两类曲线积分之间的联系,对坐标的（第二型）曲线积分,第六章,一、 对坐标的曲线积分的概念与性质,1. 引例: 变力沿曲线所作的功.,设一质点受如下变力作用,在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移,“分”,“匀”,“合”,“精”,恒力沿直线所作的功,解决办法:,动过程中变力所作的功W.,2. 定义.,设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑,弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上,对坐标的曲线积分,则称此极限为函数,或第二型曲线积分.,其中,L 称为积分弧段 或 积分曲线 .,称为被积函数 ,在L 上定义了一个向量函数,极限,若 为空间曲线弧 , 记,称为对 x 的曲线积分;,称为对 y 的曲线积分.,若记, 对坐标的曲线积分也可写作,类似地,3. 性质,(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 则,则,定积分是第二类曲线积分的特例.,说明:,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !,三、对坐标的曲线积分的计算法,定理:,在有向光滑弧 L 上有定义且,L 的参数方程为,则曲线积分,连续,存在, 且有,特别是, 如果 L 的方程为,则,对空间光滑曲线弧 :,类似有,定理,四、两类曲线积分之间的联系,第七节（2）,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、 对坐标的曲面积分的概念与性质,四、对坐标的曲面积分的计算法,三、两类曲面积分的联系,对坐标的（第二型）曲面积分,第六章,一、有向曲面及曲面元素的投影, 曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),其方向用法向量指向,方向余弦, 0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面, 0 为右侧 0 为左侧, 0 为上侧 0 为下侧,外侧 内侧,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,表示 :,二、 对坐标的曲面积分的概念与性质,1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位时间流过有向曲面 的流量 .,设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个,意分割和在局部面元上任意取点,分,记作,P, Q, R 叫做被积函数;, 叫做积分曲面.,或第二类曲面积分.,下列极限都存在,向量场,若对 的任,2. 定义：,引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为,称为Q 在有向曲面 上对 z, x 的曲面积分;,称为R 在有向曲面 上对 x, y 的曲面积分.,称为P 在有向曲面 上对 y, z 的曲面积分;,3. 性质,(1) 若,之间无公共内点, 则,(2) 用 表示 的反向曲面, 则,三、两类曲面积分的联系,四、对坐标的曲面积分的计算法,定理: 设光滑曲面,取上侧,是 上的连续函数, 则,说明:,如果积分曲面 取下侧, 则, 若,则有, 若,则有,(前正后负),(右正左负),第八节（1）,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件,各种积分的联系 及其在场论中的应用,第六章,区域 D 分类,单连通区域 ( 无“洞”区域 ),复连通区域 ( 有“洞”区域 ),域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左,定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,( 格林公式 ),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,或,一、 格林公式,推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积,格林公式,例如, 椭圆,所围面积,定理1,例4. 计算,其中L为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线.,解: 令,设 L 所围区域为D,由格林公式知,在D 内作圆周,取逆时,针方向, 对区域,应用格,记 L 和 l 所围的区域为,林公式 , 得,定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(3),(4) 在 D 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,二、环量与旋度,斯托克斯公式,环量与旋度,第八节（2）,一、斯托克斯公式,第六章,一、 斯托克斯公式,定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,个空间域内具有连续一阶偏导数, 的,侧与 的正向符合右手法则,在包含 在内的一,则有,简介,(斯托克斯公式),为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:,或用第一类曲面积分表示:,定理1,注意: 如果 是 xOy 面上的一块平面区域,则斯托克斯,公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.,二、 环量与旋度,斯托克斯公式,设曲面 的法向量为,曲线 的单位切向量为,则斯托克斯公式可写为,令, 引进一个向量,定义:,沿有向闭曲线 的环量.,或,于是得斯托克斯公式的向量形式 :,旋度.,rotation,第八节,Green 公式,Gauss 公式,推广,一、高斯公式,二、通量与散度,高斯公式 通量与散度,第六章,一、高斯 ( Gauss ) 公式,定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲, 上有连续的一阶偏导数 ,函数 P, Q, R 在,面 所围成,则有,(Gauss 公式),高斯, 的方向取外侧,二、通量与散度,引例.,设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为,理意义可知,设 为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面 的流量为,则由对坐标的曲面积分的物,由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为,若 为方向向外的闭曲面,当 0 时,说明流入 的流体质量少于,当 0 时,说明流入 的流体质量多于流出的,则单位时间通过 的流量为,当 = 0 时,说明流入与流出 的流体质量相等 .,流出的,表明 内有