《克氏法则》PPT课件.ppt

关于期中考试,时间：下周周四晚，四个班一块。,内容：开学以来学习的高数、概率、线代知识。,命题比例：概率统计4050分，高数、线代5060分。,期末线代至少60分。,高数考察： 幂级数收敛域求法，函数展开成幂级数方法； 以2为周期的函数的傅里叶级数展开式求法； 一阶、可降阶的二阶、高阶线性常系数齐次微分方程通解、特解； 特殊f(x)的二阶线性常系数非齐次微分方程的通解、特解。,线性代数考察：行列式理论、方法。, 特殊行列式 一般地,对角形、三角形 行列式,每行(列)之和相等的对称行列式,利用性质、展开定理降阶,建立递推公式、数学归纳法,数字行列式 低阶字母行列式 n 阶数字或字母行列式,范德蒙行列式,复习行列式计算方法,练习P27.7.,按第n+1列展开,证明 (P27. 6(5),按第1列展开,对展开定理进一步理解,写出展开式，落实到 写出每个元素的余子式 及确定其前面的符号！,按某行（列）展开时，确定第一项余子式前面的符号是关键；,后面的，正、负相间或负、正相间。,反之: D的某(s)行的n 个代数余子式的代数和,表示一个n 阶行列式,中第s行的元素换为,必要时利用D 的第S行的代数余子式.,求：,设,5.（P21例13）,D的按第i行的展开式,可以：,写出 计算。,求：,及,解,将D中第一行元素换为1，1，1，1.,将D中第一列元素换为1，-1，1，-1.,进一步讨论：,一重要题型！,这是一个行列式, D中第s行的元素换为第i行的元素, ,行列式中任意行(列) 的元素与另一行(列)对应元素 的代数余子式的乘积之和,第i 行元素?,第 s 行元素?,等于零.,定理与推论结合,或,推论,中第s行的元素换为,D中第s行的元素换为第i行的元素,余子式、代数余子式与行列式的关系！,重要！,= 0,回顾 二元一次方程组的解,7 克莱姆法则,考虑方程组,与二元方程组类似 , n 元方程组的解也可用行列式表示,或,其中,克莱姆法则,可以直接证明！,若(1) 的系数行列式,1) 方程组(1)有解(存在性);,2) 解惟一(惟一性);,则(1)有唯一解,略去不写，重点看其应用！,需证明两点:,其中,克莱姆法则,若(1) 的系数行列式,则(1)有唯一解,法则的应用：,D0时，判定方程组有唯一解；,通过计算行列式，求出方程组的解。,P. 22 例14，自读;,P. 23 例15,只需求出系数,解,把四个点的坐标代入曲线方程，,是未知数,由克莱姆法则，方程组有唯一解,求该曲线方程.,分析,求解线性方程组,把四个点的坐标代入曲线方程，,得线性方程组.,系数行列式,解,是未知数,由克莱姆法则，方程组有唯一解,把四个点的坐标代入曲线方程，,得线性方程组.,系数矩阵,由克莱姆法则,即曲线方程为,由上述例题可体会到，,求解n n 线性方程组要计算n +1 个 n 阶行列式！,但它仍具有极为重要的理论价值：,解决了 nn 方程组解的存在性和唯一性,进一步探讨，即有下述结论：,用克莱姆法则解方程组并不实用。,定理4 若方程组(1) 的系数行列式不为零, 则它有唯一解.,定理4 若方程组(1)无解或有两个不同的解, 则它的系数 行列式必为零。,逆否命题,不考虑求解公式,一个判定行列式为零 的充分条件,零解,则它只有 零解 (没有非零解）.,定义 称方程组,为齐次线性方程组.,一定有 解,是否有非零解？,定理5 若齐次方程组(2)的系数行列式 D0,定理5 若齐次方程组(2)有非零解,满足方程组(2),零解,(2),行列式为零的充要条件！,行列式不为零的充要条件！,齐次方程组(2)只有零解,故当 = 2, 5, 8 时，方程组有非零解.,解 由方程组有非零解等价于其系数行列式为零, 即,例1 (P25. 例16),这是一类重要的题目！要原理清楚，计算准确。,练习（p28 . 11）,问 为何值时， 齐次线性方程组有非零解,解,齐次线性方程组有非零解,所以，当 或 时，齐次线性方程组有非零解,只有零解.,补例 证明方程组,证 因为系数行列式为,按定义, n!项中仅主对角线上元素的 乘积为奇数, 其余的乘积均为偶数,奇数与偶数的和非零！,故方程组只有零解。,小结 nn 线性方程组的解,若(1)无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式 D 必为零,若方程组( 2 )的系数行列式 D0 , 则它只有零解,若(1) 的系