江苏省南京市2019届高三数学第三次调研考试（5月）试题.docx

江苏省南京市2019届高三数学第三次调研考试（5月）试题(满分160分，考试时间120分钟)20195一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 已知集合Ux|1x0.若x1，x2是方程f(x)2的两个不同的实数根，且|x1x2|的最小值为，则当x0，时，f(x)的最小值为_10. 在平面直角坐标系xOy中，过双曲线1(a0，b0)的右焦点F作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P.若线段PF的中点恰好在此双曲线上，则此双曲线的离心率为_11. 有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a，b，1.现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为_12. 已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a，b是夹角为60的两个单位向量若向量c满足c(a2b)5，则|c|的最小值为_13. 在平面直角坐标系xOy中，已知MN是圆C：(x1)2(y2)22的一条弦，且CMCN，P是MN的中点当弦MN在圆C上运动时，直线l：x3y50上存在两点A，B，使得APB恒成立，则线段AB长度的最小值是_14. 已知函数f(x)x2aln xx，对任意x1，)，当f(x)mx恒成立时实数m的最大值为1，则实数a的取值范围是_二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)已知a，b，c分别是ABC三个角A，B，C所对的边，且满足acos Bbcos A.(1) 求证：AC；(2) 若b2，且1，求sin B的值16. (本小题满分14分)在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，AB1，BC2，ABC60.(1) 求证：平面PAC平面PAB；(2) 设平面PBC平面PADl，求证：BCl.17. (本小题满分14分)如图，某摩天轮底座中心A与附近的景观内某点B之间的距离AB为160 m摩天轮与景观之间有一建筑物，此建筑物由一个底面半径为15 m的圆柱体与一个半径为15 m的半球体组成圆柱的底面中心P在线段AB上，且PB为45 m半球体球心Q到地面的距离PQ为15 m把摩天轮看作一个半径为72 m的圆C，且圆C在平面BPQ内，点C到地面的距离CA为75 m该摩天轮匀速旋转一周需要30 min，若某游客乘坐该摩天轮(把游客看作圆C上一点)旋转一周，求该游客能看到点B的时长(只考虑此建筑物对游客视线的遮挡)18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)过点(1，)，离心率为.A，B分别是椭圆C的上、下顶点，M是椭圆C上异于A，B的一点(1) 求椭圆C的方程；(2) 若点P在直线xy20上，且3，求PMA的面积；(3) 过点M作斜率为1的直线分别交椭圆C于另一点N，交y轴于点D，且点D在线段OA上(不包括端点O，A)，直线NA与直线BM交于点P，求的值19. (本小题满分16分)已知函数f(x)ln x1，aR.(1) 若函数f(x)在x1处的切线为y2xb，求a，b的值；(2) 记g(x)f(x)ax，若函数g(x)在区间(0，)上有最小值，求实数a的取值范围；(3) 当a0时，关于x的方程f(x)bx2有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围20. (本小题满分16分)已知数列an的前n项和为Sn.若存在正整数r，t，且r0)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且AB3，求r的值C. (选修45：不等式选讲)若x，y，z为实数，且x24y29z26，求x2y6z的最大值【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 在平面直线坐标系xOy中，已知抛物线y22px(p0)及点M(2，0)，动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB4.(1) 求p的值；(2) 若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上23. 对由0和1这两个数字组成的字符串，作如下规定：按从左向右的顺序，当第一个子串“010”的最后一个0所在数位是第k(kN*，且k3)位，则称子串“010”在第k位出现；再继续从第k1位按从左往右的顺序找子串“010”，若第二个子串“010”的最后一个0所在数位是第km位(其中m3，且mN*)，则称子串“010”在第km位出现；如此不断地重复下去如：在字符串1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0中，子串“010”在第5位和第9位出现，而不是在第7位和第11位出现记在n位由0，1组成的所有字符串中，子串“010”在第n位出现的字符串的个数为f(n)(1) 求f(3)，f(4)的值；(2) 求证：对任意的正整数n，f(4n1)是3的倍数2019届高三模拟考试试卷(南京)数学参考答案及评分标准1. 4，52. 四3. 304. 5. 56. 7. 8. 69. 110. 11. 12. 13. 22 14. (，115. (1) 证明：由正弦定理2R，得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，代入acos Bbcos A，得(sin Acos Bsin Bcos A)cos Csin Ccos A，(2分)即sin(AB)cos Csin Ccos A.因为ABC，所以sin (AB)sin C，所以sin Ccos Csin Ccos A(4分)因为C是ABC的内角，所以sin C0，所以cos Ccos A.因为A，C是ABC的内角，所以AC.(6分)(2) 解：由(1)知AC，所以ac，所以cos B.(8分)因为1，所以a2cos Ba221，所以a23.(10分)所以cos B.(12分)因为B(0，)，所以sin B.(14分)16.证明：(1) 因为PA平面ABCD，AC平面ABCD，所以PAAC.(2分)因为AB1，BC2，ABC60，由余弦定理，得AC.(4分)因为12()222，即AB2AC2BC2，所以ACAB.(6分)因为ACPA，且PAABA，PA平面PAB，AB平面PAB，所以AC平面PAB.又AC平面PAC，所以平面PAC平面PAB.(8分)(2) 因为BCAD，AD平面PAD，BC平面PAD，所以BC平面PAD.(10分)因为BC平面PBC，且平面PBC平面PADl，所以BCl.(14分)17. 解：以点B为坐标原点，BP所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则B(0，0)，Q(45，15)，C(160，75)过点B作直线l与圆Q相切，与圆C交于点M，N，设直线l的方程为ykx，即kxy0，则点Q到l的距离为15，解得k或k0(舍去)所以直线l的方程为yx，即3x4y0.(4分)点C(160，75)到直线l的距离CH36.(6分)在RtCHM中，因为CH36，CM72，所以cosMCH.(8分)因为MCH(0，)，所以MCH，所以MCN2MCH，(12分)所以所用时长为3010 min.(13分)答：该游客能看到点B的时长为10 min.(14分)18. 解：(1) 因为椭圆过点(1，)，离心率为，所以1，1e2，解得a22，b21，所以椭圆C的方程为y21.(2分)(2) 由(1)知B(0，1)，设M(x0，y0)，P(x，y)由3，得(x，y1)3(x0，y01)，则x3x0，y3y02.因为P在直线xy20上，所以y0x0.(4分)因为M在椭圆C上，所以y1，将代入上式，得x.(6分)所以|x0|，从而|xP|， 所以SPMASPABSMAB22.(8分)(3) (解法1)由(1)知，A(0，1)，B(0，1)设D(0，m)，0m1，M(x1，y1)，N(x2，y2)因为MN的斜率为1，所以直线MN的方程为yxm.联立方程组消去y，得3x24mx2m220，所以x1x2，x1x2. (10分)直线MB的方程为yx1，直线NA的方程为yx1，联立解得yP.(12分)将y1x1m，y2x2m代入，得yP.(14分)所以(0，m)(xP，yP)myPm1.(16分)(解法2)由(1)知，A(0，1)，B(0，1)设M(x0，y0)，则y1.因为直线MN的斜率为1，所以直线MN的方程为yxx0y0，则D(0，y0x0)联立方程消去y，得3x24(x0y0)x2(x0y0)220，所以xNx0，(10分)所以xN，yN，所以直线NA的方程为yx1x1，直线MB的方程为yx1，联立解得yP.(12分)因为y1，所以yP，(14分)所以(0，y0x0)(xP，yP)(y0x0)1.(16分)19. 解：(1) f(x)，则f(1)1a2，解得a1，则f(x)ln x1，此时f(1)ln 1110，则切点坐标为(1，0)，代入切线方程，得b2，所以a1，b2.(2分)(2) g(x)f(x)axln xax1，g(x)a.当a0时，g(x)0，则g(x)在区间(0，)上为增函数，则g(x)在区间(0，)上无最小值(4分)当a0时，方程ax2xa0的判别式14a20，则方程有两个不相等的实数根，设为x1，x2，由韦达定理得x1x21，则两根一正一负，不妨设x10x2.设函数m(x)ax2xa(x0)，(i) 若a0，当x2(0，)时，m(0)a0，m()a0，解得0a.此时当x(0，x2)时，m(x)0，则g(x)递减；当x(x2，)时，m(x)0，则g(x)递增，当xx2时，g(x)取极小值，即为最小值当x2时，x(0，)，m(x)0，则g(x)在(0，)上单调递减，无最小值(6分)(ii) 若a0，当x(0，x2)时，m(x)0，则g(x)递增；当x(x2，)时，m(x)0，则g(x)递减，在区间(0，)上，g(x)不会有最小值所以a0不满足条件综上，当0a时，g(x)在区间(0，)上有最小值(8分)(3) 当a0时，由方程f(x)bx2，得ln x1bx20.记h(x)ln x1bx2，x0，则h(x)2bx.当b0时，h(x)0恒成立，即h(x)在(0，)上为增函数，则函数h(x)至多只有一个零点，即方程f(x)bx2至多只有一个实数根，所以b0不符合题意(10分)当b0时，当x(0，)时，h(x)0，所以函数h(x)递增； 当x(，)时，h(x)0，所以函数h(x)递减，则h(x)maxh()ln.要使方程f(x)bx2有两个不相等的实数根，则h()ln 0，解得0b.(12分)(i) 当0b时，h()0.又()2()20，则，所以存在唯一的x1(，)，使得h(x1)0.(14分)(ii) h()ln 1ln b1，记k(b)ln b1，0b.因为k(b)，则k(b)在(0，1)上为增函数，在(1，)上为减函数，则k(b)maxk(1)0，则h()0.又()2()20，即，所以存在唯一的x2(，使得h(x2)0.综上，当0b时，方程f(x)bx2有两个不相等的实数根(16分)20. (1) 解：因为an是M(r，2r)数列，所以Sr2r，且S2rr.由Sr2r，得3rd2r.因为r0，所以(r1)d2(*)由S2rr，得6rdr.因为r0，所以(2r1)d5(*)由(*)和(*)，解得r3，d1.(2分)(2) 解：(i) 若q1，则Srra1，Stta1.因为an是M(r，2r)数列，所以ra12r(*)，2ra1r(*)由(*)和(*)，得a12且a1，矛盾，所以q1.(3分)(ii) 当q1，因为an是M(r，2r)数列，所以Sr2r，且S2rr，即2r(*)，r(*)由(*)和(*)，得qr.(5分)当r1时，q；当r2，4时，无解；当r3时，q.综上，q或q.(6分)证明：因为an是M(r，t)数列，q(1，0)，所以Srt，且Str，即t，且r，两式作商，得，即r(1qr)t(1qt)(8分)(i) 若r为偶数，t为奇数，则r(1|q|r)t(1|q|t)因为rt，01|q|r1，1|q|t1，所以r(1|q|r)t(1|q|t)，这与r(1|q|r)t(1|q|t)矛盾，所以假设不成立(10分)(ii) 若r为偶数，t为偶数，则r(1|q|r)t(1|q|t)设函数yx(1ax)，0a1，则y1axxaxln a.当x0时，1ax0，xaxln a0，所以yx(1ax)在(0，)上递增因为rt，所以r(1|q|r)t(1|q|t)，这与r(1|q|r)t(1|q|t)矛盾，所以假设不成立(12分)(iii) 若r为奇数，t为奇数，则r(1|q|r)t(1|q|t)设函数yx(1ax)，0a1，则y1axxaxln a.设g(x)1axxaxln a，则g(x)axln a(2xln a)令g(x)0，得x .因为ax0，ln a0，所以当x，g(x)0，则g(x)在区间(，)上递增；当0x，g(x)0，则g(x)在区间(0，)上递减，所以g(x)ming()1a.因为0，所以a1, 所以g(x)min0，从而g(x)0在(0，)上恒成立，所以yx(1ax)，0a1在(0，)上单调递增因为rt，所以r(1|q|r)t(1|q|t)，这与r(1|q|r)t(1|q|t)矛盾，所以假设不成立(14分)(iv) 若r为奇数，t为偶数由知，存在等比数列an为“M(1，2)数列”综上，r为奇数，t为偶数(16分)2019届高三模拟考试试卷(南京)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) M2.(4分)(2) 矩阵M的特征多项式为f()(1)(3)令f()0，解得M的特征值为11，23.(6分)当1时，得令x1，则y1，于是矩阵M的一个特征向量为.(8分)当3时，3，得令x1，则y1，于是矩阵M的一个特征向量为.因此，矩阵M的特征值为1，3，分别对应一个特征向量为，.(10分)B. 解：直线l的直角坐标方程为xy20.(2分)曲线C的普通方程为(x2)2(y1)2r2.(4分)因为圆心C(2，1)到直线l的距离d，(6分)所以r.(10分)C. 解：由柯西不等式，得x2(2y)2(3z)2(121222)(x2y6z)2.(4分)因为x24y29z26，所以(x2y6z)236，(6分)所以6x2y6z6.当且仅当时，不等式取等号，此时x1，y，z或 x1，y，z，(8分)所以x2y6z的最大值为6.(10分)22. (1) 解：因为l过M(2，0)，且当l垂直于x轴时，AB4，所以抛物线经过点(2，2)，代入抛物线方程，得42p2